实数集与函数

《数学分析》教案3第一章实数集与函数（10学时）§１．实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：（１）理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．学时安排:2学时教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门旅程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一实数及其性质１、实数(,qpqp正分数,有理数为整数且q0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示.|Rxx为实数全体实数的集合．[问题]有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：对于正有限小数01,nxaaa其中009,1,2,,,0,inainaa为非负整数，记0119999nxaaa；对于正整数0,xa则记0(1).9999xa；对于负有限小数（包括负整数）y，则先将y表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．０＝0.0000例：2.0012.000999932.99992.0012.00999932.9999利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？２．两实数大小的比较《数学分析》教案41）定义１给定两个非负实数01nxaaa，01nybbb.其中00,ab为非负整数，,kkab(1,2,)k为整数，09,09kkab．若有,1,2,kkabk，则称x与y相等，记为xy；若00ab或存在非负整数l，使得,1,2,,kkabkl，而11llab，则称x大于y或y小于x，分别记为xy或yx．对于负实数x、y，若按上述规定分别有xy或xy，则分别称为xy与xy（或yx）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义２（不足近似与过剩近似）：01nxaaa为非负实数，称有理数01nxaaa为实数x的n位不足近似；110nnnxx称为实数x的n位过剩近似；对于实数01nxaaa，其n位不足近似01110nnnxaaa；n位过剩近似01nnxaaa.注：实数x的不足近似nx当n增大时不减，即有012;xxxx过剩近似nx当n增大时不增，即有01xxxx．命题：记01nxaaa，01nybbb为两个实数，则xy的等价条件是：存在非负整数n，使nnxy（其中nx为x的n位不足近似，ny为y的n位过剩近似）．命题应用————例１例１．设,xy为实数，xy，证明存在有理数r，满足xry．证．由xy，知：存在非负整数n，使得nnxy．令12nnrxy，则r为有理数，且nnxxryy．即xry．３．实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．封闭性（实数集Ｒ对,,,）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数．有序性：任意两个实数,ab必满足下列关系之一：,,ababab．传递性；,abbcac．阿基米德性：,,0abRbanN使得nab．稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例２．设,abR，证明：若对任何正数，有ab，则ab．（提示：反证法．利用“有序性”，取ab）《数学分析》教案5二、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）．１．绝对值的定义实数a的绝对值的定义为,0||0aaaaa．２．几何意义：从数轴看，数a的绝对值||a就是点a到原点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应，||xa表示就是数轴上点x与a之间的距离．３．性质．１）||||0;||00aaaa（非负性）；２）||||aaa；３）||ahhah，||.(0)ahhahh；４）对任何,abR有||||||||||ababab（三角不等式）；５）||||||abab；６）||||aabb（0b）．［练习］Ｐ４．５［课堂小结］：实数：一实数及其性质二绝对值与不等式.§２数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。教学要求：（１）掌握邻域的概念；（2）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。教学难点：确界的定义及其应用。学时安排:3学时教学方法：讲授为主教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课。引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§１实数的相关内容。下面，我们先来检验一下自学的效果如何！１．证明：对任何xR有（１）|1||2|1xx；（２）|1||2||3|2xxx.２．证明：||||||xyxy.３．设,abR，证明：若对任何正数有ab，则ab.《数学分析》教案6４．设,,xyRxy，证明：存在有理数r满足yrx.[引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一。而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用。提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）。本节主要内容：１．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。一区间与邻域１．区间（用来表示变量的变化范围）设,abR且ab。|(,).|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.xRaxbabxRaxbabxRaxbabxRaxbabxRxaaxRxaaxRxaaxRxaaxRxR开区间:有限区间闭区间:闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间２．邻域联想：“邻居”。字面意思：“邻近的区域”。（看左图）。与a邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（１）a的邻域：设,0aR，满足不等式||xa的全体实数x的集合称为点a的邻域，记作(;)Ua，或简记为()Ua，即(;)||(,)Uaxxaaa.（２）点a的空心邻域(;)0||(,)(,)()ooUaxxaaaaaUa.（３）a的右邻域和点a的空心右邻域00(;)[,)();(;)(,)().UaaaUaxaxaUaaaUaxaxa（４）点a的左邻域和点a的空心左邻域《数学分析》教案700(;)(,]();(;)(,)().UaaaUaxaxaUaaaUaxaxa（５）邻域，邻域，邻域()||,UxxM（其中Ｍ为充分大的正数）；(),UxxM()UxxM二有界集与无界集什么是“界”？定义１（上、下界）：设S为R中的一个数集。若存在数()ML，使得一切xS都有()xMxL，则称Ｓ为有上（下）界的数集。数()ML称为Ｓ的上界（下界）；若数集Ｓ既有上界，又有下界，则称Ｓ为有界集。若数集Ｓ不是有界集，则称Ｓ为无界集。注：１）上（下）界若存在，不唯一；２）上（下）界与Ｓ的关系如何？看下例：例1讨论数集|Nnn为正整数的有界性。分析：有界或无界上界、下界？下界显然有，如取1L；上界似乎无，但需要证明。解：任取0nN，显然有01n，所以N有下界１；但N无上界。证明如下：假设N有上界M,则M0，按定义，对任意0nN，都有0nM，这是不可能的，如取0[]1,nM则0nN，且0nM.综上所述知：N是有下界无上界的数集，因而是无界集。例2证明：（１）任何有限区间都是有界集；（２）无限区间都是无界集；（３）由有限个数组成的数集是有界集。[问题]：若数集Ｓ有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一，有无穷多个)。三确界与确界原理１、定义定义２（上确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数满足：(1)对一切,xS有x（即是Ｓ的上界）;(2)对任何，存在0xS，使得0x（即是Ｓ的上界中最小的一个），则称数为数集Ｓ的上确界，记作sup.S定义３（下确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数满足：（１）对一切,xS有x（即是Ｓ的下界）；（２）对任何，存在0xS，使得0x（即是Ｓ的下界中最大的一个），则称数为数集Ｓ的下确界，记作infS.《数学分析》教案8上确界与下确界统称为确界。§３函数概念教学目的：使学生深刻理解函数概念。教学要求：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。教学重点：函数的概念。教学难点：初等函数复合关系的分析。学时安排:1学时教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学。教学程序：引言：关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解。为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论。一函数的定义１．定义１设,DMR，如果存在对应法则f，使对xD，存在唯一的一个数yM与之对应，则称f是定义在数集Ｄ上的函数，记作:fDM(|xy).函数f在点x的函数值，记为()fx，全体函数值的集合称为函数f的值域，记作()fD。即()|(),fDyyfxxD。２．几点说明（1）函数定义的记号中“:fDM”表示按法则f建立Ｄ到Ｍ的函数关系，|xy表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作|()xfx。习惯上称x自变量，y为因变量。（2）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来。因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则。所以函数也常表示为：(),yfxxD.由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则。例如：1）()1,,fxxR()1,\0.gxxR（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）()||,,xxxR2(),.xxxR（相同，对应法则的表达形式不同）。（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）。此时，函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f来表示一个函数。即“函数()yfx”或“函数f”。《数学分析》教案9（4）“映射”的观点来看，函数f本质上是映射，对于aD，()fa称为映射f下a的象。a称为()fa的原象。（5）函数定义中，xD，只能有唯一的一个y值与它对应，这样定义的函