上海市建平中学2015-2016学年高一(上)期中数学试卷(解析版)

12015-2016学年上海市建平中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．集合M={1，2，3}的子集的个数为．2．不等式|x﹣1|＞2的解为．3．设实数a，b满足a2+b2=1，则乘积ab的最大值为．4．命题“若，则x=﹣1或y=1”的否命题为．5．已知集合A={x|x≥1}，B={x|x≥a}，若A∪B=B，则实数a的取值范围是．6．若A={a2，a+1，﹣3}，B={a﹣3，2a﹣1，a2+1}，A∩B={﹣3}，则a=．7．不等式的解为．8．已知α：，β：1﹣2a＜x＜3a+2，若α是β的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．9．若集合{x|mx2+mx+1＜0，x∈R}=∅，则实数m的取值范围是．10．若关于x的不等式组的整数解集为{﹣2}，则实数k的取值范围是．211．设x，y是正实数，记S为x，，中的最小值，则S的最大值为．12．设n是一个正整数，定义n个实数a1，a2，…，an的算术平均值为．设集合M={1，2，3，…，2015}，对M的任一非空子集Z，令αz表示Z中最大数与最小数之和，那么所有这样的αz的算术平均值为．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B铅笔涂黑，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．13．实数a＞1，b＞1是a+b＞2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．设a，b∈R，下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a2+b2＞2abD．15．对于实数a，b，c，给出下列命题：①若a＞b，则ac2＞bc2；②若0＞a＞b，则；③若a＞b，，则a＞0，b＜0；④若a＞b＞c＞0，则．其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．316．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=3若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2三、解答题（本大题共5题，满分52分）每题均需写出详细的解答过程．17．已知全集U={1，2，3，…，10}，A={1，2，3，4，5}，B={4，5，6，7，8}，C={3，5，7，9}，求A∪B，A∩B，（CUA）∩B，A∪（B∩C）．18．某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的二级净水处理池（如图）．池的深度一定，池的外围周壁建造单价为400元/m，中间的一条隔壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m2，池壁厚度忽略不计．问净水池的长为多少时，可使总造价最低？19．（1）解关于x的不等式：；（2）记（1）中不等式的解集为A，若A⊆R+，证明：2a3+4a≥5a2+1．20．称正整数集合A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与两数中至少有一个属于A．（1）分别判断集合{1，3，6}与{1，3，4，12}是否具有性质P；（2）设正整数集合A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P．证明：对任意1≤i≤n（i∈N*），ai都是an的因数；（3）求an=30时n的最大值．21．绝对值|x﹣1|的几何意义是数轴上的点x与点1之间的距离，那么对于实数a，b，|x﹣a|+|x﹣b|的几何意义即为点x与点a、点b的距离之和．（1）直接写出|x﹣1|+|x﹣2|与|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值，并写出取到最小值时x满足的条件；4（2）设a1≤a2≤…≤an是给定的n个实数，记S=|x﹣a1|+|x﹣a2|+…+|x﹣an|．试猜想：若n为奇数，则当x∈时S取到最小值；若n为偶数，则当x∈时，S取到最小值；（直接写出结果即可）（3）求|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|的最小值．52015-2016学年上海市建平中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．集合M={1，2，3}的子集的个数为8．【考点】子集与真子集．【专题】计算题；集合．【分析】对于有限集合，我们有以下结论：若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集．【解答】解：∵集合M={1，2，3}有三个元素，∴集合M={1，2，3}的子集的个数为23=8；故答案为：8．【点评】本题考查了集合的子集个数，若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集，有（2n﹣1）个真子集，属于基础题．2．不等式|x﹣1|＞2的解为{x|x＞3或x＜﹣1}．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；函数思想；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．然后求解即可．【解答】解：∵|x﹣1|＞2，∴x﹣1＞2或x﹣1＜﹣2，∴x＞3或x＜﹣1．∴不等式的解集为{x|x＞3或x＜﹣1}．故答案为：{x|x＞3或x＜﹣1}．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．3．设实数a，b满足a2+b2=1，则乘积ab的最大值为．6【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；函数思想；不等式的解法及应用．【分析】根据基本不等式a2+b2≥2ab，可将其变形为ab≤，代入数据即可得答案．【解答】解：a2+b2≥2ab⇒ab≤，（当且仅当a=b时成立）又由a2+b2=2，则ab≤==1，当且仅当a=b=时成立．则ab的最大值为：；故答案为：．【点评】本题考查基本不等式的变形应用，牢记ab≤（）2≤等变形形式．