第三讲不确定性与跨期决策

本讲内容•风险与不确定性•风险的度量•期望效用•不确定条件下的风险决策•跨时期的最优决策1、不确定性vs.风险•许多个人决策中都面临未来所处状况不确定性的情况：是否会下雨：出门是否带伞？轮胎是否会爆炸：开车远行是否要换轮胎？小麦价格是否足够好：小麦收割机是否要换新？•“不确定的事件”（uncertainevent）：指该事件的结果（outcomes）不只一种（例如明天天气降雨概率为90%），或对未来结果的预测（或预期）不是百分百准确（例如明天温度为16-20度）。因此，不确定事件的结果都具有随机性（stochastic）的特性。不确定性vs.风险•各结果的概率分布若可经由客观事实或实证资料而得到，并据以做为决策的基础，即视该事件为具有“风险”的事件；否则即为具有“不确定性”的事件（Knight,1933.Risk,UncertaintyandProfit）。•在许多情况下，虽无客观概率，但决策者仍可能就有关结果的概率分布，根据其经验累积而做出主观的判断。此主观概率分布形成后，其决策问题将与Knight所认同的风险决策无所差异。因此有些学者将“不确定性”与“风险”等同视之。不确定性vs.风险•但有些学者还是主张加以区分，这是因为：根据主观意识所形成的概率分布未必完全正确，形成概率的信息质量亦有所区别；不确定性的程度虽无法预测，但个人对于风险的程度，可赋予不同的高低顺序（例如将各结果按高风险至低风险排列），而排列顺序不仅取决于风险的程度（levelofrisk），而且与个人的风险态度（riskattitude）有关。不确定性vs.风险•现在主流的方法中,不确定性被定义为一个结果发生的概率小于1,而风险则度量的是不确定性程度.不确定性vs.风险•示例:•事件A是买车者所购为标准车,事件B为不拥有车,完全确定;事件C为买车者所购为低于标准的车.•消费者对车的偏好:A≥B,B≥C•消费者的选择:一是不买车(结果B),此时无不确定性;另一选择是买车,有A与C两种可能的结果;•消费者的决策取决于他关于选择结果的概率分布的主观猜测:认为C概率高,则选择B(持币不购);认为A概率高,则偏好买车.•三个数字组成符号(P,A,C)记为一种奖券.山东财政学院完全理性•任何影响决策者决策的因素都是确定的。•对于所有这些影响决策的因素，决策者具有完全信息。•在给定的信息条件下，决策者具有处理信息的方法和能力。只有三个条件同时满足，决策者才可能作出完全理性所要求的最优选择。山东财政学院不确定条件下的决策•本讲分析的决策属于不完全理性的决策，决策者不能肯定选择的结果是否是最优的。•造成不确定的原因是主观不确定或客观不确定性，而决策者的能力有限造成的，即非有限理性所致。•本讲研究的是在决策者具有最优化决策的能力和方法的前提下，如何在不确定的条件下进行最优化决策。2、风险的度量•为了度量某一个选择的风险，需要知道1)所有可能的结果：Xi,，i=1,2,..N2)每一种结果出现的可能性（它们的概率）:P(Xi)风险的度量•概率的含义–一个特定结果A在某次试验中（或某一行动后）发生的可能性（Likelihood）。风险的度量•概率的含义–客观概率•根据对过去的观察，该结果（事件）i发生的频率。Pi=mi/M风险的度量•概率的含义–主观概率•在缺乏频率信息的情况下，根据经验对结果发生可能性的判断。–拥有不同的信息或对同一信息的不同处理能力都可能影响主观概率。风险的度量•概率的性质1）0≤P(Xi)≤1，i＝1，2，…N2）P(X1)+P(X2)+…+P(Xn)=1风险的度量•期望（均值）（ExpectedValue）–各种可能结果的加权平均。•每个结果发生的概率作为加权的权重。EV=ΣNi=1PiXi风险的度量•例1：–油井勘探投资：–两个可能的结果•成功（S）——股票将从现在的30元涨到40元。•失败（F）——股票价格将从30元下降到20元。