第八章渐进法

1第八章渐进法本课要点1.力矩分配法中的基本概念2.连续梁和无侧移刚架的力矩分配法3.对称结构计算4.无剪力分配法5.力矩分配法和位移法联合应用基本要求1.掌握力矩分配法中的几个基本概念和基本参数：转动刚度、力矩分配系数与传递系数。2.熟练运用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架在荷载作用下的弯矩图。3.了解无剪力分配的概念及适用条件，能解较简单的单跨刚架。4.掌握用位移法和力矩分配法联合求解有侧移刚架的原理和方法，会解有一个结点线位移的刚架的内力。5.了解超静定结构反力、内力影响线的绘制方法。主要内容一.力矩分配法中的基本概念力矩分配法的理论基础是位移法，解题方法采用渐近法，适用范围是无结点线位移的刚架和连续梁。1.名词解释(1)转动刚度转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。杆端的转动刚度以S表示，它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。图8-1给出了等截面杆件在A端的转动刚度SAB的数值。关于SAB应当注意下列几点：1)在SAB中A点是施力端，B点称为远端。当远端为不同支承情况时，SAB数值也不同。2)SAB是指施力端A在没有线位移的条件下的转动刚度。在图8-1中，A端画成铰支座，其目的是为了强调A端只能转动、不能移动这个特点。如果把A端改成辊轴支座，则SAB的数值不变。也可以把A端看作可转动(但不能移动)的刚结点。这时SAB就代表当刚结点产生单位转角时在杆端A引起的杆端弯矩。23)转动刚度可由位移法中杆端弯矩公式导出lEIiSiSiSiS034远端自由远端滑动远端简支远端固支(2)配系数图8-2a所示三杆AB、AC和AD在刚结点A连接在一起。为了便于说明问题，设B端为固定端，C端为滑动支座，D端为铰支座。设有力偶荷载M加于结构A，使结点A产生转角，然后达到平衡。试求杆端弯矩MAB、MAC和MAD。由转动刚度的定义可知：AADAADADAACAACACAABAABABiSMiSMiSM34取结点A作隔离体,根据平衡方程1)(;;;10ADACABAjAADAjAjAjAADADAACACAABABAADACABAADACABASSMMMSSMMSSMMSSMMSSSSMMMMMM分配系数总之，加于结点A的力偶荷载M，按各杆的分配系数分配于各杆的A端力偶荷载M加于结点A，使各杆近端产生弯矩，同时也使各杆远端产生弯矩。由位移法中的刚度方程可得杆端弯矩的具体数值如下：0;3;2;4DAAADADAACCAAACACAABBAAABABMiMiMiMiMiM21ABABBACMM这个比值CAB称为传递系数。传递系数表示当近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。对等截面杆件说来，传递系数C随远端的支承情况而异，数值如下：31021CCC远端滑动远端简支远端固支用下列公式表示传递系数的应用：ABBABAMCM系数CAB称为由A端至B端的传递系数。现在把图8-2a所示问题的计算方法归纳如下：结点A作用的力偶荷载M，按各杆的分配系数分配给各杆的近端；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。2.基本运算(单结点的力矩分配)在力矩分配法中，我们直接计算各杆的杆端弯矩。杆端弯矩以顺时针转向为正。计算步骤表述如下：(1)设想我们先在结点B加一个阻止转动的约束(用螺丝夹紧)阻止结点B转动，然后再加法码。这时，只AB一跨有变形，如图8-3b中虚线所示。这表明结点约束把连续梁ABC分成为两个单跨梁AB和BC。AB一段受荷载Fp作用后产生变形，相应地产生固端弯矩。结点B的约束施加的力矩MB(称为约束力矩)可以通过结点B的平衡方程求得。从图8-3b可以看出，杆BC的固端弯矩0FBCMFBAFBCFBABMMMMM0约束力矩等于固端弯矩之和，顺时针为正(2)连续梁的结点B本来没有约束，也不存在约束力矩MB。因此，图8-3b所示的解答必须加以修正。为了达到这个目的，我们放松结点B处的约束，梁即回复到原来的状态(图8-3a)，结点B处的约束力矩即由MB回复到零，这相当于在结点B原有约束力矩MB的基础上再新加一个力偶荷载(-MB)。力偶荷载-MB使梁新产生的变形如图8-3c中虚线所示。这时，结点B处各杆在B端新产生弯矩'',BCBAMM，称为分配力矩；在远端A新产生弯矩'ABM，称为传递力矩。(3)把图8-3b、c所示两种情况叠加，就得到图8-3a所示情况。因此，把图8-3b、c中的杆端弯矩叠加，就得到实际的杆端弯矩(图8-3a)，例如'BAFBABAMMM现在把力矩分配法的物理概念简述如下：先在刚结点B加上阻止转动的约束，把连续梁分为单跨梁，求出杆端产生的固端弯矩。结点B各杆固端弯矩之和即为约束力4矩MB。去掉约束(即相当于在结点B新加-MB)，求出各杆B端新产生的分配力矩和远端新产生的传递力矩。叠加各杆端记下的力矩就得到实际的杆端弯矩。下面通过例题说明力矩分配法的基本运算步骤。例8-1图8-4所示为一连续梁，试用力矩分配法作弯矩图。