数学归纳法在高中数学解题中的运用

数学归纳法在高中数学解题中的运用作者：伍文娟摘要：数学归纳法是高中数学教学的难点之一，它作为一种常用的证明方法，集归纳、猜想和证明于一体，内容既抽象又具体，蕴含着非常深刻的数学思想，数学归纳法并不是通过对某些生活问题（比如多米诺骨牌或者火车车厢）的研究而发现的规律，再将它运用于数学问题的求解之后形成的一种数学思想方法，而是数学家们通过对一些数学问题求解方法探究，逐步提炼出来的一种特殊的数学思想方法。因此，数学归纳法产生于数学本身，而不是生活中的规律在数学中的应用，数学归纳法在解题中有广泛的应用，它是一种递推的基础，第一步是证明命题n=1()0n;第二步是假设n=k时成立，再证明n=k+1时命题页成立。这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性突破了有限，达到无限。完成了这两步，就可以断定“对任何自然数结论都成立，由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。关键词：高中数学数学归纳法引言：数学家皮亚诺提出了算术公理系统，用其中的归纳公理奠定数学归纳法的逻辑基础。归纳公理：由自然数组成的集合为N，1N,若N中任意自然数的后继也属于N，则N包含了全部自然数。本文从第一数学归纳法和第二数学归纳法的原理出发，逐步阐述数学归纳法蕴含的递推数学思想，结合高中数学解题中常出现的与数学归纳法有关的题型，根据分析-假设-论证-结论的思路，总结了数学归纳法在高中数学解题方面的应用。正文：一、理论基础第一数学归纳法：设P(n)是一个关于正整数的命题,如果P(n)满足：（1）对n=1成立；（2）假设P(k)(k是正整数)成立能推出P(k+1)成立;那么命题P(n)对一切正整数成立.证明：设集合M={n|P(n)不成立}，假设M不是空集，则M中必有最小数m，且m1.P(m-1)成立，据(2)，P(m)成立，矛盾！故命题P(n)对一切正整数成立.第二数学归纳法：假设()pn是关于自然数n的命题,如果()pn满足:(1)(1)p成立；(2)假设()pn对于所有满足ak的自然数a成立，则()pk也成立；那么,命题()pn对一切自然数n都成立。证明:设{n|()Mpn成立，nN},又设ANM(差集)假设A不空,由自然数的最小数原理,A有最小数0a由条件(1)知1M,故01a因此01,21aM,又由条件(2)知01aM,必有0aM这与0aA矛盾,所以A为空集从而MN,则命题()pn对一切自然数n都成立。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等，现举例数学归纳法在高中数学中经常出现的题型。二、用数学归纳法证明不等式例1已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n，求证：对任意的n∈N*，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bnn＋1都成立．证明由bn＝2n，得bn＋1bn＝2n＋12n，所以b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bn＝32·54·76·…·2n＋12n.下面用数学归纳法证明不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bn＝32·54·76·…·2n＋12nn＋1成立．(1)当n＝1时，左边＝32，右边＝2，因为322，所以不等式成立．(2)即b1＋1b1·b2＋1b2·…·bk＋1bk＝32·54·76·…·2k＋12kk＋1成立．(3)则当n＝k＋1时，左边＝b1＋1b1·b2＋1b2·…·bk＋1bk·bk＋1＋1bk＋1＝32·54·76·…·2k＋12k·2k＋32k＋2(4)k＋1·2k＋32k＋2＝2k＋324k＋1＝4k2＋12k＋94k＋1(5)4k2＋12k＋84k＋1＝4k2＋3k＋24k＋1＝4k＋1k＋24k＋1＝k＋2＝k＋11.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)、(2)可得不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bn＝32·54·76·…·2n＋12nn＋1对任意的n∈N*都成立．三、利用数学归纳法证明整除的问题求证：()2111nnaa-+++能被21aa++整除，*nNÎ证明(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n=k+1时，()()()()()()()()()2122121212211212121121.1.111(1)1111kkkkkkkkkkkaaaaaaaaaaaaaaaaaaa+-++--+---+++=+++轾=+++++-+犏臌轾=++++++犏臌由归纳假设，以上两项都可以被21aa++整除，故当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立．