信号与系统奥本海姆课件第3章

1第3章周期信号的傅里叶级数表示SignalsandSystemsA.V.OPPENHEIM,etal.Ch3FourierSeriesRepresentationofPeriodicSignals2Contents：•Representationof•ResponseofLTISystemtoPeriodicSignals•（线性时不变系统对周期信号的响应）•FourierSeries（傅里叶级数）PeriodicSignals(周期信号描述)33.0引言Introduction•时域分析方法的基础：1)信号在时域的分解。2)LTI系统满足线性、时不变性。•从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。43.1历史的回顾（AHistoricalPerspective）任何科学理论,科学方法的建立都是经过许多人不懈的努力而来的,其中有争论,还有人为之献出了生命。历史的经验告诉我们,要想在科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。5•1768年生于法国•1807年提出“任何周期信号都可以用正弦函数的级数来表示”•拉格朗日反对发表•1822年首次发表“热的分析理论”•1829年狄里赫利第一个给出收敛条件傅里叶生平1768—18306傅里叶的两个最重要的贡献——•“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点•“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示”——傅里叶的第二个主要论点7§3.2TheResponseofLTISystemstoComplexExponentialsLTI系统对复指数信号的响应tysteth1.Continuous-timesystemdtethsHststestesHEigenfunction特征函数——Eigenvalue(特征值）nhnynz2.Discrete-timesystemnznzzHEigenfunction特征函数——Eigenvalue(特征值）nnznhzHA.EigenfunctionofLTISystems（特征函数）8•复指数函数、是一切LTI系统的特征函数。、分别是LTI系统与复指数信号相对应的特征值。()Hs()Hzstenz()()stHshtedt()()nkHzhnz结论：只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征函数。9Chapter3FourierSeriesnkkkzanxnkkkkzzHanytskktskkkesHaeakktxtytsktskkesHeContinuous-timesystemnkknkzzHzDiscrete-timesystemParticularlytjtjejHeFourierAnalysisnjjnjeeHeFourierAnalysis10tskkkkesHaty)()(利用系统的齐次性与叠加性tststsesHaesHaesHatytx321)()()()()(332211tskkkeatx)(所以有即：同理：nkkkZanx)(nkkkkZZHany)()(111()ststeHse222()ststeHse333()ststeHse由于对时域的任何一个信号或者,若能将其表示为下列形式：()xt()xntststseaeaeatx321321)(11•B.EigenvaluesofLTIsystem()()stHshtedt()[]nnHzhnz()ht()Hs[]hn()HzLaplaceTransform:Chapter9z-Transform:Chapter10Systemfunction122knownRelations，Properties()sXs()sXs()stHse•C.BasicIdeaforGettingResponsebyH(s)andH(z)()xt()yt()Ys信号分解1decomposition响应合成3compositionsdsL[]()znxnXzz[]()()znynXzHzz()Yz信号分解1decomposition响应合成3compositionzdz线性组合LinearCombinationsLLL??√√ste2knownRelations，Properties()Xs()xt()Ys()ytSolution:()Xz[]xn()Yz[]ynSolution:13•D.StepsforGettingResponsebyH(z)andH(s)()xt()yt()ht()HsL()()XsHssteste[]xn[]yn[]hn()HzL()()XzHznznz▲时域分析法(ch.2)TimeDomainAnalysis▲(复)频域分析法(ch.3,4,5,9,10)ComplexFrequencyDomainAnalysis221133()Ys()Yz14•E.KeyProblemsofTheSolution()ft()Fs[]fn()FzTransformPairs1313FourierSeriesinCh.313FourierTransforminCh.4,5Laplace-TransforminCh.9dependingonbasicsignalsZ-TransforminCh.10150jktsteejtsteejtstteee•F.BasicExponentialSignalsanditsRelatedTransformssjsjFourierTransformLaplaceTransform0jkzejze0sjk＊inChapter30jkzeFourierseries＊inChapter4,5＊inChapter9,10forPeriodicSignalsforAperiodicSignalsforAperiodicSignals0jknnzejnnze0jknnnzeek16Chapter3FourierSeries§3.3FourierSeriesRepresentation（傅立叶级数）ofContinuous-timePeriodicSignals（连续时间周期信号）§3.3.1LinearCombinations（线性组合）ofHarmonicallyRelated（谐波关系）ComplexExponentialstxTtx0002T——Fundamentalfrequencytjkket0,2,1,0ktjkkkeatx0——FourierSerieska——FourierSeriesCoefficientsSpectralCoefficients（频谱系数）0aConstantComponent1aFundamentalComponent2aSecondHarmonicComponent17•HarmonicComponentsofPeriodicSignal（周期信号的谐波分量）ConstantpartFirstharmoniccomponentsSecondharmoniccomponentsKthharmoniccomponents0k1k2kkK0x00KKjKtjKtxexe002222jtjtxexe0011jtjtxexe直流分量一次谐波分量二次谐波分量K次谐波分量0k1k2k3k0Im[]:jktet18Chapter3FourierSeriesExample:ConsideranLTIsystemforwhichtheinputandtheimpulseresponsedeterminetheoutputttx2cos211tuethttytjtjtjeeetx2204111jjHtjtjtjejHejHejHty220241241021412141122jejetytjtj19•Examples3.2332),(kkjktxtxe2:()kkjktxtxe224664111()1()()()423jtjtjtjtjtjtxteeeeee12()1cos2cos4cos623xttttConstantpart1stharmoniccomponents2ndharmoniccomponents3thharmoniccomponentsEuler’sRelation0123111142,,3,xxxx03,~xx03,kforxk02,021T0123()()()()xtxtxtxt200123()()()()()xtxtxtxtxt012()()()xtxtxt01()()xtxt32()cos63xtt2()cos4xtt11()cos22xtt0()1xtttttttt21•3.3CoefficientsofFourierSeries•forsinusoidalexponentialsignals0()sinxtt0011()22jtjtxteejj0()kkjktxtxe11(2,xj正弦函数的傅立叶级数展开，系数计算不用系数公式,直接将正弦函数展开成复指数的线性组合，直观确定系数Euler’sRelation(don’tusecoefficientformula)01)kxforksinθ=（e^iθ-e^-iθ）/2icosθ=（e^iθ+e^-iθ）/222Example0()cosxtt001122jtjtee显然该信号中，有两个谐波分量，为相应分量的加权因子。112a23Example：00()cos2cos3xttt0000331[]2jtjtjtjteeee在该信号中，有四个谐波分量，即,3,1k时对应的谐波分量。傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶级数被分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。243.3.2.DeterminationofFourierSeriesofContinuous-time（连续时间傅里叶级数的系数确定）如果周期信号可以表示为傅里叶级数()xt则有002T——Fundamentalfrequencytjkkkeatx0——FourierSerieska——FourierSeriesCoefficientsSpectralCoefficients（频谱系数）2500()()jntjkntkkxteae0000()00()TTjntjkntkkxtedtaedt260000()00000cos()sin()TTTjkntedtkntdtjkntdt0000()TjntnxtedtaT00001()TjntnaxtedtT即在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为00,,Tknkn