第三讲决策理论的基本模型zl

第三讲：决策理论的基本模型主要内容：1.决策的基本模型2.个体偏好假设3.效用存在性定理4.相关问题讨论1.决策的基本模型不确定性下的决策通常可用下述两个模型之一描述。1）概率模型(ProbabilityModel)；2）状态变量模型(State-variableModel)。在每一种模型中，我们所说的决策者都是在彩票(lotteries)中进行选择的人，两者的区别仅在于其对彩票的定义不同。在概率模型中，彩票是彩金的概率分布；而在状态变量模型中，彩票是从可能状态集到彩金集的函数。这两个模型各自有其最为合适的应用领域。概率模型适用于描述彩金依赖于具有明显客观概率的事件这一类的赌博，我们称这样的事件为客观未知(objectiveunknowns)事件。这类赌博有安斯库姆和奥曼(1963)的“轮盘彩票”(roulettelotteries)和奈特(Knight，1921)的“风险”(risk)等。例如，依赖于掷一枚匀质的硬币、轮盘的自旋，或者从装有同样大小而颜色不同的球的瓮中随机地抽取一个球(各色球的总体已知)之类的赌博都可以用概率模型充分地描述。在概率模型中，用到一个重要的假定是：就决策的目的而言，具有相同概率分布的两个客观未知是完全等价的。例如，如果用“以各自l／2的概率得到100美元或0美元的彩金”来描述一张彩票，我们假定彩金是由掷一枚匀质的硬币来决定还是由从一个装有50个白球和50个黑球的瓮中抽取一个球来决定，都是无关紧要的。许多事件不具有明显的概率，如一个未来运动赛事的结果或者股票市场未来的行情等，这类事件我们称为主观未知(subjectiveunknowns)事件。例如，安斯库姆和奥曼(1963)的“赛马彩票”(horselotteries)或奈特(1921)的“不确定性”(uncertainty)都相当于是依赖主观未知事件的赌博。上述事件可用状态变量模型来描述，因为该模型允许我们描述彩金是如何由不可预见事件决定的，而不必事先对这些事件明确其概率。对于任何一个有限集Z，用表示集Z上的概率分布集，即()Z():R()1,()0yZZqZqyzZqz且用X表示决策者最终可能获得的彩金(prize)所组成的集；用表示可能的状态(state)所组成的集，其中之一将是世界真实状态(truestateoftheworld)。为了简化描述，我们假定X和两者都是有限集。我们将彩票定义为某个函数f，对X中的每个彩金s和中的每个状态t，f都给出一个非负实数，使得对中的每个t都有()fxt()1xXfxt令L表示所有这样的彩票所组成的集合，即:()LfX对中的任一状态t和L中的任一彩票f，表示在状态t下由f确定的X上的概率分布，即()(())()xXftfxtX()ft因此，这里的每个数都可以被理解为：若t是世界真实状态，则由彩票f得到彩金x的客观条件概率是。()fxt()fxt为使上述解释合乎情理，状态必须被定义得足够的广泛，以致于包括所有可能影响到彩金获得的主观未知事件。从而，一旦确定了状态，余下的只是客观概率，而对于任何一个规范界定的赌博而言，其可能彩金集的客观概率分布总是可以被计算出来的。因此，我们对彩票的上述规范定义，可用于表示任何一个彩金既依赖于客观未知事件又依赖主观未知事件的赌博。所以，概率模型和状态变量模型中的彩票都只是上述彩票的特例。我们所说的彩金可以是任何的商品组合或资源配置。我们假定，定义X中的彩金时，已经使得这些彩金是互不相同的，且穷尽了决策者各种决策的可能结果。更进一步，我们假定X中的一个彩金表示了决策者在由其决策导致的局势中他所关心的各方面的一个完备描述。因而，给定决策者关于世界真实状态的任一信息，他应该能给出其在彩票集上的偏好序。