2020年泄露天机高考押题全国I卷-理科数学(一)-(含解析)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（一）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集|15UxxZ，1,2,3A，1,2UBð，则AB（）A．1,2B．1,3C．3D．1,2,32．如果复数2i12ib(其中i为虚数单位，bR)的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．23B．23C．2D．23．如图，正方形ABCD内得图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机一点，则此点取自黑色部分的概率是（）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A．14B．4C．π8D．124．已知π3π(,)22，且tan2，那么sin（）A．33B．63C．63D．335．在数列na中，若11a，123nnaanN，则101a（）A．10023B．10123C．10221D．102236．在ABC△中，“coscosAB”是“sinsinAB”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现，使得值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557，根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的2.8T，若判断框内填入的条件为?km，则正整数m的最小值是（）A．2B．3C．4D．58．设,mn是不同的直线，,是不同的平面，则（）A．若m∥，n，则//mnB．若m，n，nm，则nC．若m∥，n∥，//mn，则∥D．若m，n，nm，则9．已知F为抛物线2:4Cyx的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，垂足为E，若6AB，则EM的长为（）A．22B．6C．2D．310．函数4lnfxkxxx（1x），若0fx的解集为,st，且,st中只有一个整数，则实数k的取值范围为（）A．1142,ln2ln33B．1142,ln2ln33C．141,1ln332ln2D．141,1ln332ln211．点P为棱长是2的正方体1111ABCDABCD的内切球O球面上的动点，点M为11BC的中点，若满足DPBM，则动点P的轨迹的长度为（）A．5π5B．25π5C．45π5D．85π512．已知定义在R上的函数()fx满足()()()222xyfxyfxfy，且(1)1f，则下列说法正确的有（）（1）若函数()()()gxfxfx，则函数()gx是奇函数；（2）(0)(2)4ff；（3）设函数()()2hxfx，则函数()hx的图象经过点(3,9)；（4）设*nN，若数列()1fn是等比数列，则()21nfn．A．（2）（3）（4）B．（1）（3）（4）C．（1）（3）D．（1）（2）（3）（4）第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某班有男生30人，女生20人，现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会，则抽到的女生人数为_______．14．若0(21)d2(0)txxt，则t_______．15．若实数x，y满足不等式组33023010xyxyxy，则xy的最大值为__________．16．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，过2F的直线l与C交于,AB（其中点A在x轴上方）两点，且满足22AFFB．若C的离心率为32，直线l的倾斜角为120，则实数的值是_________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC△中，角,,ABC所对的边分别为,,abc．向量2,abm，1,cosCn，且∥mn．（1）若30A，求角C的值；（2）求角B的最大值．18．（12分）如图，在矩形ABCD中，2CD，1BC，,EF是平面ABCD同一侧面点，EAFC∥，AEAB，2EA，5DE，1FC．（1）证明：平面CDF平面ADE；（2）求二面角EBDF的正弦值．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0):xyabaCb的离心率为55，且左焦点F1到左准线的距离为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若与原点距离为1的直线1:lykxm与椭圆C相交于A，B两点，直线l2与l1平行，且与椭圆C相切于点M（O，M位于直线l1的两侧）．记△MAB，△OAB的面积分别为S1，S2，若12SS，求实数的取值范围．20．（12分）某位学生为了分析自己每天早上从家出发到教室所花的时间，随机选取了10天的数据，统计如下（单位：分钟）：23，21，22，19，22，19，17，19，21，17．（1）若每天上学所花的时间X服从正态分布2(,)N，用样本的平均数和标准差分别作为和的估计值．①求和的值；②若学校7点30分上课，该学生在7点04分到7点06分之间任意时刻从家出发，求该学生上学不迟到的概率的范围；（2）在这10天中任取2天，记该学生早上从家出发到教室所花时间的差的绝对值为Y，求Y的分布列和数学期望．附：若随机变量X服从正态分布2(,)N，则()0.6826PX，(22)0.9544PX，(33)0.9974PX．21．（12分）已知函数()e(ln)xfxax，其中aR．（1）若曲线()yfx在1x处的切线与直线exy垂直，求a的值；（2）记()fx的导函数为()gx，当(0,ln2)a时，证明：()gx存在极小值点0x，且0()0fx．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程是222422xtyt（t是参数），圆C的极坐标方程为π2cos4．（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2fxmx，mR，且(2)0fx的解集为[1,1]．（1）求m的值；（2）若,,abcR，且11123mabc，求证：239abc．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集|15UxxZ，1,2,3A，1,2UBð，则AB（）A．1,2B．1,3C．3D．1,2,3【答案】C【解析】全集|151,2,3,4,5UxxZ，1,2,3A，由1,2UBð，可得3,4,5B，所以3AB，故选C．2．如果复数2i12ib(其中i为虚数单位，bR)的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．23B．23C．2D．2【答案】A【解析】2i12i224i4i2i2212i12i12i555bbbbbb，因为该复数的实部和虚部互为相反数，因此224bb，因此23b，故选A．3．如图，正方形ABCD内得图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．14B．4C．π8D．12【答案】C【解析】设正方形ABCD的边长为2，则正方形的面积14S，则圆的半径为1r，阴影部分的面积为2211ππ22Sr，根据几何概型及其概率的计算公式可得211π248πSPS，故选C．4．已知π3π(,)22，且tan2，那么sin（）A．33B．63C．63D．33【答案】B【解析】因为π3π(,)22，sintan20cos，故3π(π,)2，即sin2cos，又22sincos1，解得sin63，故选B．5．在数列na中，若11a，123nnaanN，则101a（）A．10023B．10123C．10221D．10223【答案】D【解析】123nnaa，1323nnaa，1323nnaa，且134a，所以，数列3na是以4为首项，以2为公比的等比数列，113422nnna，123nna，因此，10210123a，故选D．6．在ABC△中，“coscosAB”是“sinsinAB”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】余弦函数cosyx在区间0,π上单调递减，且0πA，0πB，由coscosAB，可得AB，ab，由正弦定理可得sinsinAB，因此，“coscosAB”是“sinsinAB”的充分必要条件，故选C．7．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现，使得值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557，根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的2.8T，若判断框内填入的条件为?km，则正整数m的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】初始：1k，2T，第一次循环：22822.8133T，2k，继续循环；第二次循环：8441282.833545T，3k，此时2.8T，满足条件，结束循环，所以判断框内填入的条件可以是3?k，所以正整数m的最小值是3，故选B．8．设,mn是不同的直线，,是不同的平面，则（）A．若m∥，n，则//mnB．若m，n，nm，则nC．若m∥，n∥，//mn，则∥D．若m，n，nm，则【答案】D【解析】对于A，若m∥，n，则直线,mn可以平行，也可以异面，所以A错误；对于B，因为不一定能成立，所以当m，n，nm时，n不一定成立，所以B错误；对于C，若m∥，n∥，mn∥，则∥，或平面与平面相交，所