二元一次方程组专题复习

1山学教育教师教案学员编号：年级：第次课学员姓名：辅导科目：数学教师：赖老师授课时间：2013.教学目标重点、难点考点及考试要求教学内容二元一次方程组第一部分：知识点突破一、知识结构图：二、本章知识点1、二元一次方程的概念：含有个未知数，并且含有的次数都是1.2、二元一次方程组的概念：把具有的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。注意：二元一次方程（组）未知数不能出现在分母中，必须是整式方程。3、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值的未知数的值叫做二元一次方程组的解。4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的叫做二元一次方程组的解。注意：①二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而并不是一个数值②一般情况下，一个二元一次方程有无数个解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件（例如，求整数解），那么就是有限个解。5、解二元一次方程组解题思路——消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。6、代入消元法：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含的式子表示出来，再另一个方程，实现，进而求得这个二元一次方程组的解。适用范围：方程组的两个方程中，某一未知数的系数为1或-1时，使用此方法较为简便。27、加减消元法：两个二元一次方程中同一一未知数的系数或时，把这两个方程的两边分别或，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。适用范围：大部分采用加减消元。8、含参的二元一次方程（组）所谓含参的方程（组），就是关于x,y的二元一次方程（组）中某个未知数前面的系数是用字母表示的常数，通常把这个字母系数叫做参数。注意：不要把这类方程（组）认为是三元或四元，只是字母系数暂时不知道具体的值而已，但可根据方程（组）满足的条件求出参数值。9、方程组解的情况我们所解的方程组的解一般都是唯一的，但也有特殊的，例如：102653yxyx第二个方程是由第一个方程左右两侧同乘一个不为0的常数得到，这样的方程组就会有无数个解。再例如72653yxyx第二个方程不是由第一个方程两边乘以相同的数值得到的（左侧扩大2倍，右侧扩大1.4倍），这样的方程组无解。10、二元一次方程组的应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、设、找、列、解、检、答”七步.即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数；（2）设：根据题意设元（3）找：找出能够表示题意两个相等关系；（4）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（5）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（6）检：检查所求的解是否符合实际问题;（7）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.10、列方程组解应用题的常见题型：①产品配套问题：加工总量成比例②V顺=V静+；V逆=V静-③工程问题：工作总量=×工作时间④增长率问题：原量×（1＋增长率）=增长后的量原量×（1＋减少率）=减少后的量⑤银行利率问题：免税利息=本金××时间税后利息=本金×利率×时间×（1-）⑥利润问题：利润=售价—进价，利润率=（售价—进价）÷×100%⑦数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示⑧几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式⑨年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的311、三元一次方程的概念：三元一次方程就是含有未知数，并且含有的都是1次的方程。12、三元一次方程组的概念：含有三个的未知数，别且每个方程中含都是1，共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。13、三元一次方程组的解法：（1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元再转化为一元，转化为我们已经熟悉的问题。（2）三元一次方程组解题的基本步骤：①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；③将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。三、典型例题【考点一】二元一次方程（组）的概念例1：在下列各式中：①;35yx②;8yxy③;052x④;21yx⑤;yx⑥;2432xyx⑦)(23222yxxxx是二元一次方程的有（）个。A、2B、3C、4D、5分析：①不是等式，故不是二元一次方程；②中未知项xy的次数是2，不是1，也不是二元一次方程；③是一元一次方程；④中x1不是整式，也不是二元一次方程；⑤是二元一次方程；⑥整理后是,043y不是二元一次方程；⑦整理后市3yx，是二元一次方程，故选A。答案：A反思：判断一个方程是否为二元一次方程必须同时满足下列三个条件：（1）等式两边的式子都是整式；（2）有两个未知数；（3）未知项的指数都是1。例2：已知,40)13(3xyayx当a为何值是，它是二元一次方程？