高中数学函数知识点(详细)

第二章函数一．函数1、函数的概念：（1）定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=)(xf，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{)(xf|x∈A}叫做函数的值域．（2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则（3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)2、定义域：（1）定义域定义：函数)(xf的自变量x的取值范围。（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。（3）确定函数定义域的常见方法：①若)(xf是整式，则定义域为全体实数②若)(xf是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数例:求函数xy111的定义域。③若)(xf是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1．求函数2143432xxxy的定义域。例2．求函数02112xxy的定义域。④对数函数的真数必须大于零⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1⑥若)(xf为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10xx⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.（4）求抽象函数（复合函数）的定义域已知函数)(xf的定义域为[0,1]求)(2xf的定义域已知函数)12(xf的定义域为[0,1）求)31(xf的定义域3、值域:（1）值域的定义：与x相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。（2）确定值域的原则：先求定义域（3）常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）（4）确定函数值域的常见方法：①直接法：从自变量x的范围出发，推出()yfx的取值范围。例：求函数1yx的值域。解：∵0x，∴11x，∴函数1yx的值域为[1,)。②配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。形如2()()()Fxafxbfxc的函数的值域问题，均可使用配方法。例：求函数242yxx（[1,1]x）的值域。解：2242(2)6yxxx，∵[1,1]x，∴2[3,1]x，∴21(2)9x∴23(2)65x，∴35y∴函数242yxx（[1,1]x）的值域为[3,5]。③分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例：求函数125xyx的值域。解：∵177(25)112222525225xxyxxx，∵72025x，∴12y，∴函数125xyx的值域为1{|}2yy。④换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如yaxbcxd（a、b、c、d均为常数，且0a）的函数常用此法求解。例：求函数212yxx的值域。解：令12tx（0t），则212tx，∴22151()24yttt∵当12t，即38x时，max54y，无最小值。∴函数212yxx的值域为5(,]4。⑤判别式法：把函数转化成关于x的二次方程(,)0Fxy；通过方程有实数根，判别式0，从而求得原函数的值域，形如21112222axbxcyaxbxc（1a、2a不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例：求函数2231xxyxx的值域。解：由2231xxyxx变形得2(1)(1)30yxyxy，当1y时，此方程无解；当1y时，∵xR，∴2(1)4(1)(3)0yyy，解得1113y，又1y，∴1113y∴函数2231xxyxx的值域为11{|1}3yy值域为{|11}yy练习：求函数22221xxyxx的值域4、函数的表示方法（1）解析法、列表法、图象法（2）求函数解析式的常见方法：①换元法例：已知34)13(xxf,求)(xf的解析式.例：若xxxf1)1(,求)(xf.例：已知(1)23,fxx求)(xf.②解方程组法例：设函数)(xf满足)(xf+2f（x1）=x（x≠0），求)(xf函数解析式.一变：若()fx是定义在R上的函数，(0)1f，并且对于任意实数,xy，总有2()()(21),fxfxyxyy求()fx。（令x=0，y=2x）③待定系数法例：已知)(xf是一次函数，并且34)]([xxff求)(xf解：设bkxxf)(，则34)()()]([2xbkbxkbbkxkbxkfxff则342bkbk，解得12bk或32bk故所求一次函数解析式12)(xxf或32)(xxf④配变量法例：已知221)1(xxxxf,求)(xf的解析式.例：若xxxf2)1(,求)(xf.⑤特殊值代入法（取特殊值法）例：若)()()(yfxfyxf,且2)1(f，求值)2004()2005()3()4()2()3()1()2(ffffffff.例：设)(xf是R上的函数，且满足1)0(f并且对任意实数yx,有)12()()(yxyxfyxf求)(xf的表达式解：设yx则1)12()()0(xxxxff即1)(2xxxf或设0x则)1(1)1()0()(yyyyfyf1)1(1)(2xxxxxf⑥利用给定的特性（奇偶性周期性）求解析式.例：对x∈R,)(xf满足)1()(xfxf,且当x∈[－1,0]时,xxxf2)(2求当x∈[9,10]时)(xf的表达式.