高一数学-必修一1.3.1函数单调性与最大(小)值

第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大（值）函数是描述事物运动变化规律的数学模型.如果了解了函数的变化规律，那么也就基本把握另外相应事物的变化规律。在事物变化过程中，保持不变的特征就是事物的特征。因此研究函数的性质是非常重要的。观察以下各函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律？函数单调性定义：设函数的定义域为I，区间.在区间D上，若函数的图象（从左至右看）总是上升的，则称函数在在区间D上是增函数，区间D称为函数的单调增区间；在区间D上，若函数的图象（从左至右看）总是下降的，则称函数在在区间D上是减函数，区间D称为函数的单调减区间.ID例1下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？解：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]问题：根据函数的定义，对于自变量x的每一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么当一个函数在某一区间上是单调增（或单调减）的时候，相应的，自变量的值与对应的函数值的变化规律是怎样的？问题：如果对于区间（a,b)上的任意x有f(x)f(a),则函数f(x)在（a,b)上单调增.这个说法正确吗？请说明理由（举例或画图）.函数单调性定义：设函数的定义域为I：对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数.21,xx21xx)()(21xfxf函数单调性定义：设函数的定义域为I：对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数.21xx)()(21xfxf21,xx例2物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性定义证明.),0(,VVkp如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.增区间和减区间统称为单调区间.证明：设V1，V2是区间(0，+∞)上的任意两个实数，且V1V2，则21121212()()VVkkpVpVkVVVV由V1，V2∈(0，+∞)且V1V2，得V1V20,V2-V10取值变形作差定号0)()(21VpVp)()(12VpVp即所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.),0(,VVkp结论判断函数单调性的方法步骤1任取x1，x2∈D，且x1x2；2作差f(x1)－f(x2)；3变形（通常是因式分解和配方）；4定号（即论证f(x1)－f(x2)的正负）；5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：例3用单调性定义证明函数在R上单调递增.3)(xxf判断函数单调性的方法步骤1任取x1，x2∈D，且x1x2；2作差f(x1)－f(x2)；3变形（通常是因式分解和配方）；4定号（即论证f(x1)－f(x2)的正负）；5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：yoxoyxyoxyoxyox在增函数在减函数ab2--，,2ab在增函数在减函数ab2--，,2ab在(-∞,+∞)是减函数在(-∞,0)和(0,+∞)是减函数(-∞,+∞)是增函数在(-∞,0)和(0,+∞)是增函数yox课堂小结函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．求函数的单调区间时必须要先求函数的定义域,单调区间是定义域的子集.取值→作差→变形→定号→下结论单调性的证明一般分五步：