最优控制(带笑脸的几道题)

例3：试求内接于椭圆，周长最大的矩形，即在约束条件下，使取最大值。解：拉格朗日函数为：极值的必要条件为:12222byax)(4yxs1),(2222byaxyxg)1()(42222byaxyxL将代入得：012,024224,024222222222byaxLLbybyyLLaaxaxxLLyx得得2222,224byaaxL1441)2()2(2222222222babbaa，即联立求解：正，负（取负值）确定极大值的充分条件为：22244ba222ba22222222222222,22babbabybaabaax011IggLLLLIgguxuuuxxuxxTux其中222,2byyggaxxggux22222212222()(42)()(42)0,02()(42),122xxxyyxyyxuLxLxxxaaLyLxLxybLyLyyybbyayggxbbxa即（）将代入上式，则有:0120021222222xbyabaxbyaT222222222,,bababybaax0)(411400411222222222222bababababbaaT在驻点上，目标函数有极大值:222222,babybaax222222max44)(4bababayxS例1：求泛函的变分。解：120()Jxtdt102210)()]()([dttxdttxtxJ1021010210222)()()(2)()()(2)()()()(2)(dttxdttxtxdttxtxtxdttxtxtxtxtx由于泛函的变分就是泛函增量的线性主部，所以泛函的变分为：当时，相应的变分值为：102()()Jxtxtdtttxttxttx2.0)(1.0)(,)(2和1014.0414.02.022.0,2012.0412.01.021041031022104101032tdtttdttttJtdtttdttJ泛函的变分是唯一的。如果（3-12）其中，都是关于的高阶无穷小，则可证)](),([)](),([11xyxyRxyxyLJ)](),([)](),([22xyxyRxyxyL12[(),()],[(),()]RyxyxRyxyx()yx12[(),()][(),()]LyxyxLyxyx（3-13）即（3-14）定理（3-1）：如果泛函是可微的，则泛函的变分为（3-15）式中，为任意实数，证明如下：12[(),()][(),()]LyxyxLyxyx21JJ()Jyx0)]()([)]([xyxyJxyJ因为由于是关于的线性连续泛函，根据线性泛函性质有又由于是关于的高阶无穷小，所以00[()()][()][()()]limJyxyxJyxJyxyx)](),([lim)](),([lim)](),([)](),([lim000xyxyRxyxyLxyxyRxyxyL[(),()]Lyxyx[(),()][(),()]LyxyxLyxyx[(),()]Ryxyx()yx()yx因此证毕同理，如果泛函是阶可微的，则其阶变分为：(3-16)如果泛函为多元泛函即同理(3-17)式中为泛函的宗量函数。00[(),()][(),()]limlim[()]0[()]RyxyxRyxyxyxyx00[(),()][()()]lim[(),()][()]LyxyxJyxyxLyxyxJyx()Jyxnn0[()][()()]nnnJyxJyxyx()Jyx12()[(),(),,()]nJyxJyxyxyx12(),(),,()nyxyxyx()Jyx多元泛函的变分为：11220[()][()(),()(),,()()]nnJyxJyxyxyxyxyxyx例3：求泛函满足边界条件的极值曲线。解：代入欧拉方程（3-44）代入（3-44）2221()Jxxtdt(1)1,(2)2xx22Lxxt()0LdLxdtx2220,()12LLxxtxtxxx两边积分得第二次积分，其中2()(12)0dLdxtdtdtx2(12)0dxtdt212xtC112CC1222111122CCxCttt121dxCdtt利用边界条件可解得即121()xtCCt(1)1,(2)2xx1212111122CCCC1223CC注：211CC,111122CC,12C23C因此泛函的极值只能在曲线上实现。即2()3xtt121()xtCCt23t123t23t例4：最速降线问题确立一条连接点和定点的曲线。使质点在重力作用下从点滑动到点所需要的时间最短（忽略摩擦和阻力影响）。