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2.1.1指数与指数幂的运算(2课时)第一课时根式教学目标:1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念;2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质;3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。教学重点:根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教学难点:根式概念和分数指数幂概念的理解教学方法:学导式教学过程:(I)复习回顾引例:填空(1)*)nnaaaanN个(;a0=1(a)0;nnaa1)Nn,0a(*(2)mnmnaaa(m,n∈Z);()mnmnaa(m,n∈Z);()nnnabab(n∈Z)(3)_____9;-_____9;______0(4))0a_____()a(2;________a2(II)讲授新课1.引入:(1)填空(1),(2)复习了整数指数幂的概念和运算性质(其中:因为mnaa可看作mnaa,所以mnmnaaa可以归入性质mnmnaaa;又因为nba)(可看作mnaa,所以nnnbaba)(可以归入性质()nnnabab(n∈Z)),这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂,先要学习n次根式(*Nn)的概念。(2)填空(3),(4)复习了平方根、立方根这两个概念。如:22=4,(-2)2=42,-2叫4的平方根23=82叫8的立方根;(-2)3=-8-2叫-8的立方根25=322叫32的5次方根…2n=a2叫a的n次方根分析:若22=4,则2叫4的平方根;若23=8,2叫做8的立方根;若25=32,则2叫做32的5次方根,类似地,若2n=a,则2叫a的n次方根。由此,可有:2.n次方根的定义:(板书)一般地,如果nxa,那么x叫做a的n次方根(nthroot),其中1n,且nN。问题1:n次方根的定义给出了,x如何用a表示呢?nax是否正确?分析过程:例1.根据n次方根的概念,分别求出27的3次方根,-32的5次方根,a6的3次方根。(要求完整地叙述求解过程)解:因为33=27,所以3是27的3次方根;因为5)2(=-32,所以-2是-32的5次方根;因为632a)a(,所以a2是a6的3次方根。结论1:当n为奇数时(跟立方根一样),有下列性质:正数的n次方根是正数,负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时,a的n次方根可表示为nax。从而有:3273,2325,236aa例2.根据n次方根的概念,分别求出16的4次方根,-81的4次方根。解:因为4216,16)2(4,所以2和-2是16的4次方根;因为任何实数的4次方都是非负数,不会等于-81,所以-81没有4次方根。结论2:当n为偶数时(跟平方根一样),有下列性质:正数的n次方根有两个且互为相反数,负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为:)0a(an其中na表示a的正的n次方根,na表示a的负的n次方根。例3.根据n次方根的概念,分别求出0的3次方根,0的4次方根。解:因为不论n为奇数,还是偶数,都有0n=0,所以0的3次方根,0的4次方根均为0。结论3:0的n次方根是0,记作nna,00即当a=0时也有意义。这样,可在实数范围内,得到n次方根的性质:3n次方根的性质:(板书)*)(2,12,Nkknaknaxnn其中叫根式,n叫根指数,a叫被开方数。注意:根式是n次方根的一种表示形式,并且,由n次方根的定义,可得到根式的运算性质。4.根式运算性质:(板书)①aann)(,即一个数先开方,再乘方(同次),结果仍为被开方数。问题2:若对一个数先乘方,再开方(同次),结果又是什么?例4:求33)2(,552,443,2)3(由所得结果,可有:(板书)②为偶数为奇数;nanaann|,|,性质的推导如下:na性质①推导过程:当n为奇数时,aaaxaxnnnn)(,得由当n为偶数时,aaaxaxnnnn)(,得由综上所述,可知:aann)(性质②推导过程:当n为奇数时,由n次方根定义得:nnaa当n为偶数时,由n次方根定义得:nnaa则nnnnaaa||||综上所述:为偶数,为奇数n|a|n,a)a(nn注意:性质②有一定变化,大家应重点掌握。(III)例题讲解例1.求下列各式的值:3381)(-)(2102)(-)(4433)-()((4)2)ba((ab)注意:根指数n为奇数的题目较易处理,要侧重于根指数n为偶数的运算。(III)课堂练习:求下列各式的值(1)532(2)4)3((3)2)32((4)625(IV)课时小结通过本节学习,大家要能在理解根式概念的基础上,正确运用根式的运算性质解题。(V)课后作业1、书面作业:a.求下列各式的值3271-)(6a)2(243)-()(2)x31x()4(b.书P82习题2.1A组题第1题。2、预习作业:a.预习内容:课本P59—P62。b.预习提纲:(1)根式与分数指数幂有何关系?(2)整数指数幂运算性质推广后有何变化?第二课时分数指数幂教学目标:(一)教学知识点1.分数指数幂的概念.2.有理指数幂的运算性质.(二)能力训练要求1.理解分数指数幂的概念.2.掌握有理指数幂的运算性质.3.会对根式、分数指数幂进行互化.(三)德育渗透目标培养学生用联系观点看问题.教学重点:1.分数指数幂的概念.2.分数指数幂的运算性质.教学难点:对分数指数幂概念的理解.1.在利用根式的运算性质对根式的化简过程,注意发现并归纳其变形特点,进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后,进一步将其推广到实数范围内,但无须进行严格的推证,由此让学生体会发现规律,并由特殊推广到一般的研究方法.教学过程:(Ⅰ).