分析：有二元一次方程定义，不能有二次项，所以二次项一定为0，即二次项系数为0。解：由于原方程为二元一次方程，所以二次项系数为0，即013a，31.31aa当时，原方程为二元一次方程。反思：抓住二元一次方程的特征，未知数的次数为1，所以未知数的二次项，三次项，均为0变式训练例1：下列方程中，是二元一次方程的是（）A．3x－2y=4zB．6xy+9=0C．1x+4y=6D．4x=24y4例2：下列不是二元一次方程组的是()A．141yxyxB.42634yxyxC.14yxyxD.25102553yxyx答案：A分析：A中第一个方程不是整式方程。例3：若方程mx-2y=3x+4是二元一次方程，则m满足（）A、m≠0B、m≠－2C、m≠3D、m≠4答案：C分析：当m=3时，方程左右两侧的x项被消掉。例4：若359427342mnmnxy是二元一次方程，则mn值等于_______.答案：73分析：∵是二元一次方程∴含x,y的项的次数都为1∴19531724nmnm解得：13121328mn∴73nm例5：已知方程(k2-1)x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2，当k=______时，方程为一元一次方程；当k=______时，方程为二元一次方程。答案：k=-1时，为一元一次方程；k=1时，为二元一次方程。分析：为了保证为一次方程，必须有012k，得出k=±1。只有当k=-1时，x的二次项和一次都为0，即此时方程是关于y的一元一次方程；当k=1时，既能让x的二次项为0，又能含有两个未知数，此时是关于x,y的二元一次方程。方法总结：需要消掉哪个项就让这一项的系数为0.【考点2】二元一次方程（组）的解例1：在下列方程组中，解为2,1yx的是（）A、53,1yxyxB、53,1yxyxC、13,3yxyxD、53,1yxyx分析：当2,1yx时，满足方程.53,1yxyx故选D。答案：D反思：判断一对数值是否是方程组的解，应把这个数值代入方程组里的每一个方程，同时满足所有方程的一对未知数的值才是方程组的解。5例2：若方程22ymx有一对解为,5,3yx求m的值。分析：知道了这个二元一次方程的解，可把这对数值代入方程，那么左右两边是相等的，得到一个含有未知数m的一元一次方程，从而可求出m的值。解：把5,3yx代入方程22ymx，得2523m，解得4m。例3：方程93yx的正整数解是______。答案：61xy，32xy分析：正整数解就是一组解中的x,y值都是正整数，可以通过给其中一个未知数赋值的方法求解。一般将其中一个未知数从最小的正整数取值，代入方程求另一未知数，另一未知数也是正整数就是一组符合条件的正整数解。变式训练例1：方程组134723yxyx,的解是()A．31yxB.13yxC.13yxD.31yx答案：B分析：方程组的解是两个方程的公共解也就是使两个方程左右两边都成立的x,y的值，所以，将每个选项中的解代入到方程组中验证即可。例2：下列各组数中①22yx②12yx③22yx④61yx是方程104yx的解的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案：B分析：将每组解代入方程中验证，①④都是方程的解。例3：求方程1732yx的正整数解。答案：71xy，43xy，15xy分析：赋值时的技巧:先观察特殊系数的未知数，例如本题中的x，将方程变形为yx3172，说明17-3y的值一定是偶数，由于17为奇数，奇数-奇数=偶数，所以y一定为奇数，y可以从最小的正奇数1开始依次取值。【考点3】二元一次方程组的解法例1：123yx，用含x的式子表示y为答案：232xy6分析：把y当做唯一的未知数，把x当做常数，解出y。移项得132xy，系数化1即两侧同时乘以2得232xy例2：解二元一次方程组②①12464yxyx答案：439yx分析：可以用四种方法求解方法1：由①+②得2x=18；解得x=9,把x=9代入①得y=43方法2：由①-②得-8y=-6；解得y=43,把y=43代入①得x=9方法3：由①得x=6+4y③,将③代人②得6+4y+4y=12；解得y=43，把y=43代入③得x=9方法4：由②得x=12-4y④，将④代人①得，12-4y-4y=6；解得y=43，把y=43代入④得x=9例3：解二元一次方程组)1(24)2(31xyxy答案：43yx分析：解有括号的方程组问题先化简，将每个方程都化简成ax+by=c的形式，在选择代入或加减消元法解方程组。化简原方程组得2253yxyx再用加减消元可求解。例4：解二元一次方程组②①132143yxyx答案：1760176yx分析：方程组中的方程含有分母，先去分母，利用等式性质两侧同时乘以分母的最小公倍数，将每个方程化简成ax+by=c的形式，再进行消元。化简原方程组得④③6231234yxyx，（采用加减消元消掉y）③×2得：8x+6y=24⑤7④×3得：9x-6y=-18⑥⑤＋⑥得：17x=6x=176将x=176代入④得，y=1760∴原方程组的解为1760176yx【考点4】含参的二元一次方程（组）例1：若关于x,y的二元一次方程6nymx的两个解是11yx，12yx则m_____,n_____答案：m=4,n=2分析：∵11yx，12yx都是方程的解，因此这两个解都满足方程，将他们代入方程得。②①626nmnm①+②得解得24nm例2：若关于x，y的二元一次方程组kyxkyx95的解也是二元一次方程632yx的解，求k的值。答案：43k分析：照常用消元的方法解关于x,y的方程组，这里采用加减消元，②①kyxkyx95①+②得，kxkx7142解得将kx7代入①得ky2。∴将kykx27代入方程632yx6)2(372kk解关于k的一元一次方程得43k方法总结：当方程组中的两个方程都含有参数时，照常用消元法解方程组，解用含参数的式子表示，再将方程组含参的解代入已知系数的方程中求参数。例3：二元一次方程组437(1)3xykxky的解x，y的值相等