一元二次方程根与系数关系

1太平洋教育一元二次方程根与系数关系专项训练主讲：刘一鹤1、如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1、x2，那么x1+x2=，x1·x2=。2、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么：x1+x2=；x1·x2=；2111xx；x21+x22=；(x1+1)(x2+1)=；｜x1－x2｜=。3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。4、如果关于x的一元二次方程x2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是，a的值为。5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2，那么k=。6、已知方程2x2+mx－4=0两根的绝对值相等，则m=。7、一元二次方程px2+qx+r=0(p≠0)的两根为0和－1，则q∶p=。8、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m=。9、已知关于x的一元二次方程(a2－1)x2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a=。10、已知关于x的一元二次方程mx2－4x－6=0的两根为x1和x2，且x1+x2=－2，则m=，(x1+x2)21xx=。11、已知方程3x2+x－1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为。12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为。13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。(其中二次项系数为1)14、已知关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x+m2=0。若方程的两根互为倒数，则m=；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m=。15、已知方程x2+4x－2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α=；β=；m=。16、已知关于x的方程x2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=17、已知关于x的方程x2－3mx+2(m－1)=0的两根为x1、x2，且43x1x121，则m=。18、关于x的方程2x2－3x+m=0，当时，方程有两个正数根；当m时，方程有一个正根，一个负根；当m时，方程有一个根为0。19、若方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同，则m=。20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x－2=0两根的二倍，则所求的方程为。21、一元二次方程2x2－3x+1=0的两根与x2－3x+2=0的两根之间的关系是。22、已知方程5x2+mx－10=0的一根是－5，求方程的另一根及m的值。23、已知2+3是x2－4x+k=0的一根，求另一根和k的值。24、证明：如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+B的无理数(A、B均为有理数)，那么另一个根必是A－B。25、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大?0362)2(,053)1(22xxx26、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：x31x2+x1x32227、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x1x128、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(x21－x22)229、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：x1－x230、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：122xx31、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：x51·x22+x21·x5232、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+6和2－6。33、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。34、造一个方程，使它的根是方程3x2－7x+2=0的根；(1)大3；(2)2倍；(3)相反数；(4)倒数。35、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。36、已知关于x的方程2x2－(m－1)x+m+1=0的两根满足关系式x1－x2=1，求m的值及两个根。37、α、β是关于x的方程4x2－4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足10091)1)(1(，求m的值。38、已知一元二次方程8x2－(2m+1)x+m－7=0，根据下列条件，分别求出m的值：(1)两根互为倒数；(2)两根互为相反数；(3)有一根为零；(4)有一根为1；(5)两根的平方和为641。39、已知方程x2+mx+4=0和x2－(m－2)x－16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根。40、已知关于x的二次方程x2－2(a－2)x+a2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a的值。41、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b、c的值。42、设：3a2－6a－11=0，3b2－6b－11=0且a≠b，求a4－b4的值。43、试确定使x2+(a－b)x+a=0的根同时为整数的整数a的值。44、已知一元二次方程(2k－3)x2+4kx+2k－5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求当k取何整数时，方程有两个整数根。45、已知：α、β是关于x的方程x2+(m－2)x+1=0的两根，求(1+mα+α2)(1+mβ+β2)的值。46、已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。，47、已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根；y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1－y1=2,x2－y2=2，求m、n的值。48、关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x2+2(a+m)x+2a－m2+6m－4=0有大于0且小于2的根。求a的整数值。49、关于x的一元二次方程3x2－(4m2－1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m的值。50、已知：α、β是关于x的二次方程：(m－2)x2+2(m－4)x+m－4=0的两个不等实根。(1)若m为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；(2)若α2+β2=6时，求m的值。51、已知关于x的方程mx2－nx+2=0两根相等，方程x2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。求证：方程x2－(k+n)x+(k－m)=0一定有实数根。352、关于x的方程22n41mx2x=0，其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。53、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2(x1≠x2)，在数轴上，表示x2的点在表示x1的点的右边，且相距p+1，求p的值。54、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。55、如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少?56、已知方程2x2－5mx+3n=0的两根之比为2∶3，方程x2－2nx+8m=0的两根相等(mn≠0)。求证：对任意实数k，方程mx2+(n+k－1)x+k+1=0恒有实数根。57、(1)方程x2－3x+m=0的一个根是2，则另一个根是。(2)若关于y的方程y2－my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m，n应满足。58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积x2+3x+1=0；59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积3x2－2x－1=0；60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积－2x2+3=0；61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积2x2+5x=0。62、已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是－2，求它的另一个根及m的值。63、已知关于x的方程3x2－1=tx的一个根是－2，求它的另一个根及t的值。64、设x1，x2是方程3x2－2x－2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(x1－4)(x2－4)；(2)x13x24+x14x23；(3)12213131xxxx；(4)x13+x23。65、设x1，x2是方程2x2－4x+1=0的两个根，求｜x1－x2｜的值。66、已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2，方程x2－mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7，求m和n的值。67、以2，－3为根的一元二次方程是()A.x2+x+6=0B.x2+x－6=0C.x2－x+6=0D.x2－x－6=068、以3，－1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是()A.3x2－2x+3=0B.3x2+2x－3=0C.3x2－6x－9=0D.3x2+6x－9=069、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是()A.x2+2x－3=0B.x2－2x+3=0C.x2+2x+3=0D.x2－2x－3=070、以－3，－2为根的一元二次方程为，以213，213为根的一元二次方程为，以5，－5为根的一元二次方程为，以4，41为根的一元二次方程为。71、已知两数之和为－7，两数之积为12，求这两个数。72、已知方程2x2－3x－3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是：(1)a+1.b+1(2)baab2,273、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm，面积为27cm2，求这个直角三角形斜边的长。74、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么?475、关于x的方程x2－ax－3=0有一个根是1，则a=，另一个根是。76、若分式1322xxx的值为0，则x的值为()A.－1B.3C.－1或3D.－3或177、若关于y的一元二次方程y2+my+n=0的两个实数根互为相反数，则()A.m=0且n≥0B.n=0且m≥0C.m=0且n≤0D.n=0且m≤078、已知x1，x2是方程2x2+3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(2x1－3)(2x2－3)；(2)x13x2+x1x23。79、已知a2=1－a，b2=1－b，且a≠b，求(a－1)(b－1)的值。80、如果x=1是方程2x2－3mx+1=0的一个根，则m=，另一个根为。81、已知m2+m－4=0，04112nn，m，n为实数，且nm1，则nm1=。82、两根为3和－5的一元二次方程是()A.x2－2x－15=0B.x2－2x+15=0C.x2+2x－15=0D.x2+2x+15=083、.设x1，x2是方程2x2－2x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(x12+2)(x22+2)；(2)(2x1+1)(2x2+1)；(3)(x1－x2)2。84、.已知m，n是一元二次方程x2－2x－5=0的两个实数根，求2m2+3n2+2m的值。85、已知方程x2+5x－7=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程的两个根的负倒数。86、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之比为2∶1，求证：2b2=9ac。87、.已知关于x的一元二次方程x2+mx+12=0的两根之差为11，求m的值。88、已知关于y的方程y2－2ay－2a－4=0。(1)证明：不论a取何值，这个方程总有两个不相等的实数根；(2)a为何值时，方程的两根之差的平方等于16?89、已知一元二次方程x2－10x+21+a=0。(1)当a为何值时，方程有一正、一负两个根?(2)此方程会有两个负根吗?为什么