第十五章-无套利定价理论基础-《金融经济学》PPT课件

15.1套利的严格定义资产市场数学描述回顾资产市场的（1期）支付矩阵与（0期）价格向量资产组合、资产组合的（1期）支付、资产组合的（0期）价格11111111JJJSSJxxppxxSpx11111JjjjJjjjJjJSjjxpxθxθpθ15.1套利的严格定义套利的定义及分类定义15.1（套利）：同时满足下列3个条件的资产组合θ叫做套利（arbitrage）：（i）pθ≤0；（ii）xθ≥0；（iii）前两个不等式中至少有一个是严格不等式。三类套利–第一类套利，pθ0且xθ=0：在当前获得确定性的收益，而在未来却不承担任何责任。–第二类套利，pθ=0且xθ0：在当前不付出任何代价，而在未来却能获得正的收益（尽管这种收益是不确定的，但这种不确定性只是获利有多大而已，而不会带来任何损失的可能）–第三类套利，pθ0且xθ0：当前既能获得确定性的正收益，在未来还能获得正的支付三点说明–套利只依赖于资产的支付和价格，而与各个状态发生的概率无关。–任何套利机会都可以化成前面这三种套利的一种–无套利是均衡的一个必要条件——均衡中一定没有套利机会；但无套利并非均衡的充分条件——即使资产市场中没有套利机会，也未必达到了均衡（市场可能还没出清）215.2资产定价基本定理状态价格向量与资产定价资本定理定义15.2（状态价格向量）：状态价格向量φ=(φ1,...,φS)T为一组正数（φs0，s），使得对于任意资产j都有下式成立对状态价格向量的说明–状态价格就是各个状态对应的Arrow证券的价格–状态价格等于随机折现因子（定价核）乘以真实世界的概率φs=πsms–状态价格总是正的（Arrow证券的价格必然大于0）定理15.3（资产定价基本定理）：资产市场中不存在套利机会，当且仅当状态价格向量存在31Sjjssspx11[]SSjjjjssssssspEmxmxx15.2资产定价基本定理超平面分离定理超平面分离定理：任给两个S维空间中相互分离的凸集合A和B（二者的交集为空集），在这两个凸集合中分别任取一点，aA，bB，一定可以找到一个线性函数F(x)=α1x1+α2x2+...+αSxS（其中的α1、α2、......αS都是常数），使得F(a)F(b)–由于F是线性函数，所以对任意实数μ，必有F(μa)=μF(a)415.2资产定价基本定理资产定价基本定理的证明思路定义集合A–A中的元素都是包含S+1个元素的向量，每个向量对应一个资产组合–每个向量的第1个元素是资产组合0期价值乘以-1，后S个元素是资产组合在1期各个状态的支付–集合A中的元素的自由度只有S个——因为根据已知的支付矩阵x与价格向量p，给出了A中元素的S个分量后，第S+1个分量就能算出来——所以集合A构成了一个维数低于S+1的子空间（subspace）定义集合B–B中的元素都是包含S+1个元素的向量，且向量的每个元素都非负–集合B是一个锥（cone）——在二维的情况下，集合B就是二维坐标系的第一象限（包含坐标轴）501,,,:0,0,1,,SiBbbbbiS1111,,,:1,,JJJjjjjjSjjjjjApxxRjJ，15.2资产定价基本定理资产定价基本定理的证明思路（续1）资产市场中如果没有套利机会，集合A和集合B只相交于0=(0,0,...,0)这一点（AB={0}）–如果A和B还相交于非0的点，就意味着下面这个向量的所有元素都非负，且至少有一个元素严格为正，因而构成了前面定义的套利61111,,,JJJjjjjjSjjjjpxx15.2资产定价基本定理资产定价基本定理的证明思路（续2）集合A与集合B-{0}（集合B除去0点）都是凸集，由超平面分离定理可以知道，可以找到一个线性的函数F(x)=α0x0+α1x1+...+αSxS，使得F(a)F(b)，aA，bB-{0}对任意元素aA，任给一个实数μ，必有μaA——如果一个投资组合在A中，那么把投资组合各项权重全部乘以μ得到的新投资组合也必然在A中对任意aA，必然有F(a)=0–反证法，假设这一结论不成立，则必然存在某个a0A，使得F(a0)≠0–当μ时（如果F(a0)0，则让μ-），必有F(μa0)=μF(a0)–F(a)F(b)（aA，bB-{0}）将无法成立，形成矛盾由于F(a)F(b)，又由于对任意的bB-{0}，必有F(b)0，因此对线性函数F(x)=α0x0+α1x1+...