徐树芳-数值线性代数-答案完全版

1数值线性代数习题解答习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。[解]设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。[解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。该算法的的运算量为）2（2）计算上三角矩阵。运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解]比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。3[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。即，从而即A的LU分解是唯一的。６．设的定义如下证明A有满足的三角分解。[证明]令是单位下三角阵，是上三角阵。定义如下容易验证：７．设A对称且，并假定经过一步Gauss消去之后，A具有如下形式证明仍是对称阵。[证明]根据Gauss变换的属性，显然做矩阵A的LU分解的第一步中的Gauss变换为4其中，将A分块为那么即由A的对称性，对称性则是显而易见的。８．设是严格对角占优阵，即A满足又设经过一步Gauss消去后，A具有如下形式试证：矩阵仍是严格对角占优阵。由此推断：对于对称的严格对角占优矩阵来说，用Gauss消去法和列主元Gauss消去法可得得同样的结果。[证明]依上题的分析过程易知，题中的于是主对角线上的元素满足（1）非主对角线上的元素满足由于A是严格对角占优的，即故5从而（2）综合（1）和（2）得即，矩阵仍是严格对角占优阵。９．设有三角分解。指出当把Gauss消去法应用于矩阵时，怎样才能不必存储L而解出Ax=b？需要多少次乘法运算？[解]用Gauss消去法作A的LU分解，实际上就是对系数矩阵A作了一组初等行变换，将其化为上三角矩阵U。而这一组的初等行变换对应的变换矩阵就是，即如果把这一组初等行变换施加于方程右端向量b上，即有这就是说，方程组和是同解方程。而后者是上三角形方程组，可运用本章算法1·1·2求解。这样我们就不必存储L，通求解方程组，来求解原方程组。算法如下：（1）用初等变换化；（2）利用回代法求解方程组。该算法所需要的加、减、乘、除运算次数为10．A是正定阵，如果对A执行Gauss消去一步产生一个形式为6的矩阵，证明仍是正定阵。[证明]不妨设从而有由于非奇异，故对且，构造，及，则由A的正定性有由x的任意性知，正定。11．设并且是非奇异的。矩阵称为是在A中的Schur余阵。证明：如果有三角分解，那么经过步Gauss消去以后，S正好等于（1·1·4）的矩阵[证明]因为有三角分解，所以矩阵A可保证前步Gauss消去法可以顺利完成。即有如下单位下三角矩阵使注意到7比较两式便知，，故有12．证明：如果用全主元Gauss消去法得到PAQ=LU，则对任意有[证明]略。13．利用列主元Gauss消去法给出一种求逆矩阵的实用算法。[解]设A是非奇异的，则应用列主元Gauss消去法可得到这里：P是置换阵，L是单位下三角阵，U是上三角阵。于是，通过求解下列n个方程组便可求得于是也就是说，求A的逆矩阵，可按下列方案进行：（1）用列主元Gauss消去法得到：；（2）经求解：得；（3）对X进行列置换得：。14．假定已知的三角分解：A=LU。试设计一个算法来计算的（i，j）元素。[解]求解方程组则x的第i个分量就是的（i,j）元素。15．证明：如果是严格对角占优阵（参见第8题），那么A有三角分解A=LU并且[证明]仿照第8题的证明，容易证明：对于是严格对角占优阵，经过一步Gauss消去后，得到8其中仍是严格对角占优阵。A的三角分解A=LU中这样，我们在对A进行列主元三角分解时，不需要选择主元，因为每次消元时，主元位置上的元素恰好是列主元。因此，16．形如的矩阵称作Gauss-Jordan变换，其中.（1）假定非奇异，试给出计算其逆矩阵的公式。（2）向量满足何种条件才能保证存在使得?（3）给出一种利用Gauss-Jordan变换求的逆矩阵的算法。并且说明A满足何种条件才能保证你的算法能够进行到底。[解]为解决本问题，我们引入Gauss-Jordan变换的两个性质：性质1：.事实上，性质2：Gauss-Jordan变换非奇异的充分必要条件是.（1）运用待定法，首先设的逆矩阵为，则有故应有（2）欲使，则应有即9因此，应满足，便可按上述方法得到使得。（3）设A的逆矩阵，则应有下面我们给出利用Gauss-Jordan变换求解方程组的计算方法。算法如下：假定A的各阶主子阵非零，记第1步：假若，令，构造，用左乘和，得到其中第2步：假定，令，构造，用左乘和，得到其中10照此下去，直到第n步：假定，，构造，用左乘和，得到经上述n步，我们得知：故从上面的约化过程可知，要保证算法进行到底，必须保证：我们可以仿照定理1.1.2给出下列定理。定理：的充分必要条件是矩阵的各阶顺序主子阵非奇异。[证明]对于用归纳法。当时，，定理显然成立。假定定理直到成立，下面只需证明：若非奇异，则非奇异的充要条件是即可。由归纳假定知因此，Gauss-Jordan约化过程至少可以进行步，即可得到个Gauss-Jordan变换使（16-1）由此可知的阶顺序主子阵有如下形式若将的阶顺序主子阵分别记为，则由（16-1）知11注意到所以即非奇异的充要条件是17．证明定理1·3·1中的下三角阵L是唯一的。