随机过程理论在期权定价中的应用

140TimesFinance2011年第8期下旬刊（总第454期）时代金融TimesFinanceNO.8，2011（CumulativetyNO.454）伴随着经济的快速发展，各种研究金融的工具不断产生。数理金融学是20世纪后期迅速发展起来的一门新兴交叉性学科。它是人们观察、研究与认识金融问题的一种独特方法，它把数学工具与金融问题有机地结合起来，为创造性地研究、解决各种金融问题提供基础与指导。通过数学建模、理论分析、理论推导、数值计算等定量分析，研究和分析金融交易中的各种问题，从而精确地刻画出金融交易过程中的一些行为及其可能的结果；同时研究其相应的预测理论，达到回避金融风险、实现金融交易收益昀大化的目的，从而使有关金融交易的决策更加简洁和准确。由于数理金融学所研究的金融现象具有很强的不确定性，因此随机过程理论作为概率论的一个重要分支，被广泛地运用到金融问题的研究中。随机过程理论主要包括：概率空间理论、Poisson过程、更新过程、离散参数的Markov链、连续参数的Markov链、Brown运动、鞅理论、随机积分、随机微分方程等。近几十年来，随机过程理论及其应用得到了迅速发展。物理学、自动控制、通信科学、经济学以及管理科学等多种领域都活跃着随机过程理论的身影。本文将随机过程理论引入期权的定价问题中，应用Poisson过程理论来研究证券市场中股票价格波动的规律性，考虑交易量对股票价格的影响，构造股票价格过程模型，并给出期权投资过程中回避风险的方法。一、Poisson过程的基本概念定义1.1随机过程{Nt,t≥0}称为计数过程，如果Nt表示在时间区间（0，t]中发生的某种事件（因事件的发生为时间轴上的一个点，所以人们也把事件称作点）的数目。因此，一个计数过程必须满足：（1）Nt取非负整数值；（2）若st，则NsNt；（3）Nt在R+=[0,∞）上右连续且逐段取常数；（4）对于st，Ns,t=Ns-Nt等于时间（s，t]中发生的事件数，说计数过程{Nt,t≥0}具有独立增量，如果它在任意有限多个互不相交的时间区间中发生的事件数相互独立，说计数过程{Nt,t≥0}具有平稳增量，如果在任意时间区间中发生的事件数的概率分布只依赖于这区间的长度，而与其位置无关，即对任意0≤t1≤t2，和s0，增量Nt1,t2和Nt1+s,t2+s有相同的概率分布。定义1.2计数过程{Nt,t≥0}称为强度（或速率）为λ的齐次Poisson过程如果它满足下列条件：（1）P（N0=0）=1；（2）具有独立增量；（3）对任意的0≤st，Ns,t=Ns-Nt具有参数λ（t-s）的Poisson分布，即P（Ns,t=k）=[λ（t-s）]ke-λ（t-s）/k!k=0,1,2,…定义1.3计数过程{Nt,t≥0}称为Poisson过程，参数为λ，λ0，如果（1）N0=0；（2）过程有平稳与独立增量；（3）P（Nh=1=1）=λh+0（h）；（4）P（Nh≥1）=0（h）定义1.4计数过程{Nt,t≥0}称为非平稳或非齐次Poisson过程，有强度函数λ（t），t≥0，如果它满足下列条件（1）N0=0（即仍从时刻0开始计数）（2）{Nt,t≥0}具有独立增量（3）P（Nh+t-Nt≥2）=o（h）（4）P（Nh+t-Nt=1）=λ（t）h+o（h）若令m（t）=∫0λ（s）ds则可以证明()()(){}()()()[]!/exp)(ntmstmtmstmnNNPnttn−+−+−==−+n=0,1,2...即Ns+t-Nt具有均值为m（t+s）-m（t）的Poisson分布。非齐次Poisson过程的重要性在于不再要求平稳增量性，从而允许事件在某些时刻的可能性较之另一些时刻来得大。当强度λ（t）有界时，可以将非齐次Poisson过程看作一个齐次Poisson过的随机取样。具体说就是：设λ满足λ（t）≤λ且，对一切t≥0且考虑一个强度为λ的Poisson过程。设此过程在时刻t发生的事件以概率λ（t）/λ被计数，则被计数的事件构成的过程就是具有强度函数λ（t）的非齐次Poisson过程。