风险的度量•例1：–客观概率•在过去的一百个油井勘探中，有25个成功，75个失败。P（S）=1/4和P（F）=3/4风险的度量•例1:•EV=P(S)(40元/股)+P(F)(20元/股)＝1/4(40)+3/4(20)=25元/股期望值(EV)风险的度量•例2：–在第一份兼职中，假设有两个概率相同的结果：如果业绩很好，获得2000元收入；如果业绩一般则获得1000元的收入。–在第二份兼职中，大多数时候能够获得1510元工资（0.99的概率），但是公司存在0.01的概率面临倒闭，此时只能得到510元工资。方差风险的度量•兼职1的期望收入E(X1)=.5(2000元)+.5(1000元)=1500元•兼职2的期望收入E(X2)=.99(1510元)+.01(510元)=1500元兼职收入兼职1:绩效工资.52000.510001500兼职2:固定工资.991510.015101500期望概率收入（元）概率收入（元）收入结果1结果2风险的度量•离差–实际值与期望之间的差距风险的度量对期望的离差兼职12,000元500元1,000元-500元兼职21,51010510-900结果1离差结果2离差风险的度量风险的度量•方差–离差平方的期望值（均值）σ2=P(X1)(X1-EV)2+P(X2)(X2-EV)2+…+P(XN)(XN-EV)2风险的度量•标准差σ–方差的平方根风险度量•兼职收入的标准差50.99900,90).01(980,10.99(100)500000,250.5(250,000).5(250,000222111兼职12,000元250,0001,000元250,000250,000500.00兼职21,510元100510980,1009,90099.50离差离差结果1平方结果2平方方差标准差风险度量*兼职1的风险更高3、期望效用单赌：设事件结果会有n种可能,记为可能的结果集,则记Gs为关于A的单赌集合,Gs可以定义为:niiinngppapapapG122111,0/,,naaaA,,,213、期望效用•例:•以掷硬币方式打赌,若币面出现,则赢一元;若币背出现,则输一元,则A=(1,-1),p1=p2=1/2.该赌局记为:)1(21,121Gs期望效用复赌：凡是奖品本身又成为赌博本身的赌博称为复赌。复赌的一个例子高产20%正常40%低产40%(20%)雨量大0.040.080.080.2(50%)雨量中0.100.200.200.5(30%)雨量小0.060.120.120.3期望效用定义：•对于一个单赌gs=(p1a1,p2a2,….pnan),如果•称u(gs)为关于单赌gs的期望效用函数，又称VNM效用函数（冯•诺依曼—摩根斯坦效用函数）niiisaupgu1)()(山东财政学院一、VNM效用函数的定义１、期望的概念２、期望效用如果有一个单赌(,,)(1)gpABpApB,那么对应的期望效用函数就记为()()(1)()ugpuApuB。期望效用•例2：兼职•兼职1的效用：–U（L1）＝0.5u(2000)+0.5u(1000)•兼职2的效用：–U（L2）＝0.99u(1510)+0.01(510)•期望效用[ExpectedUtility]•——决策者在不确定情况下可能得到的各种结果的效用的加权平均数。•期望值[ExpectedValue]•——决策者者在不确定情况下所拥有的财富的加权平均数。•期望值的效用[UtilityofExpectedValue]•——决策者者在不确定情况下所拥有的财富的加权平均数的效用。