高等代数第二版课件§3[1].4-矩阵的秩

§3.4矩阵的秩第三章线性方程组上一节我们定义了向量组的秩，如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就是由这些行向量组成的。同样，如果把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵也可以看作是由这些列向量组成的。定义15所谓矩阵的行秩是指矩阵的行向量所组成的向量组的秩，矩阵的列秩是由矩阵列向量所称向量组的秩。例3.4.1求矩阵1212023200240012A的行秩和列秩。解：A的行向量组是：12341,2,1,2,0,2,3,2,0,0,2,3,0,0,0,1其极大线性无关组是：123,,,故A的行秩为3。又A的列向量为第三章线性方程组12341,0,0,0,2,2,0,0,1,3,2,1,2,2,4,2,则列向量组的极大线性无关组为123,,,故A的列秩也是3。问：矩阵A的行秩是否等于列秩？为了解决这个问题，先把矩阵的行秩与齐次线性方程组的解联系起来。引理：如果齐次线性方程组111122121122221122000nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax（3.4.1）的系数矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa的行秩rn，那么它有非零解。第三章线性方程组证明：用12,,,m表示矩阵A的行向量。由于其秩为r，故它的极大线性无关组是由r个向量组成。不妨设1,,r一个极大无关组（否则可以调换向量的位置使之位于前r行，这相当于交换方程组的位置。显然不会改变方程组的解）。由于向量组11,,,,,rrm与是等价的，故原方程组与111122121122221122000nnnnrrrnnaxaxaxaxaxaxaxaxax（3.4.2）是同解的。由于方程组（3.4.2）中方程的个数小于未知量的个数，故（3.4.2）从而（3.4.1）有非零解。是它的1,,r以下方程组定理4矩阵的行秩与列秩相等。第三章线性方程组证明：设所讨论的矩阵为111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa而A的行秩为r，列秩为s。（要证r=s，先证rs，再证rs）。用12,,,m表示矩阵A的行向量组，由于行秩为r，不妨设1,,r是它的一个极大线性无关组。因为1,,r线性无关，故方程组110rrxx只有零解。此即齐次线性方程组111212112122221122000rrrrnnrnraxaxaxaxaxaxaxaxax只有零解。第三章线性方程组由引理知，这个方程组的系数矩阵112111222212rrnnrnaaaaaaaaa的行秩r因而在它的行向量中可以找到r个线性无关的向量，不妨设向量组11211,,,,raaa12222,,,,raaa12,,,rrrraaa由上一节的性质5知，其延长向量组：线性无关。112111,11,,,,,,rrmaaaaa122221,22,,,,,,,rrmaaaaa第三章线性方程组121,,,,,,,rrrrrrmraaaaa也线性无关。而它们恰好是矩阵A的r个列向量。由于它们线性无关，故知A的列秩,sr同理可证：sr，因此有r=s。由于矩阵的行秩等于列秩，因而统称为矩阵的秩。下面揭示矩阵的秩与行列式的关系。先考虑n阶行列式。定理5nn矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa的行列式为零的充要条件是A的秩小于n。证：充分性显然：设A的秩=rn。用12,,,n表示A的列向量组。不妨设12,,,ra是列向量组的极大无关组。第三章线性方程组设1122nrrkkk考虑A的行列式111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa1112212212000nnaaaaaa0必要性：若0A，我们对n用归纳法证明。当n=1时，由0A知A仅有一个元素就是0，故A的秩为01。假设结论对n-1阶矩阵成立。现在考虑n阶矩阵。用12,,,n表示A的列向量。查看A的第一列元素，若它们全为零，则A的列向量组中含有零向量，其秩当然小于n；若这n个元素有一个不为0，不妨设110a，则从第二列直到n列分别加上第一列的倍数1121111,,naaaa第三章线性方程组这样，在把121,,naa消为零的过程中，行列式A化为11212221200nnnnnaaaaAaaa222112nnnnaaaaa其中121110,,,,2,3,,iiniiaaaina由于110,0Aa，故n-1阶矩阵22220nnnnaaaa由归纳假设知，这个矩阵的列向量线性相关，从而向量组1122111111,,nnaaaa也线性相关，即存在不全为零的数2,,nkk，使112221111110nnnaakkaa第三章线性方程组整理得112212211110nnnnaakkkkaa因此12,,,n线性相关，它的秩小于n。推论：齐次线性方程组111122121122221122000nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax，有非零解的充要条件是它的系数矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa的行列式为0。结论的必要性由Cramer法则立得，结论的充分性是定理5的推论。再考虑一般mn矩阵的秩与行列式的关系。第三章线性方程组定义16在一个mn矩阵A中任意选定k行，k列，1min,kmn。位于这些选定的行和列的交叉位置上的2k个元素按照原来的顺序所组成的k级行列式，称为A的一个k级子式。定理6矩阵A的秩为r的充要条件是：矩阵A中有一个r级子式不为零，而所有的r+1级子式全为零。证明：必要性：设矩阵A的秩为r，即矩阵A中行向量组的极大线性无关组为r。因而任意r+1个行向量必线性相关，线性相关向量组的“缩短”向量组也线性相关，故矩阵A的任意r+1级子式的行向量也线性相关。由定理5知，这种子式全为零，下证A中至少有一个r级子式不为零。第三章线性方程组设111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa，秩A=r。A中极大无关组的个数为r，不妨设这r个向量正是前r个行向量（不然，可以调换行向量的位置，而矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，另证）。把这r个向量取出来，作成新的矩阵1A1112121222112nnrrrnaaaaaaAaaa矩阵1A的行秩为r。因而其列秩也为r，即1A的列向量组的极大无关组个数也是r个，不妨设就是前r列线性无关，因而第三章线性方程组1112121222120rrrrrraaaaaaaaa。它是矩阵A的一个r阶子式。充分性：设在矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所有的r+1阶子式全为零。不妨设这r阶子式在A的左上角，即1112121222120rrrrrraaaaaaaaa无关，又根据线性无关向量组的延长向量组也线性无关知，A中前r个向量是线性无关的。由于A中所有r+1阶子式全为零，因此再增加任一个行向量均线性相关（否则会导出A中有一个r+1阶子式不全为零），可见矩阵A的其他行向量可由这r个。由定理5知这r个行组成的向量组线性第三章线性方程组向量线性表示。故矩阵行向量的秩为r，从而矩阵的秩为r。如何求矩阵的秩？例3.4.2求130540107379535260108A的秩解：因为A中第一行与第四行对应元素成比例，因而任何四阶子式均为0，故秩3A，现找到一个三阶子式1300100795，故知A的秩为3。从例3.4.1可以看出，根据定义来求矩阵的秩是繁杂的，下面利用矩阵的初等变换来求，因此先要证明。定理7初等变换不改变矩阵的秩。第三章线性方程组例3.4.3求矩阵2111231241211145651828102610A的秩。解：0334112412081216401218246A124120334102341023411073101000023410068210731010000034100000故秩A=3。第三章线性方程组定理8秩为r的矩阵A可通过初等变换化为如下标准形：1000001000001000000000000第三章线性方程组作业P15618(1)(5)