七年级数学讲义资料

-1-七年级数学各章节知识点汇编七年级上册第一章《有理数》一、正数与负数1．正数与负数表示具有相反意义的量。问：收入+10元与支出-10元意义相反吗？2．有理数的概念与分类①整数和分数统称有理数，能写成两个整数之比的数就是有理数。②零既不是正数，也不是负数。③有限小数和无限循环小数因都能化成分数，故都是有理数。④无限不循环小数因为不能化成两个整数之比，固称为无理数，如π，π/2等。二、数轴1．数轴三要素：原点、正方向、单位长度（另：数轴是一条有向直线）2．作用：1）描点：数形结合；2）比较大小：沿着数轴正方向数在逐渐变大；3）直观反映互为相反数的两个点的位置关系；4）绝对值的几何意义；5）有理数都在数轴上，但数轴上的数并非都是有理数。3．数轴上点的移动规律：“正加负减”向数轴正方向（或负方向）则对应的数应加（或减）4．数轴上以数a和数b为端点的线段中点为a与b和的一半（如何用代数式表示？）三、相反数1．定义：若a+b=0，则a与b互为相反数特例：因为0+0=0，所以0的相反数是02．性质：①若a与b互为相反数，则a+b=0②-a不一定表示负数，但一定表示a的相反数（仅仅相差一个负号）③若a与b互为相反数且都不为零，ab-1④除0以外，互为相反数的两个数总是成双成对的分布在原点两侧且到原点的距离相等。⑤互为相反数的两个数绝对值相等，平方也相等。即：a=a，22aa四、绝对值1．定义：在数轴上表示数a点到原点的距离，称为a的绝对值。记作a2．法则：1）正数的绝对值等于它本身；2）0的绝对值是0；3）负数的绝对值是它的相反数。即000aaaaaa000aaaaa00aaaaa3.一个数的绝对值越小,说明这个数越接近0（离原点越近）。绝对值最小的有理数是0五、倒数1．定义：若ab=1，则a与b互为倒数。注意：因为0乘以任何数都为0，所以0没有倒数。2．若a与b互为倒数，则ab=1。3．因两数相乘同号才能得正，故互为倒数的两数必定同号。所以负数的倒数肯定还是负数。4．求带分数的倒数要先将其化为假分数，再颠倒分子分母位置（有负号的勿忘负号！）5．注意：只有当指明0a时，1a才能表示a的倒数！-2-六、有理数的运算加000,与相加：等于没加同号相加：取相同的符号，绝对值相加两数相加无参与互为相反数和为异号相加取绝对值较大数的符号绝对值大减小互为相反数优先结合相加多数相加分母相同的分数优先结合相加同号的数优先结合相加减：减去一个数等于加上这个数的相反数！切一刀就搞定加减混合运算要求对,,,aaaa型符号化简相当纯熟，你行吗？乘与0相乘：马上得0两数相乘同号得正无0参与绝对值相乘异号得负只要有0：马上得0多数相乘无0参与：先定符号，奇负偶正；再将绝对值直接相乘作为最终结果的绝对值除：除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数！（两数相除也满足同号得正，异号得负的法则）乘方432332310101111,1,1,1,1nnnaann定义：个相乘记做，作用：为偶数性质：为奇数区分：混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；对于同级运算，一般按从左到右的顺序进行；如果有括号的，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.七、有理数的大小比较1)宏观比较法：正数0负数2)数轴法:在数轴上右边的数总比左边的大.（沿着数轴正方向数在逐渐变大）3)绝对值法:正数绝对值越大，数就越大；负数绝对值越大；数越小。4)作差法:与0作比较.若ab,则a-b0;若a=b,则a-b=0;若ab,则a-b0.注：这就是：大数减小数等于正数，小数减大数等于负数，相等两数差为0.八、科学记数法，近似数，有效数字把一个绝对值较大的数，表示为10110,naan为正整数称为科学记数法。a与原数只是小数点位置不同,n等于a化为原数时小数点移动的位数精强记1万=410，1亿=810；确到X位就是指四设五入到X位（这时要看X后面那一位上的数字）一个数，从左边第一个不是0的数起到末位为止，所有的数字称为这个数的有效数字。对于较小数，只要能准确的写出0.0010061800的所有有效数字即掌握有效数字概念对于较大数，一般先用科学记数法表示，a的有效数字即为原数的有效数字，a的末位数字在原数中的位置（数位）即为原数精确度；Q万，Q亿中Q的有效数字即为原数的有效数字。4.23与4.23万各自精确到哪位？第二章《整式的加减》代数式：含有的算式。特例：单独的一个数也是代数式。注意：代数式中不含：,,,,,=３?代数式的书写规则：1）数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略，数字与数字相乘，乘号不能省略。-3-2）数与字母相乘时，数要写在字母（包括带括号的多项式）前面3）带分数一定要写成假分数4）在含有字母的除法中，一般不用“÷”号，而写成分数的形式5）式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式用括号括起来。试列代数式：a与b的差的一半，a与b的一半的差，a与b的平方和，a与b的和的平方，a与b差的绝对值，a与b绝对值的差单项式：多项式：整式：同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，另外，所有的常数项都是同类项.“两个相同”是指：①含有的字母相同；②相同字母的指数也分别相同“两个无关”是指：①与系数无关；②与字母顺序无关合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.去括号法则：括号外的是“+”号，把括号和括号外的“+”号一起去掉，括号内各项的符号都。括号外的是“—”号，把括号和括号外的“—”号一起去掉，括号内各项都变号（变成它的）。若括号外有系数应先用乘法分配律将系数绝对值乘给括号内的每一项，再按以上法则去括号。整式加减：把去括号，合并同类项的过程统称为整式加减。（与X无关=不含X项=X项系数为0）代数式求值三个要点：（1）代入准备：“先化简，再代入”——化到最简形式的标准：再也没有括号可去，再也没有同类项可合并（2）代入格式：“当…………时，原式=…………”只有规范，才能得分！