定义1.5称随机过程{}0,≥tYt为复合Poisson过程，若∑==tNnntY1ξ，其中Nt是Poisson过程，{}1,≥nnξ是独立、同分布的随机变量序列，且{}0,≥tNt与{}1,≥nnξ相互独立。引理1.1∑==tNnntY1ξ为复合Poisson过程，则（1）Yt是一个独立增量过程；（2）Yt的特征函数为：()()(){}1exp−Φ=ΦututYξλ其中是随机变量点的特征函数，λ是事件的到达率；若∞2ξE，则，。证明：（1）令mttt≤...010，则：随机过程理论在期权定价中的应用刘云啸（华中师范大学数学与统计学学院，湖北武汉430079）【摘要】数理金融学作为一门边缘学科，应用大量的数学理论和方法研究、解决金融中一些重大理论问题、实际应用问题和一些金融创新的定价问题等。由于金融问题的复杂性，所用到的数学知识，除基础知识外，还有大量的现代数学理论和方法。在本文中，我们将交易量引入股票价格的波动模型中，应用Poisson过程理论描述股票价格的波动性，并根据期权定价理论，推导出欧式买入期权的定价公式。在金融投资过程中，投资者通常把回避风险和控制风险放在首位，因此我们进一步给出了风险回避市场中欧式买入期权的价格范围，以便给投资者更加具体的参考。【关键词】随机过程复合Poisson过程股票交易量期权定价TimesFinance141∑==01tNnnYξ∑−==−ktktNNnnYY1ξk=1,...,m根据{}0,≥tNt和{}1,≥nnξ的假设，不难看出Yt是一个独立增增量过程。（2）=(){}()nNPnNeEtnttjuY==∑∞=0=(){}()!/exp01ntenNjuEntntnkkλξλ−∞==∑∑==(){}()!/exp01ntejuEntnnkkλξλ−∞==∑∑==exp()(){}1−Φutξλ（3）首先考虑在nNt=条件下，Yt的条件期望[][]∑====tNktkttnNEnNYE1ξ=[]∑==nktknNE1ξ=于是：[]ξENNYEttt=所以有：又因为：而且()[]∑====NtktkttnNDnNYD1ξ=于是：D[Yt|Nt]=NtDξ所以有：二、基于复合Poisson过程理论的股票价格模型1.模型构造假设证券市场中，某股票每次交易的强度是独立同分布的随机变量序列，我们用ξt表示第i次交易的强度，则对于任意i0，ξt具有相同的分布。设该股票的交易次数Nt是一个参数为λ（λ0）的Poisson过程，则其交易量∑=Ntii1ξ为复合Poisson过程。我们认为股市中的交易量会对股票价格产生影响，因此建立如下的模型来模拟股价波动。设时间参数集合为T=[0,∞），股票价格过程为S（t），S（0）=S表示0时刻股票的价格。如下定义（Δt）2（Δ充分小）时间区间内股票价格的变动：uS，以概率()()21ttEtNtiΔ+Δ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∑=σξαSS，以概率()()()211ttENttiΔ+Δ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−∑=οξβαdS，以概率()()21ttENttiΔ+Δ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∑=οξβ其中u,d（u1d0）为常数，O（（Δt）2）满足()()()0tlim220=ΔΔ→Δtt。由此我们得到了股票价格过程，在很小的时间（Δt）2内，价格的变化有三种状态，每一状态的发生均与股票交易量得期望有关，股票价格的上涨或下跌分别以参数α,β（α0,β0）调节（也称为市场深度参数）。由复合Poisson过程的性质，可得期望，于是上述模型变为uS，以概率SS，以概率()()()()221ttEΔ+Δ+−οξλβαdS，以概率表1交易量对股价的影响abEξλP涨P不变P跌S（t）10070040010.320.600.08500110080010.640.200.16↑10070040020.640.200.16↑为了能比较清楚说明该模型中交易量对股票价格的影响程度，以市场参数α,β对股票价格的影响程度，我们给出一具体例子加以说明。