解(1)假设在节点B加上约束,计算由载荷产生的固端弯矩,顺时针为正mkNMMMmkNmmkNMmkNmkNMmkNmkNMFBCFBABFBCFBAFAB609086/2015086200150862002(2)放松节点B,等于在节点B新外力偶-60kNm，此力偶按照分配系数分配到两杆的B端,并使A端产生传递力矩,具体演算如下:两杆的线刚度相等:lEIiiBCAB转动刚度:iSiSBCBA3;4分配系数:429.073343571.074344iiiiiiBCBA校核:1BCBA5(3)将以上结果叠加，即得到最后的杆端弯矩，下面画双横线表示最后结果。注意在结点B应满足平衡条件二.多结点的力矩分配对于有多个结点的连续梁和刚架，只要逐次对每一个结点应用上节的基本运算，就可求出杆端弯矩。先用一个三跨连续梁的模型来说明逐次渐近的过程。连续梁ABCD在中间跨加硅码后的变形曲线如图8-6a所示，相应于此变形的弯矩是我们要计算的目标。下面说明渐近过程。第一步，先在结点B和C加约束，阻止结点转动，然后再加砖码(图8-6b)。这时，约束把连续梁分成了三根单跨梁，仅BC一跨有变形，如图中虚线所示。第二步，去掉结点B的约束(图8-6c，注意此时结点C仍夹紧)，这时结点B将有转角，累加的总变形如图8-6c中虚线所示。第三步，重新将结点B夹紧，然后去掉结点C的约束。累加的总变形将如图8-6d中虚线所示。从模型中可以看出，此时变形己比较接近实际变形。依次类推，再重复第二步和第三步，即轮流去掉结点B和结点C的约束。连续梁的变形和内力很快就达到实际状态，但每次只放松一个结点，故每一步均为单结点的分配和传递运算。最后，将各项步骤所得的杆端弯矩(弯矩增量)叠加，即得所求的杆端弯矩(总弯矩)。实际上，只需对各结点进行两到三个循环的运算，就能达到较好的精度。例8-2试作图8-7a所示连续梁的弯矩图。6解:通过此例给出多结点力矩分配法的演算格式，如图8-7b所示。现按演算程序说明如下：(1)求各结点的分配系数由于在计算中只在B、C两个结点施加约束并进行放松，所以只需计算B、C两结点的分配系数节点B:18244326144BCBCBABAiSiS6.03211;4.032132BABA节点C:21613318244CDCDCBCBiSiS3121121;322111CDCB(2)锁住节点B、C求各杆的固端弯矩;100;401001008810086060126/201222mkNMmkNMmkNMmkNmkNlFMmkNMmkNmmkNqlMCBFCDpFBCFBAFAB7计算A、B、C点剪力值8kNFkNFFqlFMQBAQABQABQABB167.68120833.51833.5163116.926.43360616.923606.4366.92216.4366.922按照截面法kNFkNFqlFMQBAQABQABB167.68120833.51833.5163110216.436.92602按照节点法kNFkNFkNFkNFFFMQCBRQFLQFQBCQBCQBCC5875.435875.431004125.564125.564125.563.45183.4141006.9283.41按照截面法kNFkNFFMQDCQCDQCDD8833.68833.603.4160校核kNFFFFFFQDCQCDQCBQBCQBAQAB2208833.68833.65875.434125.56167.68833.51计算AB中点E的弯矩mkNlqMmkNqlMEE8999.21320214999.1556.4322131833.56.43,AB:9.21901.68620811.688126.926.43,BA:2222左侧作为隔离体梁中点截断从截面法叠加简支梁中点的弯矩点计算出中点值点联线叠加法计算BC中点F的弯矩9mkNMmkNMFF05.13365.2256.9244125.566.92,BC:05.13320095.6645023.416.92,CB:左侧作为隔离体梁中点截断从截面法叠加简支梁中点的弯矩点计算出中点值点联线叠加法计算CD中点G的弯矩mkNMmkNMFG65.2038833.63.41,CD:65.20203.41,DC:左侧作为隔离体梁中点截断从截面法叠加简支梁中点的弯矩点计算出中点值点联线叠加法计算AB梁最大正弯矩，先计算剪力等于等的位置mkNqMmx56.231665.676.43333.13459165.2216.4359165.2833.5159165.26120833.512max例题9-3用力矩分配法求作图示刚架内力图(1)转动刚度取相对值计算设EI0=124;216333;14444;15534;434344;15533;144000000CFCFCFCDCDCDBCCBCBBEBEBEBCBCBCBABABAiSEIiiSEIiiSEIiiSEIiiSEIiiSEIi(2)分配系数节点B103.0103;4.0104;3.010310343BABABABEBCBASSSS节点C222.092;333.093;445.0949234CFCDCBCFCDCBSSSS(3)固端弯矩)118(7.411252012)118(7.4141251252012)618(4084208222222mkNqlMmkNqlMmkNqlMFCBFBCFBA(4)力矩分配根据弯矩图作剪力图和轴力图85.5020415.2915.294.43160414.4342021414.4321422QBAQABQABFkNFqlF115.455205.545.544.249.46250514.24520219.4652QBCQBCQBCFkNFFkNFkNFFQDCQCDQCD65.365.306.144kNFkNFFQBEQEBQ