插补原理

第三章机床数控装置的插补原理3.1概述3.1.1插补的基本概念在数控机床中，刀具或工件的昀小位移量是机床坐标轴运动的一个分辩单位，由检测装置辩识，称为分辩率（闭环系统），或称为脉冲当量（开环系统），又叫做昀小设定单位。因此刀具的运动轨迹在微观上是由小线段构成的折线，不可能绝对地沿着刀具所要求的零件廓形运动，只能用折线逼近所要求的廓型曲线。机床数控系统依据一定方法确定刀具运动轨迹，进而产生基本廓型曲线，如直线、圆弧等。其它需要加工的复杂曲线由基本廓型曲线逼近，这种拟合方法称为“插补”（Interpolation）,“插补”实质是数控系统根据零件轮廓线型的有限信息（如直线的起点、终点，圆弧的起点、终点和圆心等），计算出刀具的一系列加工点、完成所谓的数据“密化”工作。插补有二层意思，一是产生基本线型，二是用基本线型拟合其它轮廓曲线。插补运算具有实时性，要满足刀具运动实时控制的要求。其运算速度和精度会直接影响数控系统的性能指标。3.1.2插补方法的分类数控系统中完成插补运算的装置或程序称为插补器，根据插补器的结构可分为硬件插补器、软件插补器和软、硬件结合插补器三种类型。早期NC系统的插补运算由硬接线的数字电路装置来完成，称为硬件插补，其结构复杂，成本较高。在CNC系统中插补功能一般由计算机程序来完成，称为软件插补。由于硬件插补具有速度高的特点，为了满足插补速度和精度的要求，现代CNC系统也采用软件与硬件相结合的方法，由软件完成粗插补，由硬件完成精插补。由于直线和圆弧是构成零件轮廓的基本线型，因此CNC系统一般都具有直线插补和圆弧插补两种基本类型，在三坐标以上联动的CNC系统中，一般还具有螺旋线插补和其它线型插补。为了方便对各种曲线、曲面的直接加工，人们一直研究各种曲线的插补功能，在一些高挡CNC系统中，已经出现了抛物线插补、渐开线插补、正弦线插补、样条曲线插补、球面螺旋线插补以及曲面直接插补等功能。插补运算所采用的原理和方法很多，一般可归纳为基准脉冲插补和数据采样插补两大类型。1.基准脉冲插补基准脉冲插补又称为脉冲增量插补或行程标量插补，其特点是每次插补结束仅向各运动坐标轴输出一个控制脉冲，因此各坐标仅产生一个脉冲当量或行程的增量。脉冲序列的频率代表坐标运动的速度，而脉冲的数量代表运动位移的大小。这类插补运算简单，容易用硬件电路来实现，早期的硬件插补都是采用这类方法，在目前的CNC系统中原来的硬件插补功能可以用软件来实现，但仅适用于一些中等速度和中等精度的系统，主要用于步进电机驱动的开环系统。也有的数控系统将其用做数据采样插补中的精插补。基准脉冲插补的方法很多，如逐点比较法、数字积分法、脉冲乘法器、矢量判别法、比较积分法、昀小偏差法、单步追踪法等等。应用较多的是逐点比较法和数字积分法。2.数据采样插补数据采样插补又称数字增量插补、时间分割插补或时间标量插补，其运算采用时间分割思想，根据编程的进给速度将轮廓曲线分割为每个插补周期的进给直线段（又称轮廓步长），以此来逼近轮廓曲线。数控装置将轮廓步长分解为各坐标轴的插补周期进给量，作为命令发送给伺服驱动装置。伺服系统按位移检测采样周期采集实际位移量，并反馈给插补器进行比较完成闭环控制。伺服系统中指令执行过程实质也是数据密化工作。闭环或半闭环控制系统都采用数据采样插补方法，它能满足控制速度和精度的要求。125数据采样插补方法很多，如直线函数法、扩展数字积分法、二阶递归算法等。但都基于时间分割的思想。3.2基准脉冲插补3.2.1逐点比较法1.插补原理及特点逐点比较法是我国早期数控机床中广泛采用的一种方法，又称代数运算法或醉步法。其基本原理是每次仅向一个坐标轴输出一个进给脉冲，而每走一步都要通过偏差函数计算，判断偏差点的瞬时坐标同规定加工轨迹之间的偏差，然后决定下一步的进给方向。每个插补循环由偏差判别、进给、偏差函数计算和终点判别四个步骤组成。