解析：)1()(xfxf，则)()1(xfxf则)2()(),1()1(xfxfxfxf，T=25、分段函数(1)定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数。(2)注意：分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集；分段函数是一个函数，而不是几个函数；写分段函数定义域时，区间端点不重不漏。6、复合函数如果)(),(),(),(AxxguMuufy则),(),()]([AxxFxgfy称为f、g的复合函数。7、函数图象问题（1）熟悉各种基本初等函数的图象如：0y，)(为常数ccy，xy，xy1，xy1，2xy（2）图象变换平移：个单位长度向右平移)0()(aaxfy)(axfy个单位长度向上平移)0()(bbxfybxfy)(对称：轴对称关于xxfy)()(-xfy轴对称关于y)(xfy)(xfy关于原点对称)(xfy)(-xfy翻折：)(,)(xfyxfy注意：带绝对值的函数去绝对值方法有分情况讨论法，平方法，图象法***********************************课堂习题*********************************1.求下列函数的定义域：⑴221533xxyx⑵211()1xyx2.设函数fx()的定义域为[]01，，则函数fx()2的定义域为__3.若函数(1)fx的定义域为[]23，，则函数(21)fx的定义域是4.函数22(1)()(12)2(2)xxfxxxxx，若()3fx，则x=5.求下列函数的值域：⑴223yxx()xR⑵223yxx[1,2]x(3)12yxx(4)245yxx二．函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增减函数和单调区间设函数)(xfy的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量21,xx，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说)(xf在区间D上是增函数.区间D称为)(xfy的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值21,xx当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说)(xf在这个区间上是减函数.区间D称为)(xfy的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数)(xfy在某个区间是增函数或减函数，那么说函数)(xfy在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.（3）函数单调区间与单调性的判定方法（重点）(A)定义法：○1任取21,xx∈D，且21xx；○2作差)()(21xfxf；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差)()(21xfxf的正负）；○5下结论（指出函数)(xf在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数)]([xgf的单调性与构成它的函数)(xgu，)(ufy的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.例：是否存在实数a使函数)(log)(2xaxxfya在闭区间]4,2[上是增函数？如果存在，说明a可取哪些值；如果不存在，说明理由。解：当a1时，为使函数)(log)(2xaxxfya在闭区间]4,2[上是增函数只需xaxxg2)(在闭区间]4,2[上是增函数，故024)2(221agax得21a，又由a1，得a1当0a1时，为使函数)(log)(2xaxxfya在闭区间]4,2[上是增函数只需xaxxg2)(在闭区间]4,2[上是减函数，故0416)4(421agax无解综上，当),1(a时，)(log)(2xaxxfa在闭区间]4,2[上是增函数（D）常用结论函数)(xfy与函数)(xfy的单调性相反；函数)(xf与)()(为常数ccxf具有相同的单调性；当0c时，函数)(xf与)(xcf具有相同的单调性，0c时，它们具有相反的单调性；若0)(xf则函数)(xf与)(1xf具有相反的单调性；公共区间，增函数+增函数=增函数、减函数+减函数=减函数、增函数-减函数=增函数、减函数-增函数=减函数若,0)(,0)(xgxf且)(xf与)(xg都是增（或减）函数，则)()(xgxf也是增（或减）函数；若,0)(,0)(xgxf且)(xf与)(xg都是增（或减）函数，则)()(xgxf也是增（或减）函数；若0)(xf，且在定义域上是增函数，则)(xfn也是增函数，)1)((nxfn也是增函数。常见函数的单调性（一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数)0(kxkxy）（E）利用函数的单调性求函数的最值确定函数的定义域；将复合函数分解为基本的初等函数；分别判断其单调性；根据同增异减判断例：求函数12)(xxf在区间[2,6]上的最大值和最小值2．函数的奇偶性（整体性质）（1）函数奇偶性定义一般地，对于函数)(xf的定义域D内的任意一个x，都有Dx,且)()(xfxf（或)()(xfxf），那么)(xf就叫做奇（或偶）函数．（2）图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（3）利用定义判断函数奇偶性的步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；○2确定)()(xfxf与)()(xfxf是否成立；○3作出相应结论：若)()(xfxf或0)()(xfxf，则)(xf是偶函数；若)()(xfxf