第八章-应力、应变分析基础

材料力学§8–1应力状态的概念§8–2二向应力状态分析§8–3三向应力状态的最大应力§8–4平面应力状态下的应变分析§8-5广义虎克定律§8-6三向应力状态下的弹性能密度第八章应力、应变分析基础低碳钢韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁§8-1应力状态的概念一、问题的提出：1、低碳钢和铸铁拉伸时的破坏现象2、低碳钢和铸铁扭转时的破坏现象铸铁低碳钢为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？三、一点处应力状态的表示方法—单元体(element)：a、每一面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。二、一点处的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（stateofstressatagivenpoint）。xyxzzxzyyzyxxyzyx、、、、、、、、yxxy四、切应力互等定理:在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。0zM0)()(dydzdxdxdydzyxxyyxxy应力状态的九个应力分量中，独立的只有六个，即：zxyzxyzyx、、、、、yx证明：单元体平衡x[例8-1-1]画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。ＭxyzBCAxxBxzzxCxyyxAPP五、主单元体、主平面、主应力：3、主单元体(PrincipalElement)：各侧面上切应力均为零的单元体。1、主平面(PrincipalPlane)：切应力为零的截面。2、主应力(PrincipalStress）：主平面上的正应力。4、主应力排列：按代数值大小，321Axx6、二向应力状态（stateofbiaxialstress）：只有一个主应力为零，另两个主应力不为零。7、单向应力状态(stateofonedimensionalstress）：只有一个主应力不为零，另两个主应力为零。xBxzzxAxx5、三向应力状态（stateoftriaxialstress）：三个主应力都不为零的应力状态。0000xyyxzxzyz，，，单元体上有一组面上的应力分量都为零。一般应力分量为零的面的外法线为z。这时有：平面应力状态：§8－2二向应力状态分析1、与截面外法线同向为正；2、τa绕研究对象顺时针转动为正；3、α由x逆时针转向截面外法线为正。图1n设：斜截面面积为dA，由脱离体平衡得：Fn00cossindsindsincosdcosdd22AAAAAyxyxyx一、任意斜截面上的应力0sindcossindcosdsincosdd22AAAAAyxyxyxF0n2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx考虑切应力互等和三角变换，得：同理：02cos22sin:000xyyxdd令二、主平面和主应力yxxy22tan0！极值正应力就是主应力22minmax22xyyxyx2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx00yxxyyxxyyx2000022222cos22sin42cos2dd主方向判定：00045222，即，则：Ⅰ、Ⅳ象限，02cos0)(0ddmax022，有极大值，即，时，xyx)(0ddmin022，有极小值，即，时，xyx大偏大小偏小yxxy22tan02sin2cos22xyyxyxyx0003min2max1minmax，则：，若min3max21minmax000，则：，若min32max1minmax000，则：，若)(:min0，xyx大偏大小偏小主单元体130yx)(:max0，xyx主单元体13000450:1dd令xyyx22tan1231minmax一般情况下：4510,4面成即极值切应力面与主平三、最大切应力22minmax2xyyx231不一定时等式成立。，，当且仅当min32max102cos2sin2xyyxyxxy22tan02minmax22minmax22xyyxyx。、，求及、、、已知2xyyx22222222222222sincos)(sin)(cossincosxyyxyxxyyxyxxyyxyx2sin2cos22xyyxyx理解：根据切应力互等定和不变。的两个面上的正应力之即：单元体上互相垂直yxyx1nynxyx四、单元体两互垂面上的应力关系[例8-2-1]分析受扭构件的破坏规律。解：1、确定危险点并画其原始单元体CxyyxＭCCxyyxxyo2、求极值正应力0yxtxyWT22minmax22xyyxyx）（32104522tan00yxxy4、破坏分析MPa200;MPa240ssMPa300~198;MPa960~640MPa280~98byblb低碳钢22minmax2xyyx0022tan11xyyx铸铁（剪坏）（拉坏）3、求极值切应力低碳钢灰口铸铁[例8-2-2]已知单元体如图，计算斜截面上的应力。30MPa400MPa60，，，解：xyyxMPa4621)40()23(302cos2sin2MPa4.10)23()40(2130302sin2cos22xyyxxyyxyx30x306040MPa)(MPa4621)40()23(302cos2sin2MPa4.10)23()40(2130302sin2cos22xyyxxyyxyx[例8-2-2]单元体如图所示,试求:(1)指定斜截面上的应力,(2)单元体的主应力大小,(3)主平面的方位.10MPa30MPa20MPa解:(1)MPa10xMPa30yMPa20xy030MPa3.32)60sin(20)60cos(230102301030MPa66.18)60cos(20)60sin(2301030(2)MPa4.42MPa4.22220)23010(23010maxminMPa4.2,0,MPa4.42321230102022tg0'004331(3)主单元体如图所示。求主应力及画主单元体已知单元体上的应力，例328MPa53MPa170MPa53171835101535)2(2MPa10MPa50MPa203212222minmax，，。，，解：xyyxyxxyyx1010205085.167.332325020)10(222tan000，yxxyn320x画出主单元体)(max0，xyx(MPa)501209.198.3921210120050222tan000yxxy。求主应力及画出单元体已知单元体上的应力，例428MPa180138MPaMPa181387860506060)2(2MPa50MPa12003212222minmax，，，，解：xyyxyxxyyx)(min0，xyxx310(MPa)点的主单元体。点处的主应力并画出该的的截面上离顶面以下端图示悬臂梁，求距自由例Amm40m72.0528xzAAAAIyMPQMMPa56.101016012801040102.7kN10mkN2.712333、解：72m.02mA4080160AP=10kNxyzzAAbISQMPa88.01016080801210608040101015393、（单元体见下图）0y73.446.9256.1076.122tanMPa07.00MPa63.10MPa07.0MPa63.10)2(200032122minmaxyxxxyxyxxxy130x)(max0，xyxMPa56.10xMPa88.0xy。、求已知单元体上的应力，例xyx628MPa7.1034080MPa4.1723316080xyxMPa8024360cos60sin2MPa120234360sin60cos22030MPa80MPa120xyxxyxxyxxyxxy、、、解：1208030xyx(MPa)2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyx消去参数（2），得：此方程曲线为圆-应力圆（或莫尔圆）五、应力圆（StressCircle）图2建立应力坐标系，如图2，（注意选好比例尺）1、应力圆的画法在坐标系内画出点A(x，xy)和B(y，yx)AB与σα轴的交点C便是圆心。以C为圆心，AC为半径画圆——应力圆。Cxyxxyyo图1nA(x,xy)B(y,yx)oxyyxonxyxxyyo图12n2、单元体与应力圆的对应关系点面对应关系：应力圆→单元体点→一个面坐标→面上的应力面的法线→应力圆的半径夹角关系：应力圆两半径夹角2→单元体两面夹角；且转向一致。图2CA(x,xy)B(y,yx)),(D22minmax22xyyxyxROC）（半径3、在应力圆上标出极值应力22minmaxminmax22xyyxR）（半径OCx2202131B(y,yx)A(x,xy)maxmin[例8-2-7]求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)4532532595150°20o(MPa)(MPa)C解：、建立应力坐标系)