四、数学归纳法用于几何问题的证明有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成2()2fnnn=-+部分。证明(1)n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立；(2)假设n＝k(k∈N*)时，被分成f(k)＝k2－k＋2部分；那么当n＝k＋1时，依题意，第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域．∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，即当n＝k＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立．五、数学归纳法在数列证明中的运用高考数学中结合数列来体现数学归纳法是非常常见的题，有些数列的通项不好求，我们可以先对前面几项发现规律，进而进行猜想，继而用数学归纳法进行证明，这不失一种很好解决问题的方法。在生活上可以将此精髓应用，可以达到很好的效果。假设11,a=2122(nN)nnnaaab(1)若1b，求2a，3a及数列{}na的通项公式．(2)若1b，问：是否存在实数c使得221nnaca对所有nN成立？证明你的结论．解：(1)22a321a变下形式有1111a2211a3311a根据这个规律进行猜想有11nan下面用数学归纳法证明以上结论：证明：1、（1）当1n时，结论显然成立．（2）假设nk时命题成立即11kak则21(1)11(1)11(1)11kkaakk当1nk时命题也成立所以11nannN2、设2()(1)11fxx则1()nnafa令()cfc即2(c1)11c解得14c下面用数学归纳法证明命题2211nnaca（1）当1n时，2(1)0af3(0)21af23114aa结论成立（2）假设nk时结论成立，即2211kkaca易知(x)f在(－∞，1]上为减函数，从而212()(1)(1)kcfcfafa即2221kcaa再由(x)f在(－∞，1]上为减函数，得2223()(2)()1kcfcfafaa故231kca因此2(1)2(1)11kkaca当1nk时命题也成立综上，存在14c使221nnaca对所有nN成立六、对将数学归纳法用于解题的总结高中生对数学归纳法往往停留在机械的步骤上，对原理了解的不透彻，在一定程度上会阻碍他们理解该知识点，因此合理的教学在一定程度上会帮助学生克服面临的困难，与此同时可以帮助学生更好把握数学归纳法的题目，夺得更高的分数。下面提出几点教学的建议，此建议是根据《普通高中课程标准试验教科书数学选修2-2》数学归纳法知识排版选题提出的。(1)对数学归纳法原理的理解是这一节的难点，一定要特别注意对数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的特别方法，其实它更应该反映的是一种递推的数学思想，先存在一个使结论成立的最小正整数0n，这是递推的基础，在这个基础上，假设当0(,)nkknkN时，命题成立，根据这个假设，如能推出当n=k+1时命题也成立，那么久可以递推出对所有不小于0n的正整数命题都成立。这是递推的一句。有了这个一句，加上递推的基础，就可以说明对所有0nn的正整数n，命题都成立。(2)通过教学要让学生认识到数学归纳法的两个步骤缺一不可。数学归纳法的两个步骤缺一不可，教学中要向学生强调这一点。如果命题只证到0nn成立，就断定对一切正整数n都成立，即不做第二步证明，这就是不完整归纳，不足以证明命题的正确性。但没有第一步，也是不正确的。有些命题，如果只作第二步，完全可以做通，但事实上它们是不成立的。如1123(1)12nn+n=。若n=k时,1123k(k1)12+k=则可推得n=k+1时，11123(1)k(k1)1(1)(1)(2)122kkkk+k+=，然而n=1时命题成立显然不成立。这个例子说明，数学归纳法的两个步骤是问题的两个方面，一个是命题成立的基础，另一个是递推的依据（延续关系），二者缺一不可，教学中可以通过反例来让学生体会这一点。(3)教学中应引导学生特别注意根据题意找准初始值（不是每个问题的初始值都是1）教材所给例子中虽然第一步中的起始值都是从n=1开始的，但其实n从几开始要依据题目而论，只不过从n=1开始的题目比较普遍，难度也不太大，这一点教师可以依据学生情况做一补充。另外，在第一步骤中，只需证明n取第一个值时命题成立就可以了，无需继续验证其他有限个值，因为一旦有了“第一个”的基础，再有第二部递推的依据，即保证了n取第2个，第3个……值时命题的正确性。参考文献：【1】王跃辉（2011）关于新旧教材中“数学归纳法”编写的比较研究中学版.教学参考，（1），31-33.【2】范利平（2009）浅谈数学归纳法在高中数学中的应用.考试.高考数学，1-3.【3】郎芳芳（2014）高中生对数学归纳法的理解：结构特征和证明建构的过程3-6.