（3）代入方法：“先挖坑，后填数”——保持代数式的形式不变，只是把字母换成数，注意：该带的括号不能丢！第三章《一元一次方程》等式性质辨析：性质1同加（同减）同一个数。性质2，同乘（同除）同一个数。【性质2中有陷阱】①若a=b,则3a+2=2b+3.(),②若a=b,则3a-2=3b-2.(),③若-2a+3=-2b+3,则a=b.()④若ax=ay,则x=y.()⑤若a=b,则xa+y=xb+y.()⑥若xa+y=xb+y,则a=b.()方程，整式方程，一元一次方程概念辨析含有字母的等式叫做方程.方程的命名：先移项使得方程右端为0，判左端代数式名称定方程名称。分母中含字母的统称分式方程。“方程的解”与“解方程”概念辨析使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.它是一个数，不是x这个字母！而解方程是指求出方程的解的过程.方程解的“不管三七二十一”：已知方程的解，不管三七二十一，把解代回方程建立等式方程的解检验方法（验根）把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，比较两边的值是否相等.（格式还记得吗？）解方程的一般步骤：变形名称具体做法变形依据注意事项去分母方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式性质①不要漏乘不含分母的项；②分子是和、差的形式时，要在分子加上括号去括号可按“小、中、大”的顺序去括号乘法分配律、去括号法则①不要漏乘括号里面的项；②防止出现符号错误移项把含有未知数的移项刀方程的一边，其他项移到方程的另一边等式性质移项法则①移项要变号②不要漏项合并同类把方程化为ax=b（a≠0）的形式合并同类项①系数相加减;-4-项法则②字母和字母的指数不变系数化为1方程两边都除以未知数的系数等式性质①除数不能为0;②不要把分子、分母颠倒列方程解应用题步骤：1）写2）审3）设4）找5）列6）解7）验8）答一元一次方程应用题归类：（1）和差倍分问题（2）调配问题（3）比例问题（4）配套问题（5）行程问题（6）工程问题（7）利息问题（8）盈不足问题（9）增长率问题（10）打折销售与利润率问题（11）年龄问题（12）数字问题（13）日历与数表问题（14）“超过的部分”问题（15）等积问题（16）方案设计问题第四章《图形认识初步》线段中点性质：角平分线的性质：第五章相交线与平行线平面内，点与直线之间的位置关系分为两种：①点在线上②点在线外同一平面内，两条或多条不重合的直线之间的位置关系只有两种：①相交②平行一、相交线1、两条直线相交，有且只有一个交点。（反之，若两条直线只有一个交点，则这两条直线相交。）两条直线相交，产生邻补角和对顶角的概念：邻补角：两角共一边，另一边互为反向延长线。邻补角互补。要注意区分互为邻补角与互为补角的异同。对顶角：两角共顶点，一角两边分别为另一角两边的反向延长线。对顶角相等。注：①、同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；等角的对顶角相等。反过来亦成立。②、表述邻补角、对顶角时，要注意相对性，即“互为”，要讲清谁是谁的邻补角或对顶角。例如：2、垂直是两直线相交的特殊情况。注意：两直线垂直，是互相垂直，即：若线a垂直线b，则线b垂直线a。垂足：两条互相垂直的直线的交点叫垂足。垂直时，一定要用直角符号表示出来。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（注：这一点可以在已知直线上，也可以在已知直线外）3、点到直线的距离。-5-垂线段：过线外一点，作已知线的垂线，这点到垂足之间的线段叫垂线段。垂线与垂线段：垂线是一条直线，而垂线段是一条线段，是垂线的一部分。垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。（或说直角三角形中，斜边大于直角边。）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫这点到直线的距离。注：距离指的是垂线段的长度，而不是这条垂线段的本身。所以，如果在判断时，若没有“长度”两字，则是错误的。4、同位角、内错角、同旁内角三线六面八角：平面内，两条直线被第三条直线所截，将平面分成了六个部分，形成八个角，其中有：4对同位角，2对内错角和2对同旁内角。注意：要熟练地认识并找出这三种角：①根据三种角的概念来区分②借助模型来区分，即：同位角——F型，内错角——Z型，同旁内角——U型。特别注意：①三角形的三个内角均互为同旁内角；②同位角、内错角、同旁内角的称呼并不一定要建立在两条平行的直线被第三条直线所截的前提上才有的，这两条直线也可以不平行，也同样的有同位角、内错角、同旁内角。5、几何计数：①平面内n条直线两两相交，共有n(n–1)组对顶角。（或写成n^2–n组）②平面内n条直线两两相交，最多有n(n–1)/2个交点。（或写成（n^2–n）/2个）③平面内n条直线两两相交，最多把平面分割成[n(n+1)/2]+1个面。④当平面内n个点中任意三点均不共线时，一共可以作n(n–1)/2条直线。回顾：ⅰ、一条直线上n个点之间，一共有n(n–1)/2条线段；ⅱ、若从一个点引出n条射线，则一共有n(n–1)/2个角。二、平行线同一平面内，两条直线若没有公共点（即交点），那么这两条直线平行。注：平行线永不相交。1、平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。（注：这一点是在直线外）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（或叫平行线的传递性）2、平行线的画法：借助三角板和直尺。具体略。（此基本作图方法一定要掌握，多练习。）3、平行线的判定：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。注意：是先看角如何，再判断两直线是否平行，前提是“角相等/互补”。一个重要结论：同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。4、平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线