复习回顾[师]上一节课,我们一起复习了整数指数幂的运算性质,并学习了根式的运算性质.整数指数幂运算性质(1)am·an=am+n(m,n∈Z)根式运算性质(2)(am)n=am·n(m,n∈Z)为偶数为奇数nanaann,,(3)(a·b)n=an·bn(n∈Z)[师]对于整数指数幂运算性质(2),当a>0,m,n是分数时也成立.(说明:对于这一点,课本采用了假设性质(2)对a>0,m,n是分数也成立这种方法,我认为不妨先推广了性质(2),为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幂的意义作准备.)[师]对于根式的运算性质,大家要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性.接下来,我们来看几个例子.例子:当a>0时[师]上述推导过程主要利用了根式的运算性质,例子③、④、⑤用到了推广的①5102552510)(aaaa②3124334312)(aaaa③32333232)(aaa④21221)(aaa整数指数幂运算性质(2).因此,我们可以得出正分数指数幂的意义.(Ⅱ).讲授新课1.正数的正分数指数幂的意义nmnmaa(a>0,m,n∈N*,且n>1)[师]大家要注意两点,一是分数指数幂是根式的另一种表示形式;二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外,我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.2.规定(板书)[师]规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a>0时,整数指数幂的运算性质,对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.3.有理指数幂的运算性质(板书)(1)nmnmaa1(a>0,m,n∈N*,且n>1)(2)0的正分数指数幂等于0.(3)0的负分数指数幂无意义.(1)ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q)(2)(ar)s=ar·s(a>0,r,s∈Q)(3)(a·b)r=ar·br(a>0,b>0,r∈Q)[师]说明:若a>0,P是一个无理数,则aP表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用,有关概念和证明在本书从略.这一说明是为下一小节学习指数函数作铺垫.接下来,大家通过例题来熟悉一下本节的内容.4.例题讲解分析:此题主要运用有理指数幂的运算性质.解:422)2(8232332332827)32()32()8116(6422)2()41(1011010)10(1003)43(4436)3()2(3231)21(221221aaaaaa,,3232(式中a>0)解:252122122aaaaaa4321232121311323323323)()(aaaaaaaaaaaa[师]为使大家进一步熟悉分数指数幂的意义与有理指数幂的运算性质,我们来做一下练习题.Ⅲ.课堂练习例2求值:4332132)8116(,)41(,100,8.例3用分数指数幂的形式表示下列各式:课本P51练习1.用根式的形式表示下列各式(a>0)32534351,,,aaaa解:551aa323232535353434311aaaaaaaa2.用分数指数幂表示下列各式:解:(1)3232xx(2)4343)()(baba(3)3232)()(nmnm(4)214)()(nmnm=(m-n)2(1)32x(2)43)(ba(a+b>0)(3)32)(nm(4)4)(nm(m>n)(5)56qp(p>0)(6)mm3(5)2532526215656)()0(qpqpqppqp(6)252133mmmmm3.求下列各式的值:(1)2325;(2)3227;(3)23)4936(;(4)23)425((5)423981;(6)63125.132解:(1)12555)5(25323223223(2)933)3(27232332332(3)34321676)76()76(])76[()4936(33323223223(4)125852)25()25()25(])25[()425(3333)23(223223(5)4324421232442132244233333])3[(39816614132414413243333)3()3()33((6)612313163)23()23(32125.13263232)333()222(2323326131213131161312131313161313121要求:学生板演练习,做完后老师讲评.(Ⅳ).课时小结[师]通过本节学习,要求大家理解分数指数幂的意义,掌握分数指数幂与根式的互化,熟练运用有理指数幂的运算性质.(Ⅴ).课后作业(一)1.课本P53练习题解:(1)1274131413143aaaaaa(2)87814121814121212121])([aaaaaaaaaaa(3)3232)()(baba(4)4343)()(baba(5)3122322)(baabbaab2.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)(1)43aa(2)aaa(3)32)(ba(4)43)(ba(5)322baab(6)4233)(ba(6)213342334233)()()(bababa解:(1)1111)11(221221221(2)87)78()78()78()4964(1)21(2212221(3)001.01010)10(100003)43(443443(4)259)35()35(])35[()35()27125(2)32(3323323332解:(1)315=1.710(2)32321=46.88(3)2173=0.1170(4)5467=
本文标题:指数与指数幂的运算教案
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