北京市西城区(北区)2012-2013学年高二下学期期末考试数学(理)试题

北京市西城区（北区）2012－2013学年下学期高二期末考试数学试卷（理科）试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.i是虚数单位，若复数z满足iiz72，则z等于A.i31B.i31C.i3D.i32.甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是31，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第3个路口才首次遇到红灯的概率是A.31B.94C.274D.2713.函数1xxf的图象在点（2，2f）处的切线方程是A.04yxB.024yxC.012yxD.044yx4.从0，1，2，3，4中随机选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数有A.9个B.10个C.11个D.12个5.设函数223cxbxaxxf的导函数为xf，若xf为奇函数，则有A.0a，0cB.0bC.0,0caD.022ca6.已知一个二次函数的图象如图所示，那么它与x轴所围成的封闭图形的面积等于A.45B.2C.34D.237.将4名男生和4名女生随机地排成一行，那么有且只有2名男生相邻的概率是A.73B.143C.281D.5618.已知函数xexaxf1，若同时满足条件：①,00x，0x为xf的一个极大值点；②x,8，0xf。则实数a的取值范围是A.]8,4(B.),8[C.),8[0,D.]8,4(0,二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。9.612xx的二项展开式中的常数项为__________。（用数字作答）10.如果函数xxfcos，那么66ff__________。11.已知某随机变量X的分布列如下（Rqp,）：X1－1Ppq且X的数学期望21XE，那么X的方差D（X）＝__________。12.已知函数axxy2的图象在0x和3x处的切线互相平行，则实数a__________。13.有5名男医生和3名女医生，现要从中选6名医生组成2个地震医疗小组，要求每个小组有2名男医生和1名女医生，那么有__________种不同的组队方法。（用数字作答）14.设函数1xxxfnn，其中*Nn，且2n，给出下列三个结论：①函数xf3在区间（1,21）内不存在零点；②函数xf4在区间（1,21）内存在唯一零点；③设4nxn为函数xfn在区间（1,21）内的零点，则1nnxx。其中所有正确结论的序号为__________。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为31，21，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响。（I）如果甲、乙两人各投篮1次，求两人投篮都没有命中的概率；（II）如果甲投篮3次，求甲至多有1次投篮命中的概率。16.（本小题满分13分）设函数12xxxf，且nnafaa11,21，其中1n，2，3，…。（I）计算432,,aaa的值；（II）猜想数列na的通项公式，并用数字归纳法加以证明。17.（本小题满分13分）已知函数xexfx212。（I）求函数xf的单调区间；（II）设Rb，求函数xf在区间1,bb上的最小值。18.（本小题满分13分）箱中装有4个白球和*Nmm个黑球。规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等。记随机变量X为取出的3个球所得分数之和。（I）若526XP，求m的值；（II）当3m时，求X的分布列和数字期望E（X）。19.（本小题满分14分）请先阅读：设平面向量2121,,,bbbaaa，且a与b的夹角为，因为cos||||baba，所以||||baba。即222122212211bbaababa，[来源:Zxxk.Com]当且仅当0时，等号成立。（I）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意321,,aaa，1b，2b，Rb3，都有2322212322212332211bbbaaabababa成立；（II）试求函数xxxy3822的最大值。20.（本小题满分14分）已知函数xfxxf2212，221lnxxxg。（I）求函数xf的解析式；（II）若对于任意,0x，都有axgxf成立，求实数a的取值范围；（III）设0,21xx，1,0,21aa，且121aa，求证：22112121xaxaxxaa。【试题答案】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。1.D2.C3.D4.B5.D6.C7.A8.A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9.16010.21311.4312.－113.9014.②③注：第14题多选、少选均不得分。三、解答题：本大题共6小题，共80分。（如有其他方法，仿此给分）15.（本小题满分13分）（I）解：记“甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中”为事件A。