决策者关于世界真实状态可能拥有的信息可以用一个事件(event)来描述，每个事件都是的一个非空子集。用表示所有事件组成的集，则SSS且对于L中的任意两个彩票f和g，以及中的任一事件S，当且仅当，如果决策者知道了世界真实状念在S中，则对他来说，f至少是和g一样的理想选择时，则有Sfg也就是说，当且仅当决策者在只知道事件S已经发生而又必须在f和g之间择其一时，选择了彩票f，才有Sfg;SSSSSSSSSfgfggffgfggf给定上述关系（）,可以定义关系（）和（）,即且且不成立。SSfgSfgfgf也就是说，意味着：如果决策者在知道事件后，必须在和之间进行选择时，他将感到二者之间毫无差异；而则意味着在同样的情况下，他严格地偏好。用、和相应地代替、和，即中的某个状态被观测排除之前，没有谈到事件时，假定彩票集上的偏好是先验偏好。应注意：对于中任何可能发生的事件S，假定决策者在彩票集上都具有定义完善的偏好。在决策理论的一些论述中，一个决策者的条件偏好是在做任何观察之前，由他所确定的先验偏好(用贝叶斯公式)推导而来的，但是，这种推导不能在先验概率为0的事件下给出彩票的优劣关系。(,)()()()0PxtfxtPtPt其中，。在博弈论的领域内，这一疏漏并不像看上去那样无关紧要。Kreps和wilson，(1982)已经证明，一个理性决策者在观察到零概率事件后的信念和偏好特征对分析一个博弈可能会起到至关重要的作用。01(1),,((1))()()(1)()LfgfgLxXtfgxtfxtgxt对于满足的任意和中任意两个彩票和，表示中这样的彩票，使得为了解释上述定义，考虑从一个瓮中取一个球，瓮中黑球的比例是，白球的比例是(1－)。设想若取出的是黑球，则决策者赌f，而若取出的是白球，则这个决策考将赌g。于是，如果t是真实状态，该决策者最终得到彩金x的概率是因而，表示这个基于f和g，并按照这个随机的彩票选择过程而生成的复合彩票。()(1)()fxtgxt(1)fg对任一彩金x，我们令[x]表示一个总是肯定给出彩金x的彩票。即对每个状态t有：[]()1;[]()0[](1)[]yxxytyxxytxyxy若，若，，因而，表示分别以概率和(1-)给出彩金和彩金的彩票。2个体偏好假设一个理性决策者的偏好所应满足的一些基本性质可以用以下公理3.1～3.8表示。,,,,01,,efghLST设。公理3.1A(完备性)：公理3.1B(传递性)：公理3.1A和3.1B断定了偏好在彩票集上构成完备的传递序。SSfggf或。,SSSfgghfh若且则。公理3.2(相关性)：公理3.2断言，只有可能状态才是与决策者相关的，因此，给定事件S，对于只在S以外的状态有所不同的两个彩票对决策者而言将是无差异()(),StSftgtfg,若则。公理3.3(单调性)：公理3.3认为：得到一个较好的彩票的概率总是越高越好。01(1)(1)SSfgfgfg若且，则公理3.4(连续性)：,01(1)SSSfgghgfh若且则存在，，使。基于公理3.3、公理3.4可以认为：总是随着增大而连续地变得越来越好，因此，对偏好次序介于f和h之间的任一彩票，总存在某个由f和h随机化产生的一个复合彩票与之一样好。(1)fh公理3.5A(客观替代性)：公理3.5B(严格客观替代性)：,01(1)(1)SSSefghegfh若且，则。,01(1)(1)SSSefghegfh若且，则。公理3.6A(主观替代性)：公理3.6B(严格主观替代性)：,,STSTfgfgSTfg若且则。,,STSTfgfgSTfg若且则。替代性公理(也被称为独立性公理或肯定性公理)在下述意义上或许是公理系中最重要的—个：即使没有其他的公理，替代性公理也能对决策者偏好应具有的性质产生很强的限制。