解三角形专题复习

解三角形教学目标通过对任意三角形角与边长关系的探索，掌握正弦、余弦定理并解决一些简单的三角形度量问题能够运用正弦、余弦定理等知识解决一些与测量和几何有关的实际问题内容提要解三角形知识回顾三角形的边长角度计算问题三角形的形状判断问题三角形的边角范围计算问题一三二四五实际生活中的高度角度测量问题TeachingProcess教学过程知识回顾一1、三角函数的知识网络图TeachingProcess教学过程知识回顾一2、近五年高考三角函数的分布年份题号题型考察内容知识点分值总分2015年2选择题三角函数恒等变换两角和与差的正余弦公式、诱导公式5158选择题三角函数的图像根据图像求解析式516填空题解三角形、正余弦定理边长的取值范围52016年12选择题三角函数的图像和性质求解析式中参数的取值范围51717解答题解三角形、正余弦定理边长、面积、周长122017年9选择题三角函数的图像平移问题51717解答题解三角形、正余弦定理边长、面积、周长122018年16填空题三角函数图像与性质、三角恒等变换利用导数求最值51717解答题解三角形、正余弦定理角、边长122019年5选择题三角函数的图像与性质（函数）函数（由三角函数复合而成）的奇偶性等52211选择题三角函数的图像与性质（函数）函数的奇偶性、单调性、最值、零点（分段函数）517解答题解三角形、正余弦定理角、边长12TeachingProcess教学过程知识回顾一在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径三角形共有6个要素：三个角、三条边(三个顶点）【基础】（01）𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶=2𝑅（02）𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐,𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵（03）𝑆∆𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶=12𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵=12𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴3、解三角形中的常见结论TeachingProcess教学过程知识回顾一在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径三角形共有6个要素：三个角、三条边（三个顶点）【加强】（04）𝑎:𝑏:𝑐=𝑠𝑖𝑛𝐴:𝑠𝑖𝑛𝐵:𝑠𝑖𝑛𝐶（05）𝑠𝑖𝑛2𝐵=𝑠𝑖𝑛2𝐴+𝑠𝑖𝑛2𝐶-2𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵（06）𝑆∆𝐴𝐵𝐶=𝑎𝑏𝑐4𝑅(𝑆∆𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶=12𝑎𝑏𝑐2𝑅=𝑎𝑏𝑐4𝑅)𝑆∆𝐴𝐵𝐶=12𝑎+𝑏+𝑐𝑟(r是三角形内切圆的半径）（07）𝑡𝑎𝑛𝐴+𝑡𝑎𝑛𝐵+𝑡𝑎𝑛𝐶=𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵𝑡𝑎𝑛𝐶TeachingProcess教学过程知识回顾一（08）三角形内角和定理A＋B＋C＝π；𝐴+𝐵2=𝜋2−𝐶2（9）三角形中的三角函数关系𝑠𝑖𝑛𝐶=sin𝐴+𝐵,𝑐𝑜𝑠𝐶=−cos𝐴+𝐵,𝑡𝑎𝑛𝐶=−𝑡𝑎𝑛𝐴+𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴+𝐵2=𝑐𝑜𝑠𝐶2,cos𝐴+𝐵2=𝑠𝑖𝑛𝑐2（10）角平分线定理：𝐵𝐷𝐶𝐷=𝐴𝐵𝐴𝐶（11）三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.【拓展】ABCDTeachingProcess教学过程常见题型归纳一4、常见题型有4种类型•边长、角度计算问题（基本量，知三求三）•三角形形状判断•边长、角度范围问题（最值问题），包含周长、面积•实际中的高度，角度测量问题（实际应用）TeachingProcess教学过程三角形的边长角度计算问题例题示范二题型一：边长角度计算问题。指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题题组1-1在∆𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=3,𝐴𝐶=2,𝐵𝐶=10,则𝐴𝐵∙𝐴𝐶=()𝐴.−32𝐵.−23𝐶.32𝐷.−23分析：由𝐴𝐵∙𝐴𝐶=𝑐𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴，即此题是由三边求角问题，用余弦定理即可解决,由𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑐2+𝑏2−𝑎22𝑐𝑏，变形可得𝑐𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑐2+𝑏2−𝑎22解：𝐴𝐵∙𝐴𝐶=𝐴𝐵∙𝐴𝐶𝑐𝑜𝑠𝐴=12(|𝐴𝐵|2+|𝐴𝐶|2−𝐵𝐶2)=32+22−(10)22=32小结：1.考察点：向量的数量积与余弦定理的之间的关系；2.易错点：两个向量的所成角与三角形内角的关系TeachingProcess教学过程三角形的边长角度计算问题例题示范二题组1-2在∆𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=102,𝐵𝐶=20,𝐴=450,则求𝐵及∆𝐴𝐵𝐶周长分析：利用正弦定理可得𝑠𝑖𝑛𝐵=𝐴𝐶𝑠𝑖𝑛𝐴𝐵𝐶=102𝑠𝑖𝑛45020=12，再结合三角形的内角及边长关系，可得𝐵=300，再利用𝐴+𝐵+𝐶=1800,求出𝐶=1050,由正弦定理可得。