高中数学选修4-4：极坐标系与极坐标方程综合练习一

第--页，共2页1极坐标系与方程综合练习一（满分100分，考试时间：60分钟）一、选择题：（共6小题，每小题5分）1．设点M的直角坐标为(－1，－3)，则它的极坐标为()A．(2，π3)B．(2，2π3)C．(2，4π3)D．(2，5π3)2．极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为()A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆3．极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为()A．(x＋12)2＋y2＝14B．x2＋(y＋12)2＝14C．x2＋(y－12)2＝14D．(x－12)2＋y2＝144．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是()A．(1，π2)B．(1，－π2)C．(1,0)D．(1，π)5．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点(4，π6)作曲线C的切线，则切线长为()A．4B.7C．22D．236．(2013·西城期末)在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是()A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθC．ρcosθ＝1D．ρsinθ＝1二、填空题：（共10小题，每小题5分）7．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．8．在极坐标系中，点P(2，－π6)到直线l：ρsin(θ－π6)＝1的距离是________．9．在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为(3，π3)，(4，π6)，则△AOB(其中O为极点)的面积为________．10．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．11．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝π4(ρ0)所表示的图形的交点的极坐标是________．12．(2013·西安五校)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．13．(2013·沧州七校联考)在极坐标系中，直线ρ(cosθ－sinθ)＋2＝0被曲线C：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．14．已知点M的极坐标为(6，11π6)，则点M关于y轴对称的点的直角坐标为________．15．在极坐标系中，点P(2，3π2)到直线l：3ρcosθ－4ρsinθ＝3的距离为________．第--页，共2页216．（2012安徽理）在极坐标系中,圆4sin的圆心到直线()6R的距离是_____三、解答题：（共2小题，共20分）17．（本小题6分）从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上的任意一点，试求RP的最小值．18．（本小题6分）在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的极坐标．第--页，共2页3极坐标系与方程综合练习一一、选择题：1．设点M的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的极坐标为()A．(2，π3)B．(2，2π3)C．(2，4π3)D．(2，5π3)答案C2．极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为()A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆答案C3．极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为()A．(x＋12)2＋y2＝14B．x2＋(y＋12)2＝14C．x2＋(y－12)2＝14D．(x－12)2＋y2＝14答案D；解析由ρ＝cosθ，得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2＝x.选D.4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是()A．(1，π2)B．(1，－π2)C．(1,0)D．(1，π)答案B；化为普通方程x2＋(y＋1)2＝1，其圆心坐标为(0，－1)，所以其极坐标为(1，－π2)5．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点(4，π6)作曲线C的切线，则切线长为()A．4B.7C．22D．23答案C解析ρ＝4sinθ化为普通方程为x2＋(y－2)2＝4，点(4，π6)化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理，切线长为232－22＝22.6．(2013·西城期末)在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是()A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθC．ρcosθ＝1D．ρsinθ＝1答案C；过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1，所以其极坐标方程为ρcosθ＝1，二、填空题：7．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．答案x2＋y2－4x－2y＝0解析由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ⇒cosθ＝xρ，sinθ＝yρ，ρ2＝x2＋y2，代入ρ＝2sinθ＋4cosθ，得ρ＝2yρ＋4xρ⇒ρ2＝2y＋4x⇒x2＋y2－4x－2y＝0.8．在极坐标系中，点P(2，－π6)到直线l：ρsin(θ－π6)＝1的距离是________．答案3＋1第--页，共2页4解析依题意知，点P(3，－1)，直线l为x－3y＋2＝0，则点P到直线l的距离为3＋1.9．在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为(3，π3)，(4，π6)，则△AOB(其中O为极点)的面积为________．答案3解析由题意得S△AOB＝12×3×4×sin(π3－π6)＝12×3×4×sinπ6＝3.10．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．答案43解析直线ρsin(θ＋π4)＝2可化为x＋y－22＝0，圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式，得2r2－d2＝242－2222＝43.11．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝π4(ρ0)所表示的图形的交点的极坐标是________．答案(1,0)(2，π4)解析ρ＝2cosθ表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆，故圆心的极坐标为(1,0)．当θ＝π4时，ρ＝2，故交点的极坐标为(2，π4)．12．(2013·西安五校)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．答案(2，3π4)解析ρ＝2sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，ρcosθ＝－1的直角坐标方程为x＝－1.联立方程，得x2＋y2－2y＝0，x＝－1，解得x＝－1，y＝1，即两曲线的交点为(－1,1)．又0≤θ2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为(2，3π4)．13．(2013·沧州七校联考)在极坐标系中，直线ρ(cosθ－sinθ)＋2＝0被曲线C：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．答案2，3π4解析直线ρ(cosθ－sinθ)＋2＝0化为直角坐标方程为x－y＋2＝0，曲线C：ρ＝2化为直角坐标方程为x2＋y2第--页，共2页5＝4.如图，直线被圆截得弦AB，AB中点为M，则|OA|＝2，|OB|＝2，从而|OM|＝2，∠MOx＝3π4.∴点M的极坐标为2，3π4.14．已知点M的极坐标为(6，11π6)，则点M关于y轴对称的点的直角坐标为________．答案(－33，－3)解析∵点M的极坐标为(6，11π6)，∴x＝6cos11π6＝6cosπ6＝6×32＝33，y＝6sin11π6＝6sin(－π6)＝－6×12＝－3.∴点M的直角坐标为(33，－3)．∴点M关于y轴对称的点的直角坐标为(－33，－3)．15．在极坐标系中，点P(2，3π2)到直线l：3ρcosθ－4ρsinθ＝3的距离为________．答案1解析在相应直角坐标系中，P(0，－2)，直线l方程为3x－4y－3＝0，所以P到l的距离d＝|3×0－4×－2－3|32＋42＝1.三、解答题：16．从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上的任意一点，试求RP的最小值．答案(1)ρ＝3cosθ(2)1解析(1)设动点P的坐标为(ρ，θ)，M的坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.∵ρ0cosθ＝4，∴ρ＝3cosθ即为所求的轨迹方程．(2)由(1)知P的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为32的圆，易得RP的最小值为1.17．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；第--页，共2页6(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的极坐标．解析(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0.直线l：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.(2)由x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0，得x＝0，y＝1.故直线l与圆O公共点的极坐标为(1，π2)．)．