空间点线面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系A1BD1C1DCB1A观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、地面之间的关系吗？长方体由上下、前后、左右六个面围成，有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有什么位置关系，是我们接下来要讨论的问题.1.平面的基本知识(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念，即为不加定义的原始概念.(2)平面的基本特征是无限延展性.平面是理想的，绝对的平（平面是处处平直的面）；平面没有大小、没有厚薄和宽窄，是不可度量的.光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果.思考:能不能说一个平面长4米,宽2米？为什么?不能.画法——立体几何中通常用平行四边形来表示平面，有时也用圆或三角形等图形来表示平面.画平面水平放置时，常把平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于邻边长的2倍.水平放置ß垂直放置为了增强立体感，如果一个平面被另一个平面遮挡住，常把它遮挡的部分用虚线画出来.(3)平面的画法及表示1.平面的基本知识画出两个竖直放置的相交平面.练习表示方法：ABCD①把希腊字母等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面，平面.,,②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD.③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC或者平面BD.(3)平面的画法及表示1.平面的基本知识(1)点、线、面的表示点(元素):大写字母A、B、C、D……直线(点的集合):小写英文字母或者两个大写英文字母平面(点的集合):用希腊字母表示；用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示.,,abc,,(2)点、线、面之间的位置关系的表示用集合中的关系符号元素与集合关系：集合与集合关系：,,;2.点、直线、平面的位置关系ABa点A在直线a上，记作点B不在直线a上，记作点A在平面α上，记作点B不在平面α上，记作ABα(1)点与直线的位置关系：(2)点与平面的位置关系：AaBaAB2.点、直线、平面的位置关系(3)直线与平面的位置关系：按公共点个数分三类②直线a与平面α有且只有一个公共点，称直线a与平面α相交.记为：③直线a与平面α没有公共点，称直线a与平面α平行.记为：αaαAaαa①直线a与平面α有无数个公共点，称直线a在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：a公理1aA//或aaa注1：情况②和③统称为直线a在平面α外，记作2.点、直线、平面的位置关系(4)平面与平面的位置关系：按有否公共点分两类αβaβα①当两个不同平面α与平面β有公共点时，它们的公共点组成直线a，称平面α与平面β相交.记作：②当平面α与平面β没有公共点时，称平面α与平面β平行.记作：公理3a//或注2：当平面α上的所有点都在平面β上时，称平面α与平面β重合.公理2αβ（当两个平面有不共线的三个公共点，则两个平面重合)2.点、直线、平面的位置关系小结：用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：BaααaαAbaAAB练习AaBaABαβaβααβabA//或aaa//或平面α与平面β重合桌面αAB观察下列问题，你能得到什么结论？直尺落在桌面上（直线AB在平面α内）3.平面的基本性质,,且AlBlABl①图形语言：ABl(1)公理1：若一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线在此平面内.②符号语言：③该公理反映了直线与平面的位置关系：可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平面.3.平面的基本性质思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？不会！因为平面是无限延展的.因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点，并且这些公共点在一条直线上.3.平面的基本性质且PlPlPl(2)公理3：若两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线.①图形语言：②符号语言：③该公理反映了平面与平面的位置关系：i)该公理是用以判定两个平面相交的依据：只要两个平面有一个公共点，就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线.(找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可)ii)该公理可用以判定点在直线上：点是某两平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则该点在交线上.3.平面的基本性质CBA观察下列问题，你能得到什么结论？自行车需要一个支脚架就可以保持平衡.3.平面的基本性质ABC(3)公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.,,,,不共线有且只有一个平面，使得ABCABC①图形语言：②符号语言：③定义的说明：过不在一条直线上的四点，不一定有平面.故要充分重视“不在一条直线上的三点”这一条件；“有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面，不能用“只有一个”替代；确定一个平面的“确定”是“有且只有”的同义词.3.平面的基本性质推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.证明：存在性.因为Aa，在a上任取两点B，C.所以过不共线的三点A，B，C有一个平面.（公理2）因为B∈，C∈，故经过点A和直线a有一个平面.ABCa因为B，C在a上，所以过直线a和点A的平面一定经过点A，B，C.由公理2，经过不共线三点A，B，C的平面只有一个，所以过直线a和点A的平面只有一个.唯一性.所以a.（公理1）已知点Aa，求证过点A和直线a可以确定一个平面.3.