（1分）因为甲每次投篮命中的概率为31，所以甲投篮一次且没有命中的概率为32311。（2分）同理，乙投篮一次且没有命中的概率为21211。（3分）所以31211311AP。答：甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中的概率为31。（6分）（II）解：记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B。（7分）因为甲每次投篮命中的概率为31，所以甲投篮3次，且都没命中的概率为278311303C，（9分）甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率为9431131213C（11分）所以272094278BP。答：甲投篮3次，且至多有1次投篮命中的概率为2720。（13分）16.（本小题满分13分）（I）解：由题意，得121nnnaaa，（1分）因为211a，所以322a，98,5443aa。（3分）（II）解：由4321,,,aaaa，猜想12211nnna（5分）以下用数字归纳法证明：对任何的*Nn，12211nnna证明：①当1n时，由已知，左边21，右边21111，所以等式成立。（7分）②假设当*Nkkn时等式成立，即12211kkka，（8分）则1kn时，122122211221222121111111kkkkkkkkkkkkaaa。所以当1kn时，猜想也成立。（12分）根据①和②，可知猜想对于任何*Nn都成立。（13分）17.（本小题满分13分）（I）解：因为2212xexf。（2分）令0xf，解得21x。（3分）当x变化时，xf与xf的变化情况如下表：x21,21,21xf－0＋[来源:学科网ZXXK]xf极小值（5分）所以函数xf在（21,）上单调递减，在,21上单调递增。（6分）（II）解：当211b时，因为函数xf在（1,bb）上单调递减，所以当1bx时，函数xf有最小值22112bebfb。（8分）当121bb时，因为函数xf在21,b上单调递减，在1,21b上单调递增，所以当21x时，函数xf有最小值021f。（10分）当21b时，因为函数xf在（1,bb）上单调递增，所以当bx时，函数xf有最小值bebfb212。（12分）综上，当21b时，函数xf在1,bb上的最小值为22112bebfb；当2121b时，函数xf在1,bb上的最小值为021f；；当21b时，函数xf在1,bb上的最小值为bebfb212。（13分）18.（本小题满分13分）（I）解：由题意，得取出的3个球都是白球时，随机变量6X。（1分）所以5263434mCCXP，（3分）即1034mC，解得1m。（5分）（II）解：由题意，得X的可能取值为3，4，5，6。（6分）则35133733CCXP，35124371423CCCXP，35185372413CCCXP。35463734CCXP。（10分）X的分布列为：X3456P35135123518354（11分）所以733354635185351243513XE。（13分）19.（本小题满分14分）[来源:学|科|网Z|X|X|K]（I）证明：设空间向量321321,,,,,bbbbaaaa，且a与b的夹角为，因为cos||||baba，所以||||baba，（3分）即232221232221332211bbbaaabababa（6分）所以2322212322212332211bbbaaabababa，当且仅当0时，等号成立。（7分）（II）解；设空间向量1,1,1a，xxxb38,22,，且a与b的夹角为，（9分）因为baxxxy3822，所以xxxxxxy38221113822222，即2363y，（12分）当且仅当0（即a与b共线，且方向相同）时，等号成立。所以当xxx3822时，即2x时，函数xxxy3822有最大值23maxy。（14分）20.（本小题满分14分）（I）解：因为xfxxf2212，所以2fxxf。（2分）令2x，得12f，所以xfxx221。（II）解：设xFxxxgxfln，则F11xx，（5分）令0xF，解得1x。（6分）当x变化时，xF与xF的变化情况如下表：[来源:Z。xx。k.Com]x（0，1）1,1xf＋0－xf极小值所以当1x时，11maxFxF。（8分）因为对于任意,0x，都有axgxf成立，所以1a。（9分）（III）证明：由（II），得1lnxxxF，即1lnxx，令22111xaxaxx，得1ln2211122111xaxaxxaxax，令22112xaxaxx，得1ln2211222112xaxaxxaxax，（11分）所以11lnln221122221111221122221111xaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa因为121aa，所以01lnln21221122221111aaxaxaxaxaxaxa，（13分）[来源:学科网ZXXK]所以0lnlnlnln22112222211111xaxaaxaxaxaaxa，即22112211212211lnlnlnlnxaxaxaxaaaxaxa，所以221`121lnln21xaxaxxaa，所以22112121xaxaxxaa（14分）