上述公理表达了这样的思想：即如果决策者必须在两个选择中取其一，又存在两个互斥事件且其中之一必然发生，而他在每个事件下都偏好于第一个选挥，那么，在知道哪个事件发生之前，他一定偏好于第一个选择(否则，他将表现出一种偏好，按照这种偏好，必然存在某个事件使得他在知道该事件是真实的之后，他肯定想颠倒偏好顺序而偏好于第二个选择)。公理3.7(利害性)：公理3.7要求决策者绝不会对所有的彩金都是无差异的。该公理只是一个正则性条件以保证在每个状态下决策者都会多少有点利害关系发生。[][]StXyzyz对于中的每个状态，中都存在彩金和，使得。公理3.8(状态中性)：()()()(),rtrtfrftgrgtfgfg对于中的任意两个状态和，若且又，则。公理3.8断言，决策者在世界所有状态下对客观赌博总是具有相同的偏好序。如果上述公理不成立，那是因为同样的彩金在不同的状态下可以有不同的评价值。3.3效用存在性定理上的一个条件概率函数(conditional-probabilityfunction)是任何一个这样的函数：它能对中的每个状态t和每个事件S都具体指定非负的条件概率，且使得,()0()1rStSptSprS若则且＝。:()p()ptS给定任一这样的条件概率函数，有,,()()rRRSSpRSprS有。R:R,:R()()XuXuXxtuxtUxu一个效用函数(utilityfunction)是从到实数集的任一函数。对于效用函数它不依赖于状态当且仅当存在某个函数使得对所有的和，都有则称是状态独立(stateindependent)。,(())()(())(()(,)())pptSxXpufSEufSpSfEufSptSuxtfxt给定条件概率、效用函数、彩票和事件令表示当为真实状态的概率分布时，由所决定的彩金的期望效用值，即＝定理公理3.1～3.7同时满足的充要条件是存在一效用函数和一个条件概率函数使得(3.1)式、(3.2)式和(3.3)式成立。:RuX:()p,max(,)1min(,)0(3.1),,,,()()()(3.2)xXxXtuxtuxtRSTRSTSpRTpRSpST且若且则,,,(())(())(3.3)SppfgLSfgEufSEugS定理3.2公理3.1～3.8同时满足的充要条件是：式(3.1)～(3.3)对一个状态独立的效用函数也成立。为了能在实践中应用上述结论，我们需要一个对所有x、t和S来确定效用和概率的程序。雷费(1968)证明：上述程序确实存在，它们构成了实际决策分析的基础。(,)uxt()ptS2.4相关问题讨论1）决策者的目标决策者追求期望效用最大化而非期望货币最大化。考察Ellsberg游戏。连续掷一枚匀质的硬币，直到出现反面为止。若连续出现正面的次数为n，则掷硬币者可得元现金。2nE下面计算参与该游戏的期望现金收益。2211112222221lim22nnkknknEEllsberg游戏的期望现金收益趋于无穷大，但现实中很少有人愿意出较大的一笔钱（如50元）去玩该游戏。2）贝叶斯决策模型的不足（1）效用函数的不适用性。考察一个著名的悖论——Allais悖论。123412,1,0()0.10[12]0.90[0]0.11[1]0.89[0][1]0.10[12]0.89[1]0.01[0]Xffff设单位为百万美元，且令这此人或许感到1200万美元明显地好于100万美元，所以，与相比，彩金低些的彩票即使中彩概率稍稍高一点也是没有吸引力的。1f2f1234ffff许多人的偏好为：另一方面，它们宁可按受，中肯定的100万美元，而不愿意接受，即以1％的概率一无所获作为代价去换取10％将其彩金从100万美元提高到1200万美元的诱惑。3f4f上述偏好无法用任何效用函数去解释。这是因为：132