平面的基本性质推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.baαabα推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.ABCa注3：公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据，是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.ABC公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.练习3.平面的基本性质abced我们知道,在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?观察:将一张纸如图进行折叠,则各折痕及边a,b,c,d,e,…之间有何关系？a∥b∥c∥d∥e∥…'//','//'''BBAADDAABBDD观察：在右图的长方体中，，那么与平行吗？ABCDA'B'C'D'3.平面的基本性质符号表示:caabcc(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.aα//,////.abbcac①平行具有传递性；注4：②该公理是判断空间两条直线平行的方法之一.即要证明两条直线平行，一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节.3.平面的基本性质例1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线AB与C1D1，AD1与BC1是什么位置关系？为什么？解：C1ABCDA1B1D11）∵AB∥A1B1，C1D1∥A1B1，∴AB∥C1D12）∵AB∥C1D1，且AB=C1D1∴ABC1D1为平行四边形故AD1∥BC1练习：上例中，AA1与CC1，AC与A1C1的位置是什么关系？111,,,,,););若分别是的中点,判断下列直线是否平行:与与EFGHABADCDiEFGHiiDEHB例2已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证：EFGH是一个平行四边形.问1:若上例加上条件AC=BD，则四边形EFGH是一个什么图形？“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法．∵EH是△ABD的中位线，∴EH∥FG且EH=FG．∴EFGH是一个平行四边形．证明：连结BD，同理，FG∥BD且FG=BD．12∴EH∥BD且EH=BD．12ABDEFGHC菱形问2:若上例中四边形EFGH为矩形，AC与BD垂直吗？EH//FG,EF//HG?法二：往证呢另注：平行线段成比例练习ABCDA1B1C1D1O1O11111111111111111111..,,.,,,,.,,.例3如图，在正方体中，(1)判断下列命题是否正确，并说明理由：直线在平面内；点可确定一个平面；由点确定的平面与由点确定的平面是同一个平面；设正方形与的中心分别为则面与面的交线为ABCDABCDAACCCBBBAOCCACBACDDABCDABCDOOAACCBBDDOO1111..与面的交点落在直线上EACBDDBOO√√√ABCDA1B1C1D1OABCDA1B1C1D1EF找两平面的两个公共点111111111111;;长方体中，画出下列平面的交线：(1)平面与平面(2)平面与平面ABCDABCDACDBDDACBABD例几何体中的截面问题（两平面的交线问题）??NDABCC'A'B'D'MNQPQ即交线为QN'''',','',,;,';*在棱长为的正方体中，分别是的中点.(1)画出过点的平面与正方体的下底面的交线(2)设平面求的长aABCDABCDMNAADCDMNllABPPB例几何体中的截面问题（两平面的交线问题）分析：找面与面的交线找面与面的两个公共点.DMNABCDDMNABCD,''面面在同一个平面内,且交点为MDDMNADABCDMDADADDAQ和的交点面面MDADQDMNABCD拓展4.点线共面问题(1)证明的主要依据：公理1；公理2及其三个推论.(2)证明的常用方法：①纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其余有关的点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合.例1证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.ABC已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C求证：直线AB，BC，AC共面.证明：因为AB∩AC=A，所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2）因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈，故BC.（公理1）因此直线AB，BC，CA共面.确定一个面，再证明其余线在该面内.4.点线共面问题证法二：因为A直线BC上，所以过点A和直线BC确定平面.（推论1）因为B∈BC，所以B∈.又A∈，故AB，同理AC，所以AB，AC，BC共面.ABC例1证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.证法三：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面.（公理2）因为A∈，B∈，所以AB.（公理1）同理BC，AC，所以AB，BC，CA三直线共面.4.点线共面问题练已知求证:直线,,共面.,,,D,ABCllADBDCDABCDl证明与确定平面:..DllD又,,,,,.ABCllABC又即共面.,,,,,DBDCDADADBDCD4.点线共面问题P515证明：一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面.已知：a//b，a∩c=A，b∩c=B.求证：直线a，b，c共面.证明：因为a//b，所以直线a，b确定一个平面.（推论3）因为A∈a，B∈b，所以A∈，B∈.又因为A∈c，B∈c.故AB.（公理1）因此直线a，b，c共面.abcAB4.点线共面问题例2已知一条直线与三条平行直线都相交，证明这四条直线共面.abcABCl已知：a//b//c，a∩l=A，b∩l=B,c∩l=C.求证：直线l与a，b，c共面.证明：∵a//b，∴直线a，b确定一个平面.（推论3）∵l∩a=A，l∩b=B，∴A∈，B∈.又A∈l，B∈l，故l.同理，直线b，c确定一个平面，且l.∴平面与都过两相交直线b，l.又∵两相交直线确定一个唯一的平面.∴与重合.故l与a，b，c共面.证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.4.点线共面问题练已知a，b，a∩b=A，