假设股票交易强度ξ服从区间[a,b]上的均匀分布（单位：股），时间区间Δt=0.1，参数α=0.08,β=0.02。股价S上涨至uS的概率用P涨表示，下跌至dS的概率用P跌表示，P不变是股价没有发生变化的概率。经过概率计算从表1可以看出，当股票交易次数的参数λ=1时，交易强度的增大使得股价上涨的概率增加，从而引起股价的上涨。同样，当股票交易强度不变时，交易次数的增多也会引起股价走势的改变，例如：在本例中，因为αβ，所以交易次数的增多导致股价上涨的概率增大。由此可以看出，交易强度ξ的分布决定交易量的数量，市场参数α,β的大小决定股票价格的上升与下跌。在证券市场实际问题处理中，我们可以得到比较丰富的历史数据，通过对这些数据合理的分析、处理，并应用有效的统计分析理论，我们可以待定、近似和逼近模型中交易量的分布和相应的市场参数。三、模型分析在以上的模型假设下，我们考虑欧式买入期权的定价问题。设市场中只存在一个债券和一个股票，债券是无风险资产，其无风险利率为r，股票是风险资产，其价格过程如上模型所述。设与该股票相关的欧式买入期权的满期为T，敲定价格为K。若在t=0时刻，债券的价格为B，则（Δt）2时间后债券的价值（本金和利息）变为。假设在风险中立概率条件下，股票价格的波动如下给出：uS，以概率()()()22ttEnnΔ+ΔοξλαSS，以概率()()()()221ttEnnnΔ+Δ+−οξλβαdS，以概率()()()22ttEnnΔ+Δοξλβ式中0,0,0nnnλβα为风险中立概率条件下所对应的市场深度系数，足标n表示“中立（neutral）．因为风险中立，所以股票收益率的期望等于债券的收益率，即：()()()()()()()222221trnnnnnnnettEdtEtEuΔ=Δ+Δ+Δ+−+Δοξλβξλβαξλα。142TimesFinance由()()()()2221ttretrΔ+Δ+=Δο得：()()()()()()()()()222222ttrttEdtEtEunnnnnnnΔ+Δ=Δ+Δ+Δ+−Δοοξλβξλβαξλα上式；两边同除以（Δt）2，并令Δt→0，得：()()()111−=−−−nnnErduλξβα，满足上述式子的αn,βn,λn使模型中的股票价格以风险中立概率上涨或下跌。根据期权定价理论，定义随机变量Z（t）（t=1,2,...）为：Z（t）=⎩⎨⎧du（以概率p时为u，以概率1-p时为d）其中dudRp−−=，duRup−−=−1，R=1+r（为避免套利uRd），于是有0p1.，假设某股票的初始价格为S，满期为T，期权的敲定价格为K，则可得欧式买入期权的价格为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∏=−TiTiZSfERKTSC1,),,(，式中f（x）=（x-K）+。下面我们应用上面的期权公式给出股票价格变化模型的期权定价公式。当给定一组满足上式的αn,βn,λn时，令Z（t）=S（t）／S。如果我们把股票价格的上涨看作是得到一个利好信息所致，把下跌看作是得到一个利空信息所致，若价格不变则看作是没有得到信息（即此时股票的交易量不能引起股票价格的变动），则事件{Z（t）=uMdN-M表示在时刻t之前得到M个利好信息，N-M个利空信息，其相应概率设为()nnnnnnnnEEPβααξλβαξλα+=+=，令()ξλβαγEnn+=，则：()()()MNMMNNtMNMppCNtedutZP−−−−==1!)(γγ由此我们可得欧式买入期权的价格为：=()()()()SdufppCNrterMNMNMMNMMNNrtNT−→−−∞→−∑∑−+001!1四、风险回避与风险控制在证券市场中，投资者通常把刚避风险和控制风险作为首要任务，因此考虑如何回避投资风险具有重要理论意义和实际意义。假设股票收益率的期望大于债券的收益率，即则由模型假设可知股票价格的波动