第二章安理工决策理论与方法AHP

第二章层次分析法(AHP)第一节思想和原理第二节AHP的基本方法与步骤第三节多层次分析法基本步骤第四节应用案例选粹第一节思想和原理层次分析法（TheAnalyticalHierarchyProcess,简称AHP)是美国匹兹堡大学教授运筹学家萨迪（A.L.Saaty）于20世纪70年代提出的一种在处理复杂的决策问题中，进行方案比较排序的方法。例：购买汽车价格（万元）油耗（升/公里）舒适度引擎奔驰2819豪华、自动档、多媒体6缸本田2110普通、自动档、多媒体4缸桑坦纳1313标准、手动、音响4缸它的基本思想是把一个复杂的问题分解为各个组成因素，并将这些因素按支配关系分组，从而形成一个有序的递阶层次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的判断以确定决策诸因素相对重要性的总排序。层次分析法的出现给决策者解决那些难以定量描述的决策问题带来了极大的方便，从而使它的应用几乎涉及任何科学领域。选择最满意的汽车价格油耗舒适度动力奔驰本田桑坦纳选择汽车价格油耗舒适度动力价格1322油耗1/311/41/5舒适度1/2411/2动力1/2521判断尺度定义1A和B同样重要3A比B稍微重要5A比B重要7A比B重要的多9A比B绝对重要2、4、6、8介于上述两个相邻判断尺度之间倒数A比B的重要性比为，则B比A的重要性1/选择最满意的汽车价格油耗舒适度动力奔驰本田桑坦纳价格奔驰本田桑坦纳奔驰11/31/5本田311/2桑坦纳521判断尺度定义1A和B同样重要3A比B稍微重要5A比B重要7A比B重要的多9A比B绝对重要2、4、6、8介于上述两个相邻判断尺度之间倒数A比B的重要性比为，则B比A的重要性1/选择最满意的汽车价格油耗舒适度动力奔驰本田桑坦纳油耗奔驰本田桑坦纳奔驰11/51/3本田512桑坦纳3½1判断尺度定义1A和B同样重要3A比B稍微重要5A比B重要7A比B重要的多9A比B绝对重要2、4、6、8介于上述两个相邻判断尺度之间倒数A比B的重要性比为，则B比A的重要性1/基本思想：把复杂问题分解成各个组成因素，又将这些因素按支配关系分组形成递阶层次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性。然后综合决策者的判断，确定决策方案相对重要性的总排序。特点：将决策者对复杂系统的评价决策思维过程数学化。选择最满意的汽车价格油耗舒适度动力奔驰本田桑坦纳尽管AHP具有模型的特色，在操作过程中使用了线性代数的方法，数学原理严密，但是它自身的柔性色彩仍十分突出。层次分析法十分适用于具有定性的，或定性定量兼有的决策分析，它是一种十分有效的系统分析和科学决策方法。第二节AHP的基本方法与步骤运用AHP进行决策时，大体可分为4个步骤进行：①分析系统中各元素之间的关系，建立系统的递阶层析结构；②对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较判断矩阵；③由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重；④计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。一、递阶层次结构的建立①最高层：问题的预定目标或理想结果，也称目标层；②中间层：包括为了实现目标所涉及的中间环节，也可以由若干层次组成，包括所考虑的准则、子准则，也称为准则层；③最底层：实现目标的各种措施、决策方案等，也称为方案层。决策目标准则1准则2准则m1子准则1子准则2子准则3子准则m2方案1方案2方案3方案m目标层准则层方案层递阶层次结构示意图例：过河效益分析过河的效益经济效益B1社会效益B2环境效益B3节省时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道B1渡船B1目标层准则层方案层二、构造两两比较判断矩阵过河的效益经济效益B1社会效益B2环境效益B3节省时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道D1渡船D1经济效益B1节省时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5Cu1u2un…Ｃu1u2…unu1u2…un判断矩阵Cu1u2un…Ｃu1u2…unu1u2…un判断矩阵判断尺度定义1A和B同样重要3A比B稍微重要5A比B重要7A比B重要的多9A比B绝对重要2、4、6、8介于上述两个相邻判断尺度之间倒数A比B的重要性比为，则B比A的重要性1/Ｃu1u2…unu1a11a12…a1nu2a21a22…a2n……………unan1an2…ann判断矩阵()ijnnAaaij是元素ui与uj相对于C的重要性的比例标度判断矩阵具有下述性质：101ijjiiiijaaaaikijjkaaa例：ui与uj相比重要性比例标度为3；而uj与uk相比重要性比例标度为2；如果认为ui与uk相比重要性比例标度为6：ijjkikaaa当上式对A的所有元素均成立时，判断矩阵A成为一致性矩阵。