4．命题“若，则x=﹣1或y=1”的否命题为“若，则x≠﹣1且y≠1”．【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】演绎法；简易逻辑．【分析】根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案．【解答】解：命题“若，则x=﹣1或y=1”的否命题为“若，则x≠﹣1且y≠1”，故答案为：“若，则x≠﹣1且y≠1”【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．5．已知集合A={x|x≥1}，B={x|x≥a}，若A∪B=B，则实数a的取值范围是（﹣∞，1]．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】利用并集的定义和不等式的性质求解．【解答】解：∵集合A={x|x≥1}，B={x|x≥a}，A∪B=B，∴a≤1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．7【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．6．若A={a2，a+1，﹣3}，B={a﹣3，2a﹣1，a2+1}，A∩B={﹣3}，则a=﹣1．【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】计算题；分类讨论．【分析】根据题意，由A∩B={﹣3}可得﹣3∈B，由于B中有3个元素，则分三种情况讨论，①a﹣3=﹣3，②2a﹣1=﹣3，③a2+1=﹣3，分别求出a的值，求出A∩B并验证是否满足A∩B={1，﹣3}，即可得答案，【解答】解：A∩B={﹣3}，则﹣3∈B，分3种情况讨论：①a﹣3=﹣3，则a=0，则B={﹣3，﹣1，1}，A={0，1，﹣3}，此时A∩B={1，﹣3}，不合题意，②2a﹣1=﹣3，则a=﹣1，此时A={1，0，﹣3}，B={﹣4，﹣3，2}，此时A∩B={﹣3}，符合题意，③a2+1=﹣3，此时a无解，不合题意；则a=﹣1，故答案为﹣1．【点评】本题考查集合的交集运算与性质，注意集合中元素的特征：互异性、确定性、无序性．7．不等式的解为[﹣1，6）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】由题意可知，解得即可．【解答】解：，∴，解得﹣1≤x＜6，故不等式的解集为[﹣1，6），8故答案为：[﹣1，6）．【点评】本题考查了不等式的解法，属于基础题．8．已知α：，β：1﹣2a＜x＜3a+2，若α是β的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据α是β的充分不必要条件，结合集合的包含关系，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：∵α：，β：1﹣2a＜x＜3a+2，若α是β的充分不必要条件，则，解得：a＞，故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．9．若集合{x|mx2+mx+1＜0，x∈R}=∅，则实数m的取值范围是[0，4]．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】分类讨论；转化思想；分类法；不等式的解法及应用．【分析】对m分类讨论，利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可得出．【解答】解：当m=0时，不等式化为1＜0，满足{x|mx2+mx+1＜0，x∈R}=∅，∴m=0适合．当m≠0时，∵{x|mx2+mx+1＜0，x∈R}=∅，∴，解得0＜m≤4．综上可得：实数m的取值范围是[0，4]．故答案为：[0，4]．【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．910．若关于x的不等式组的整数解集为{﹣2}，则实数k的取值范围是﹣3≤k＜2．【考点】二元一次不等式组．【专题】计算题；分类讨论．【分析】首先分析题目已知不等式组的整数解集为{﹣2}，求k的取值范围，考虑到通过分解因式的方法化简方程组，然后分类讨论当k＞时和当k≤时的情况解出方程组含有参数k的解集，然后根据整数解集为{﹣2}，判断k的取值范围即可．【解答】解：关于x的不等式组，变形为当k＞﹣时：原方程组变形为：，故方程解为，不满足整数解集为{﹣2}，故不成立．当k≤时：原方程变形为，因为方程整数解集为{﹣2}，故﹣k＞﹣2，且﹣k≤3．故﹣3≤k＜2，故答案为﹣3≤k＜2．【点评】此题主要考查一元二次不等式组的解集的问题，题中应用到分类讨论的思想，在解不等式中经常用到．题目涵盖知识点少但有一点的计算量，属于中档题目．11．设x，y是正实数，记S为x，，中的最小值，则S的最大值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．10【分析】设a=x，b=，c=y+=+都大于0．不妨设a≤b．可得+﹣b≤c﹣a=+﹣a≤+﹣a．即≤c﹣a≤．对a与的大小分类讨论即可得出最大值．【解答】解：设a=x，b=，c=y+=+．都大于0．不妨设a≤b．则≥．则+﹣b≤c﹣a=+﹣a≤+﹣a．∴≤c﹣a≤，①当a≥时，c≤a，此时c最小；②当0＜a＜，c﹣a≥0，此时a最小，S≤．综上可得：S的最大值为：．故答案为：．【点评】本题考查了不等式的性质、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12．设n是一个正整数，定义n个实数a1，a2，…，an的算术平均值为．设集合M={1，2，3，…，2015}，对M的任一非空子集Z，令αz表示Z中最大数与最小数之和，那么所有这样的αz的算术平均值为2016．【考点】数列与函数的综合；众数、中位数、平均数．【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】分别讨论1，2，…，2015为最小值和最大值的集合的个数，再运用等比数列的求和公式求和，最后由集合的非空子集的个数和均值的定义，计算即可得到所求值．【解答】解：以1为最小值的集合有22014个，以2为最小值的集合有22013个，…，以2015为最小值的有20个，则所有M的非空子集的最小值的和为1×22014+2×22013+…+2015×20；同理，所有M的非空子集的最大值的和为2015×22014+2014×22