解：按题意，目标函数可构造为根据力学公式，质点运动的速度为(3-52)(0,0)A,()ffBxyAB0[()]ftJyxdt2dsygdt最速降线问题A(0,0)yxdxdydsB(xf,yf)g-为重力加速度目标函数为因被积函数不是显含，故可用欧拉公式的首部积分公式，即222()()1222dsdxdyydtdxygygyg201[()]2fxyJyxdxyg212yLygx注：通过通分，整理简化得：注：22122(1)yyyLyLyCygygy121Cyy122211()22yyLgyygyLLx21221yyyLLgygyy1212CgC式中222112yyyyLyLLgy22(1)ygyy1212CgC用参数方程法求解，引入参数（），并令yctg2111122sin(1cos2)121CCCyCctgy12sincos,dyyCdyydx注：222221csc1sincscctgxxxxzeta积分后得222211sin1sin(1cos2)2cossinctgxxxxxctgxx112sincos2sincoscossindyCCdxddctgy2112sin(1cos2)CdCd所求曲线的参数方程为：令，并注意到边界条件12sin2()2xCC12(2sin2)2CC22(0)0,cos1,0,200yC即121(2sin2)2(1cos2)2CxCCy因此参数方程为这是滚线的参数方程，是滚动圆的半径，常数由另一个边界条件确定，称为滚动角。11(sin)2(1cos)2CxCy12C1C()ffyty所以最速降线是一条圆滚线，所谓圆滚线是指一圆沿定直线滚动时，圆周上一定点所描绘出的轨迹。例7．已知受控系统的微分方程为求最优控制，使目标函数取最小值，给定的边界条件为，解：将给定的系统微分方程化成过程等式的约束形式。设，系统的状态方程为：0HdHxdtx＝()()tut*()ut2201()2Jtdt(0)1,(0)1,(2)0,(2)0,112()(),()()(),xttxttxt2()()()xttut()()()xtAxtBut式中边界条件相应的改为：，目标函数改为：应用拉格朗日乘子法，哈密尔顿函数为：()21()()()11utwttxxss()()()xtAxtBut12()010(),,()001xtxtABxt1212(0)1,(0)1,(2)0,(2)0xxxx21()2Lut2201()2Jutdt21221()()()()()2THLfuttxttut1122()()xxtfxxt伴随方程（协态方程）为，积分后()即控制方程为状态方程为11()0Htx2112()()Httcx11()tc111()()ttc212()tctc21()()tt2()()0Huttu212()()uttctc212()()xtutctc2121231()()2xtxtctctc432112311()62xtctctctc221231()2xtctctc利用边界条件确定积分常数最优轨线及最优控制为，1(0)1x13c*32117()124xtttt*2237()122xttt*7()32utt272c31c41c2(0)1x2(1)0x2(2)0x如果始端条件不变，终端条件改为部分约束和部分自由，边界条件为：自由。根据式（3－99）横截条件，时，时，得(0)1,(0)1,(2)0,(2)2()(2)0ft0t12(0)1,(0)1,xx2t22(1)0,(2)0x112118421062xcc21220cc129984cc，此时积分常数为最优轨线及最优控制为最优曲线如图所示：边界条件自由123499,,1,184cccc*32139()1168xtttt*2299()1164xttt*()612utt(0)1,(0)1,(2)0,(2)b-1-201x(t)u(t)21-3u*(t)2x2*(t)tx1*(t)-60.52tx2*(t)u*(t)-2-10x1*(t)2x(t)例1已知受控系统的状态方程为（见线控习题110-111页）,始端条件终端时间固定,终端状态自由，试求控制函数使函数性能指标取极小值。（取负值）解：(1)xxu(0)1xft()fxt*()ut2220()Jxudt22()()THxuxu()HxxuHxxu2Hxx（2）20Huu2u（3）注将（3）代入（1）再求导（4）将（1），（2），（3）代入（4）注：特征方程所以利用边界条件2,,2()uuxxxx2xx12xx1(2)2222xxuxxxx20xx2220,1drprdt20,2rpp2212ttxcece121cc221222ttxcece222212122()222ttttxxcececece22122(21)(12)ttcece利用边界条件后得:将边界值代入上式得:得:222212(21)(12)0ttcece(0)1,(2)0x122222121(21)(