三、单一准则下元素相对权重的计算Cu1u2un…Ｃu1u2…unu1a11a12…a1nu2a21a22…a2n……………unan1an2…ann求出各元素相对于准则C的相对权重：12,,,n12(,,,)Tn向量形式：（一）权重计算方法1、和法（每一列归一化后近似权重）第一步：A的元素按列归一化；111212122212nnnnnnaaaaaaaaa12111nnniiiniiiaaa第一步：A的元素按列归一化；111121211122122121111212111nnnniiiniiinnnniiiniiinnnnnnniiiniiiaaaaaaaaaaaaaaaaaa第二步：将归一化后的各行相加；111121211122122121111212111nnnniiiniiinnnniiiniiinnnnnnniiiniiiaaaaaaaaaaaaaaaaaa第三步：将相加后的结果除以n即得权重向量。例：各型号汽车对于动力指标的权重动力奔驰本田桑坦纳奔驰128本田1/216桑坦纳1/81/611281/2161/81/61A1281/2161/81/61按列归一化8/1312/198/154/136/192/51/131/191/15各行相加171/9112/8510/51相加后的向量除以n0.5930.3410.0652、方根法第一步：将判断矩阵A的每一行元素相乘后求其1/n次根即：第二步：对矩阵进行归一化处理，即：1/'1,1,2,,nniijjain''1iinjj例：各型号汽车对于动力指标的权重动力奔驰本田桑坦纳奔驰128本田1/216桑坦纳1/81/611281/2161/81/61A1281/2161/81/61按行相乘求1/n方'2.5201.4420.237i归一处理0.5930.3410.0653、特征向量法111211112121222212221212//.../...//.../...//.../...nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaAaaaaaaaaa3、特征向量法现以测量物体重量为例，设有n个物体A1，A2,…，An，其重量分别为把n个物体的重量两两对比可得如下nxn矩阵。很显然，111211112121222212221212//.../...//.../...//.../...nnnnnnnnnnnn12,,n如果用右乘A，则可得12[,,]Tn1111121222122212//...///...///.../nnnnnnnn即：AW=nW或(A-nI)W=0(A-nI)W=0即是矩阵的特征根方程，n是其中的一个特征根，(一般用表示),w就是矩阵A的对应于特征根n的特征向量，如果已知A，就可以通过求解矩阵A的特征根的方法找到W的相对值。1,1,,iikijiiijijjjijkwaaaaawaa把物体重量的这个性质用在目标的重要性上，可以得出这样的启示：先用两两对比法构造出判断矩阵A，然后通过求它的特征根及特征向量的方法术出W，此向量W即为各目标的权系数。当矩阵完全满足我们称这个判断矩阵具有完全的一致性，此时这个矩阵的最大特征根只有一个，即其余特征根为零。maxn例：求矩阵A的特征根和特征向量213(1)11/31131/31A21212301/3120ww120.750.25ww（二）一致性检验判断矩阵是计算排序权向量的根据，因此要求判断矩阵具有一致性。排序向量的计算方法都是一种近似算法。当判断矩阵偏离一致性过大时，这种近似估计的可靠程度也就值得怀疑。甲比乙极端重要乙比丙极端重要丙比甲极端重要违反常识、经不起推敲一致性检验：只有当矩阵完全一致时，判断矩阵A才存在，而不一致时，即可用这个差值大小来检验一致性的程度，一般用这个一致性指标，愈小，说明一致性愈大。（consistencyindex）maxnmaxnmax()nmax..1nCIn..CI（二）一致性检验..CI考虑到一致性偏差还可能是随机原因造成的，在检验判断矩阵是否具有满意的一致性时，还得将与平均随机一致性指标进行比较，得出检验数，即R.I.（randomindex）与判断矩阵的阶数有关，一般阶数愈大，出现一致性随机偏离的可能性也愈大，一般有如下数据。..CI..CR....0.1..CICRRI..RI维数：123456789101112131415R.I.000.520.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.581.59单层次判断矩阵A的一致性检验进行一致性检验的步骤如下：（a）计算一致性指标C.I.：，式中n为判断矩阵阶数。（b）计算平均随机一致性指标R.I.（c）计算一致性比例C.R.：C.R.＝C.I./R.I.当C.R.0.1时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。1..maxnnIC四、计算各层元素对目标层的合成权重选择最满意的汽车价格油耗舒适度动力奔驰本田桑坦纳价格奔驰本田桑坦纳奔驰11/31/5本田311/2桑坦纳52111/31/5311/2521A0.1090.3090.582max3.004..0.018CI..0.003CR..0.0030.1CR11/61/461341/31A0.0850.6440.271max3.054..0.027CI..0.046CR..0.0460.1CR油耗奔驰本田桑坦纳奔驰11/61/4本田613桑坦纳41/311361/3151/61/51A0.6350.2870.078max3.094..0.047CI..0.081CR..0.0810.1CR舒适度奔驰本田桑坦纳