逐点比较法可进行直线插补、圆弧插补，也可用于其它曲线的插补，其特点是运算直观，插补误差不大于一个脉冲当量，脉冲输出均匀，调节方便。2.逐点比较法直线插补（1）偏差函数构造直线插补时，通常将坐标原点设在直线起点上。对于第一象限直线OA，如图3.1所示，其方程可表示为：图3-1逐点比较法直线插补0=−eeYXYX改写为0=−eeXYYX若刀具加工点为Pi（Xi，Yi），则该点的偏差函数Fi可表示为eieiiYXXYF−=（3.1）若Fi=0，表示加工点位于直线上；若Fi0，表示加i工点位于直线上方；若Fi0，表示加工点位于直线下方。（2）偏差函数字的递推计算为了简化式（3.1）的计算，通常采用偏差函数的递推式（迭代式）。若Fi=0，规定向+X方向走一步，若坐标单位用脉冲当量表示，则有（3.2）)23()1(111−−=+−=+=++eiieieiiiYFXYYXFXX若Fi0，规定+Y方向走一步，则有)33()1(111−+=−+=+=++eiieieiiiXFXYYXFYY（3.3）因此插补过程中用式（3.2）和（3.3）代替式（3.1）进行偏差计算，可使计算大为简化。（3）终点判别直线插补的终点判别可采用三种方法。1）判断插补或进给的总步数：eeYXN+=；2）分别判断各坐标轴的进给步数；3）仅判断进给步数较多的坐标轴的进给步数。（4）逐点比较法直线插补举例126对于第一象限直线OA，终点坐标Xe=6,Ye=4，其插补运算过程如表3.1所示，插补轨迹如图3.2所示。插补从直线起点O开始，故F0=0。终点判别是判断进给总步数N=6+4=10，将其存入终点判别计数器中，每进给一步减1，若N=0，则停止插补。表3.1逐点比较法直线插补过程步数偏差判别坐标进给偏差计算终点判别0F0=0∑=101F=0+XF1=F0-ye=0-4=-4∑=10-1=92F0+YF2=F1+xe=-4=6=2∑=9-1=83F0+XF3=F2-ye=2-4=-2∑=8-1=74F0+YF4=F3+xe=-2+6=4∑=7-1=65F0+XF5=F4-ye=4-4=0∑=6-1=56F=0+XF6=F5-ye=0-4=-4∑=5-1=47F0+YF7=F6+xe=-4+6=2∑=4-1=38F0+XF8=F7-ye=2-4=-2∑=3-1=29F0+YF9=F8+xe=-2+6=4∑=2-1=110F0+XF10=F9-ye=4-4=0∑=1-1=0图3.2逐点比较法直线插补轨迹3.逐点比较法圆弧插补（1）偏差函数构造若加工半径为R的圆弧AB，将坐标原点定在圆心上，如图3.3所示。对于任意加工点Pi（Xi，Yi），其偏差函数Fi可表示为（3.4）222RYXFiii−+=显然，若Fi=0，表示加工点位于圆上；若Fi0，表示加工点位于圆外；若Fi0，表示加工点位于圆内。图3.3逐点比较法圆弧插补（2）偏差函数的递推计算为了简化式（3-4）的计算，需采用其递推式或迭代式。圆弧加工可分为顺时针加工或逆时针加工，与此相对应的便有逆圆插补和顺圆插补两种方式，下面就第一象限圆弧，对其递推动公式加以推导。1）逆圆插补若F≥0，规定向-X方向走一步，)（3.5）若F53(12)1(122211−+−=−+−=−=++iiiiiiiXFRYXFXXi0，规定向+Y方向走一步，则有)63(12)1(122211−++=−++=+=++iiiiiiiYFRYXFYY（3.6）2）顺圆插补127若Fi≥0，规定向-Y方向走一步，则有)73(12)1(122211−+−=−−+=−=++iiiiiiiYFRYXFYY（3.7）若Fi0，规定向+y方向走一步，则有（3.8）)83(12)1(122211−++=−++=+=++iiiiiiiXFRYXFXX（3）终点判别终点判别可采用与直线插补相同的方法。1）判断插补或进给的总步数：babaYYXXN−+−=；2）分别判断各坐标轴的进给步数；baxXXN−=，bayYYN−=。