2014年全国初中数学竞赛试题及答案

第1页共3页2014年全国初中数学竞赛试题考试时间2014年3月20日9︰30－11︰30满分150答题时注意：1、用圆珠笔或钢笔作答2、解答书写时不要超过装订线3、草稿纸不上交。一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、设532x，则代数式(1)(2)(3)xxxx的值为（C）A．0B．1C．－1D．22、对于任意实数,,,abcd，定义有序实数对(,)ab与(,)cd之间的运算“△”为：(,)(,)(,)abcdacbdadbc。如果对于任意实数,uv，都有(,)(,)(,)uvxyuv，那么(,)xy为（B）。A．(0,1)B．(1,0)C．(1,0)D．(0,1)3、已知,AB是两个锐角，且满足225sincos4ABt，2223cossin4ABt，则实数t所有可能值的和为（C）A．83B．53C．1D．1134、如图，点,DE分别在△ABC的边AB，AC上，BE，CD相交于点F，设1EADFSS四边形＝，BDF2SS＝，BCF3SS＝，CEF4SS＝，则13SS与24SS的大小关系为（C）A．13SS＜24SSB．13SS＝24SSC．13SS＞24SSD．不能确定5、设33331111S1232011＝＋＋＋＋，则4S的整数部分等于（A）A．4B．5C．6D．7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、两条直角边长分别是整数,ab（其中2011b），斜边长是1b的直角三角形的个数为＿＿31＿＿。7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。同时掷这ABCEDF第2页共3页两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是＿＿＿＿。918、如图，双曲线2(0)yxx与矩形OABC的边CB，BA分别交于点E，F且AF＝BF，连接EF，则△OEF的面积为＿＿＿＿＿；239、⊙O的三个不同的内接正三角形将⊙O分成的区域的个数为＿＿＿＿＿。2810、设四位数abcd满足3333110abcdcd，则这样的四位数的个数为＿＿＿。5三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11、已知关于x的一元二次方程20xcxa的两个整数根恰好比方程20xaxb的两个根都大1，求abc的值。解：设方程20xaxb的两个根为α、β，其中α、β为整数，且α≤β则方程20xcxa的两个整数根为α＋1、β＋1，由根与系数关系得：α＋β＝－a，(α＋1)(β＋1)＝a两式相加得：αβ＋2α＋2β＋1＝0即(α＋2)(β＋2)＝3∴3212或1232解得：11或35又∵a＝－(α＋β)，b＝αβ，c＝－[(α＋1)＋(β＋1)]∴a＝0，b＝－1，c＝－2或a＝8，b＝15，c＝6故abc＝－3或abc＝2912、如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙1O和△BCH的外接圆⊙2O相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点。证明：如图，延长AP交⊙2O于点Q连结AH，BD，QC，QH∵AB为直径∴∠ADB＝∠BDQ＝900∴BQ为⊙2O的直径于是CQ⊥BC，BH⊥HQ∵点H为△ABC的垂心∴AH⊥BC，BH⊥AC∴AH∥CQ，AC∥HQ，四边形ACHQ为平行四边形则点P为CH的中点。yxCABEFOABC1OH2OPDQ第3页共3页13、若从1，2，3，…，n中任取5个两两互素的不同的整数1a，2a，3a，4a，5a，其中总有一个整数是素数，求n的最大值。解：若n≥49，取整数1，22，32，52，72，这五个整数是五个两两互素的不同的整数，但没有一个整数是素数，∴n≤48，在1，2，3，┉┉，48中任取5个两两互素的不同的整数1a，2a，3a，4a，5a，若1a，2a，3a，4a，5a都不是素数，则1a，2a，3a，4a，5a中至少有四个数是合数，不妨假设1a，2a，3a，4a为合数，设1a，2a，3a，4a的最小的素因数分别为p1，p2，p3，p4由于1a，2a，3a，4a两两互素，∴p1，p2，p3，p4两两不同设p是p1，p2，p3，p4中的最大数，则p≥7因为1a，2a，3a，4a为合数，所以1a，2a，3a，4a中一定存在一个aj≥p2≥72＝49，与n≥49矛盾，于是1a，2a，3a，4a，5a中一定有一个是素数综上所述，正整数n的最大值为48。14、如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC。点P在△ABC内，且PA＝3，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积。解：如图，作△ABQ，使得：∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，则△ABQ∽△ACP，由于AB＝2AC，∴相似比为2于是，AQ＝2AP＝23，BQ＝2CP＝4∠QAP＝∠QAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°由AQ：AP＝2：1知，∠APQ＝900于是，PQ＝3AP＝3∴BP2＝25＝BQ2＋PQ2从而∠BQP＝900作AM⊥BQ于M，由∠BQA＝1200，知∠AQM＝600，QM＝3，AM＝3，于是，∴AB2＝BM2＋AM2＝(4＋3)2＋32＝28＋83故S△ABC＝21AB•ACsin600＝83AB2＝2376ACPBQM