解：由正弦定理𝐴𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵=𝐵𝐶𝑠𝑖𝑛𝐴∴𝑠𝑖𝑛𝐵=𝐴𝐶𝑠𝑖𝑛𝐴𝐵𝐶=102𝑠𝑖𝑛45020=12∴𝐵=300或1500∵𝐴𝐶𝐵𝐶∴𝐵𝐴∴𝐵=300又𝐴+𝐵+𝐶=1800∴𝐶=1050由正弦定理𝐴𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵=𝐴𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶解得𝐴𝐵=𝐴𝐶𝑠𝑖𝑛𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵=102𝑠𝑖𝑛1050𝑠𝑖𝑛300=10(3+1)∴𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐶=30+10(2+3)∴𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑠𝑖𝑛600+450=𝑠𝑖𝑛600𝑐𝑜𝑠450+𝑐𝑜𝑠450𝑠𝑖𝑛600=6+24余弦定理𝐴𝐵2+𝐴𝐶2−2𝐴𝐵∙𝐴𝐶𝑐𝑜𝑠𝐴=𝐵𝐶2即𝐴𝐵2+(102)2−2𝐴𝐵×102𝑐𝑜𝑠450=202解得𝐴𝐵=10+103或𝐴𝐵=10−103（舍去）TeachingProcess教学过程三角形的边长角度计算问题方法二方法一：利用三角形边角关系，1.大角对大边，小角对小边，反之也成立，2.内角和等于1800。A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解方法三：在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况方法二：用余弦定理：𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴，通过解的个数判断三角形个数TeachingProcess教学过程三角形的边长角度计算问题例题示范二题组1-3求解几何计算问题(1)如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________，BD=.cosC＝49＋9－252×7×3＝1114，则sinC＝5314.在△ABC中，由正弦定理可得ABsinC＝ACsinB，则AB＝ACsinCsinB＝7×531422＝562.解：在△ACD中，由余弦定理可得𝑠𝑖𝑛𝐴=sin𝐵+𝐶=𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛C=22×1114+22×5314=112+5628在∆𝐴𝐵𝐶中，由正弦定理可得𝐵𝐶𝑠𝑖𝑛𝐴=𝐴𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵则𝐵𝐶=𝐴𝐶𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵=11+532得𝐵𝐷=𝐵𝐶−𝐶𝐷=5+5325+532562TeachingProcess教学过程三角形的边长角度计算问题高考真题解析二(2019全国Ⅰ理17)ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC．（1）求A；（2）若22abc，求sinC．解：（1）由已知得222sinsinsinsinsinBCABC，故由正弦定理得222bcabc．由余弦定理得2221cos22bcaAbc．因为0180A，所以60A．TeachingProcess教学过程三角形的边长角度计算问题高考真题解析二(2019全国Ⅰ理17)ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC．（1）求A；（2）若22abc，求sinC．（2）由（1）知120BC，由题设及正弦定理得2sinsin1202sinACC，即631cossin2sin222CCC，可得2cos602C．由于0120C，所以2sin602C，故sinsin6060CCsin60cos60cos60sin60CC624TeachingProcess教学过程三角形的边长角度计算问题高考真题解析二（2018全国卷Ⅰ）在平面四边形ABCD中，90ADC，45A，2AB，5BD．(1)求cosADB；(2)若22DC，求BC．【解析】(1)在ABD△中，由正弦定理得sinsinBDABAADB．由题设知，52sin45sinADB，所以2sin5ADB．由题设知，90ADB，所以223cos1255ADB．TeachingProcess教学过程三角形的边长角度计算问题高考真题解析二（2018全国卷Ⅰ）在平面四边形ABCD中，90ADC，45A，2AB，5BD．(1)求cosADB；(2)若22DC，求BC．(2)由题设及(1)知，2cossin5BDCADB．在BCD△中，由余弦定理得2222cosBCBDDCBDDCBDC22582522525．所以5BC．TeachingProcess教学过程判断三角形的形状知识回顾三常见题型二：判断三角形的形状直角三角形：𝑐𝑜𝑠𝐴=0或𝑐𝑜𝑠𝐵=0或𝑐𝑜𝑠𝐶=0钝角三角形：𝑐𝑜𝑠𝐴0或𝑐𝑜𝑠𝐵0或𝑐𝑜𝑠𝐶0锐角三角形：𝑐𝑜𝑠𝐴0且𝑐𝑜𝑠𝐵0且𝑐𝑜𝑠𝐶0由余弦定理：𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴的正负及是否等于0判断A是锐角、钝角还是直角边的关系𝑏2+𝑐2−𝑎2的正负及是否相等来判断ATeachingProcess教学过程判断三角形的形状例题示范三题组2-1教材改编[P10B组T2]在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为____解：由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.TeachingProcess教学过程判断三角形的形状例题示范三题组2-2在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则△ABC为A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形√解:由已知得sinCsinBcosA，∴sin(A＋B)sinBcosA，∴sinA·cosB＋cosA·sinBsinB·cosA，即sinA·cosB0又sinA0，∴cosB0，∴B为钝角，故△ABC为钝角三角形.由已知可得cb×𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐即𝑎2+𝑐2𝑏2∴B为钝角，故△ABC为钝角三角形.TeachingProcess教学过程判断三角形的形状例题示范三题组2-3在△ABC中，角A，B，C满足sinA:sinB:sinC=2:3:4，则△ABC为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形解：由sinA:sinB:sinC=2:3:4，得a:b:c=2:3:4不妨设a=2,b