例：•期望效用函数：•E{U[;W1,W2]}=U(W1)+(1－)U(W2)•=0.025U(295)+0.975U(95)•期望值[W]:•W＝W1+(1－)W2•＝0.025295+0.97595•＝7.375+92.635=100•期望值的效用：•U[W1+(1－)W2]=U(100)二、人们对风险的主观态度１、效用函数凹性及其经济含义凹的效用函数表示风险规避ADEC()uxO1613101015202、风险规避、风险中立与风险喜爱的定义当彩票收益期望值的效用大于彩票的期望效用时，即：称决策者为风险规避者；当彩票收益期望值的效用小于彩票的期望效用时，即：决策者为风险喜好者；当彩票收益期望值的效用等于彩票的期望效用时，即：决策者为风险中立者。图6—1给出了彩票的决策者的风险偏好态度。)())((WuWEu)())((WuWEu(())=()uEWuW),;(21xxW风险态度的类别和）应的效用函数值求加权（对不确定的结果所对）（确定结果取效用函数给定的结果）niiiniiiniiiaupguapugEuapgE111)()()())((()(的那么决策者是风险爱好）（（如果),()Eugug的那么决策者是风险中性）（（如果),()Eugug的那么决策者是风险规避）（（如果),()Eugug（三）确定性等价、风险溢价与风险偏好•确定性等值的定义确定性等值CE(certaintyequivalent)确定性等值是一个完全确定的收入量，在此收入水平上所对应的效用水平等于不确定条件下期望的效用水平。即CE满足：()()uCEug风险升水的定义•风险升水(riskpremium)•风险升水是指一个收入额度Ｐ,当一个完全确定的收入Ｅ(g)减去该额度P后所产生的效用水平仍等于不确定条件下期望的效用水平。即u(E(g)-P)=u(g)。换言之，单赌g所含的风险相当于使一个完全确定的收入量E(g)减少了P的额度.P=E(g)-CE风险升水•风险升水P是对期望收入E(g)做出的缩水。对于有风险的项目，不应该相信期望收入E(g)，而应对E(g)再减去一个P。确定性等值与风险升水wuu=u(w)CERPRP=E(g)–CECE：消费者为免除不确定性所愿意接受的确定性最高金额。Rw1u(w1)w2u(w2)STE(g)p1u(w1)+p2u(w2)=TCu(E(g))RP：指一个收入额度，当一个完全确定的收入E(g)减去该额度后所产生的效用水平仍等于不确定条件下期望的效用水平。确定性等值与风险帖水•例：•假定u(w)=In(w),令单赌赋予赢h和亏h各50%的概率。设消费者原来的资产水平为w。求CE与风险贴水BP.•解：原来的资产w0=E(g)为确定的收入水平，不赌不会丢失；•参赌：赢的收益为w0+h;输的收益为w0-h•g=(0.5×（w0+h），0.5×（w0-h））•In(CE)=In(g)=1/2In(w0+h）+1/2In（w0-h）•=In[(w0+h）w0-h）]1/2=In(w02-h2)1/2•CE=(w02-h2)1/2w0=E(g)RP=E(g)–CE=w0-(w02-h2)1/20确定性等值与风险帖水•有一种彩票，有赢或输两种概率。如赢，获900元，其概率为0.2；如输，只获100元，其概率为0.8。如消费者的效用函数形式为•问消费者愿意出多少钱去买这张彩票？风险升水BP值是多少？wu1961008.09002.0)100(8.0)900(2.0)(CECEuuCEu2601008.09002.0)(gE64196260)(CEgEBP保险与风险升水•投保人买保险是从自已的财产原值w0出发。要比较的是买保险后避免了风险与不买保险会遇上风险这两种局面。投保人根据这两种局面对自己应无差异为标准，才确定支付多少保费。U(w0-R)=u(g)•由于u(w0-R)=u(g),而u(CE)=u(g).则有u(w0-R)=u(CE)=u(E(g)-P).•保险公司让消费者的财富水平降到CE，买保险与不买保险无差异。•CE是消费者买保险的财富底线•可以理解为被索取所有消费者者剩余不确定条件下风险决策的基本原则不确定条件下的预算约束：•根据阿罗与迪布鲁的定义，虽是同一物品，但所处状态不同，应分属