（4）逐点比较法圆弧插补举例对于第一象限圆弧AB，起点A（4，0），终点B（0，4），如图3.4所示。要求采用逆圆插补方法，其运算过程如表3.2所示，插补轨迹如图3-4所示。表3.2逐点比较法圆弧插补过程步数偏差判别坐标进给偏差计算坐标计算终点判别起点F0=0x0=4,y0=0Σ=4+4=81F0=0-xF1=F0-2x0+1=0-2*4+1=-7x1=4-1=3y1=0Σ=8-1=72F10+yF2=F1+2y1+1=-7+2*0+1=-6x2=3y2=y1+1=1Σ=7-1=63F20+yF3=F2+2y2+1=-3x3=4,y3=2Σ=54F30+yF4=F3+2y3+1=2x4=3,y4=3Σ=45F40-xF5=F4-2x4+1=-3x5=4,y5=0Σ=36F50+yF6=F5+2y5+1=4x6=4,y6=0Σ=27F60-xF7=F6-2x6+1=1x7=4,y7=0Σ=18F70-xF8=F7-2x7+1=0x8=4,y8=0Σ=0图3.4逐点比较法圆弧插补轨4.逐点比较法的速度分析刀具进给速度是插补方法的重要性能指标，也是选择插补方法的重要依据。（1）直线插补的速度分析直线加工时，有fNVL=式中：—直线长度；V—刀具进给速度；—插补循环数；—插补脉冲的频率。LNfααsincosLLYXNee+=+=式中：α—直线同X轴的夹角128则ααcossin+=fV（3.9）式（3.9）说明刀具进给速度与插补时钟频率f和与X轴夹角α有关。若保持f不变，加工和90倾角的直线时刀具进给速度昀大（为f），加工倾角直线时速度昀小（为0.707f）,如图3.5所示。°0°°45图3.5逐点比较法直线插补速度的变化（2）圆弧插补的速度分析如图3.6所示，P是圆弧AB上任意一点，cd是圆弧在P点的切线，切线与X轴夹角为α。图3.6逐点比较法圆弧插补速度分析显然刀具在P点的速度可认为与插补切线cd的速度基本相等，因此，由式（3.9）可知加工圆弧时刀具的进给速度是变化的，除了与插补时钟的频率成正比外，还与切削点处的半径同Y轴的夹角α有关，在和90附近进给速度昀快（为f），在附近速度为昀慢（为0.701f），进给速度在（1～0.707）f间变化。°0°°455.逐点比较法的象限处理以上仅讨论了第一象限的直线和圆弧插补，对于其它象限的直线和圆弧，可采取不同方法进行处理。下面介绍其中的两种。（1）分别处理法前面讨论的插补原理与计算公式，仅适用与第一象限的情况。对于其它象限的直线插补和圆弧插补，可根据上面的分析方法，分别建立其偏差函数的计算公式。这样对于四个象限的直线插补，会有4组计算公式，对于4个象限的逆时针圆弧插补和4个象限的顺时针圆弧插补，会有8组计算公式，其刀具的偏差和进给方向可用图3.7的简图加以表示。（2）坐标变换法通过对图3.6进行分析，可以发现能通过坐标变换减少偏差函数计算公式。若将原坐标系O变换为OXY，且YX′′′=′=YYXX（3.10）则可用第一象限的直线插补的偏差函数完成其余三个象限直线插补的偏差计算，用第一象限逆圆插补的偏差函数进行第三象限逆圆和第二、四象限顺圆插补的偏差计算，用第一象限顺圆插补的偏差函数进行第三象限顺圆和第二、四象限逆圆插补的偏差计算。图3.7圆弧与直线插补中刀具偏差与进给方向简图1293.2.2数字积分法1.插补原理及其特点数字积分法又称DDA（DigitalDifferentialAnalyzer）法，是利用数字积分的方法，计算刀具沿各坐标轴的位移，以便加工出所需要的线型。若加工图3.10的圆弧AB，刀具在X、Y轴方向的速度必须满足==ααsincosVVVVYX式中V、V—刀具在X、Y轴方向的进给速度；XYV—刀具沿圆弧运动的切线速度；α—圆弧上任一点处切线同X轴的夹角。用积分法可以求得刀具在X、Y方向的位移,即∫∫==dtVdtVXXαcos∫∫==dtVdtVYαsinY其数字积分表达式为∆=∆=∆=∆=∑∑∑∑tVtVYtVtVXY