[证明]因A是正定对称矩阵，故其各阶主子式均非零，因此A非奇异。为证明L的唯一性，不妨设有和使那么注意到：和是下三角阵，和为上三角阵，故它们的逆矩阵也分别是下三角阵和上三角阵。因此，只能是对角阵，即从而于是得知18．证明：如果A是一个带宽为2m+1的对称正定带状矩阵，则其Chelesky因子L也是带状矩阵。L的带宽为多少？[证明]带宽为2m+1的矩阵的认识：当m=1时，2m+1=3，该带宽矩阵形为：对m为任意一个合适的正整数来说，带宽为2m+1的矩阵元素有如下特征：结合这一特征，对于带宽为2m+1的对称正定带状矩阵Ar的Colicky分解算法，可改写成下列形式：12从算法不难看出：Colicky因子L是下三角带状矩阵，L的带宽为m+1.19．若是A的Cholesky分解，试证L的i阶顺序主子阵正好是A的i阶顺序主子阵的Cholesky因子。[证明]将A和L作如下分块其中：为矩阵A和L的i阶顺序主子阵。。显然故有。即是的Colicky分解。20．证明：若是对称的，而且其前个顺序主子阵均非奇异，则A有唯一的分解式其中L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵。[证明]先证明存在性。根据定理1·1·2知，存在单位下三角阵L和上三角阵U，使A=LU，且U的主对角线上元素除外，其余都不为零。令，则有单位上三角阵使，即有又因为，则从而根据L和的可逆性知：该等式左端是一个上三角阵，右端是下三角阵。因此它们等于对角阵。再注意到单位上三角阵的乘积仍是单位上三角阵，单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵。因此两端都等于D。于是13从而有再证唯一性。令，故有。左边为下三角阵，右边为上三角阵，故等于对角阵。又因，故。21．给出按行计算Cholesky因子L的详细算法。[解]略。22．利用改进的平方根法设计一种计算正定对称矩阵的逆的算法。[解]算法可分为以下几个步骤：（1）首先利用算法1·3·2计算出正定矩阵的如下分解其中，L是单位下三角阵，D是对角阵。（2）求解矩阵方程其解矩阵.（3）求解矩阵方程其解矩阵（4）求解矩阵方程其解矩阵[注意]以上（2）、（3）、（4）步都是求解非常简单的方程组，算法实现起来很容易。23．设用平方根法证明A是正定的，并给出方程组的解。[解]由Colicky分解可得其中14显然，L是非奇异矩阵。因此，对.于是所以是正定的。由方程组，解得，再由方程组，解得24．设是一个正定Hermite矩阵，其中证明：矩阵是正定对称的。试给出一种仅用实数运算的算法来求解线性方程组[解]既然是正定的，又对，有，且.且注意到显然H正等价于A、B正定。对，则有由前面的讨论，知道若H是正定的，则A是正定的，故矩阵C是正定的。由于于是求解原复数方程组，等价于求解下列实方程组其矩阵形式为：15由（1）得知系数矩阵正定，故该方程可采用平方根算法求解。习题22.1设是个正数。证明：由定义的函数是一个范数。证明只需验证满足定义2.1.1的三个条件。其中（1）和（2），即正定性和齐次性显然成立，下面给出（3）三角不等式的证明。像2范数的证明一样，要证明三角不等式，需要用到Cauchy-Schwartz不等式欲证明这个不等式，只需证明：对任意的，有下列等式成立用数学归纳法证明。当时，等式显然成立。不妨归纳假设当时，等式仍然成立，即有（E2.1）现在来考虑时的情形，注意到16至此，我们便证明了前述等式。亦即证明了Cauchy-Schwartz不等式。又因为是个正数，因此有从而对，我们有2.2证明：当且仅当和线性相关且时，才有.证明因为对任意的17于是，当且仅当由等式（E2.1）可知，当且仅当，即，对任意的，此式成立不外乎二种情形：或；或；或.即和线性相关。2.3证明：如果是按列分块的，那么证明因为.2.4证明：证明记，那么，根据第3题的结果我们有根据Frobenius范数定义易知，对.于是2.5设是由定义的。证明是矩阵范数，并且举例说明不满足矩阵范数的相容性。证明（1）证明是矩阵范数。因为18显然满足矩阵范数定义中的前三条：正定性、齐次性、三角不等式。下面我们证明还满足“相容性”。对任意，记，，且则，，且（2）一个不满足矩阵范数的相容性的例子。取，，则。于是，，从而2.6证明：在上，当且仅当是正定矩阵时，函数是一个向量范数。证明由于A是正定矩阵，不妨设是A的特征值，是其对应的标准正交特征向量，即显然，是线性无关的。因此，=span{}.记，，那么，且对任意，总有使.命题的充分性是很显然的。因为是上的向量范数，则由其正定性可知A必为正定矩阵。现在我们来证明命题的必要性。即假设是正定矩阵，则函数满足向量范数定义的三条性质：正定性。由A的正定性，正定性显然成立。19齐次性。对任意的，因为，故有.三角不等式。对于任意给定的，有，使应用习题2.1的结果，得即有2.7设是上的一个向量范数，并且设.证明：若，则是上的一个向量范数。证明当时，当且仅当是上的零向量。再由假设是上的一个向量范数，于是可证得满足：正定性。事实上，对任意，，而且当且仅当.齐次性。事实上，对所有的和有，因此.三角不等式。事实上，对所有的有，因此有2.8若且，证明.20证明首先用反证法，证明的存在性。设奇异，则有非零解，且，于是，从而.这与假设矛盾。现在来证明命题中的不等式。注意到：，且故有即2.9设||.||是由向量范数||.||诱导出的矩阵范数。证明：若nnAR非奇异，则111minxAAx证明因为||.||是向量范数诱导的矩阵范数，故||