+αSxS来说，必有αi0（i=0,1,...,S）F(a)=0写成70111110JJJjjjjjSSjjjjpxx15.2资产定价基本定理资产定价基本定理的证明思路（续3）由于权重θ可以任意选择，完全可以将其设定为某种资产j的权重为1，其它资产的权重全部为0，所以对任意一种资产j，都有变形为其中的αs/α0（s=1,...,S）全是正数，就是所要寻找的状态价格，定理的充分性（无套利=存在状态价格向量）得证如果已经存在着状态价格φ1，...，φS，则资产价格必定可以表示为由于所有的φs都是正数，所以如果xθ≥0，必然有pθ≥0。而如果xθ0，则必有pθ0。所以不存在套利机会，定理的必要性得证80110jjjSSpxx10Sjsjsspx1Sjjssspx15.2资产定价基本定理完备市场中状态价格的唯一性定理15.4（第二资产定价基本定理）：在一个完备的资产市场中如果不存在套利机会，则存在唯一的状态价格向量证明：–完备市场中，必然可以用市场中现有资产构造出各个状态的Arrow证券–如果状态价格不唯一，必然会导致至少一个状态对应两个状态价格，因而必然至少有一个Arrow证券有两个价格–因而必然会出现套利机会，与无套利的假设矛盾–所以在完备市场中，状态价格向量必定唯一915.3风险中性概率风险中性概率的推导无风险资产在现在（0期）的价格应该为无风险利率的倒数，即e-r（连续复利计息），它应该等于所有状态价格之和定义因为sqs=1，故可以将q1、...、qS视为各个状态发生的概率（注意这个概率与真实世界中各个状态发生的概率是两回事），有其中期望符号的上标Q是用来区分用真实世界概率π1、...、πS计算的数学期望E[x̃]构造的概率（q1、...、qS）叫做风险中性概率；这个概率所对应的假象世界叫做风险中性世界；风险中性世界中的资产定价问题变成了求取数学期望的简单问题101Srsse1rsssSssqe111[]SSSrrrrQssssssssspxeexeqxeEx15.3风险中性概率风险中性定价方法和风险中性概率的经济含义无套利定价（风险中性定价）方法–验证资产市场不存在套利机会，且是完备的，从而确认存在唯一状态价格向量；–利用现有的资产价格信息，直接求出风险中性概率；–利用p=e-rEQ[͠x]计算资产价格均衡市场（C-CAPM）的风险中性概率风险中性概率（qs）其实是对真实世界概率（πs）的调整——在风险中性概率中，那些消费更为宝贵（消费边际效用更高）的状态已经在计算概率时获得了增大111,1100()()()()SssssucucpExxucuc1,1,1,1,1100()()()()()()SSsssssssssssucucqucucucuc几个概念及其相互联系͠m（ms=φs/πs）：随机折现因子（stochasticdiscountfactor，SDF），状态价格密度（statepricedensity），状态价格核（statepricekernel），定价核（pricingkernel）φs=πsms：状态价格（stateprice），Arrow证券价格e-r=sφs=sπsms=E[͠m]：无风险资产价格qs=erφs：风险中性概率（riskneutralprobability）12111[][]SSSrrQsssssssssspEmxmxxeqxeEx风险中性定价的直觉关键问题：资产定价的核心明明是对风险的处理，为什么可以假设投资者都是风险中性的来定价？汉堡和可乐套餐的定价问题–一个汉堡值多少钱，一杯可乐值多少钱，取决于消费者的口味–但不管消费者的口味是怎样的，在汉堡和可乐的价格给定了之后，只要不存在套利机会，汉堡和可乐套餐的价格就一定等于汉堡的价格加上可乐的价钱–基于汉堡和可乐的价格，给汉堡可乐套餐定价时不需要考虑消费者的口味风险中性定价的直觉–消费者的风险偏好当然会影响资产价格–但在给定了一些资产的价格信息，运用无套利条件来给其他一些相关资产定价时，消费者的风险偏好就没有用了——因为套利机会是否存在，与投资者的风险偏好无关–所以可以假设所有投资者都是风险中性的，用已知资产价格信息求出风险中性概率，再用风险中性概率来求取资产价格13