[2020高考]黄冈名师2020版高考数学大一轮复习4.4函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模

第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用(全国卷5年6考)【知识梳理】1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0),x∈R振幅周期频率相位初相AT=___f==______________2｜｜1T2｜｜ωx+φφ2.“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0,ω0)的五个关键点x_______________________ωx+φ_______________y=Asin(ωx+φ)0A0-A023220π2π2323.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图象的两种途径【常用结论】1.两种图象变换的区别由y=sinx的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象,两种变换的区别:①先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位长度;②先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是(ω0)个单位长度.||2.由图象求解析式的三种必会方法(1)直接法:如果从图象可确定振幅和周期,则可直接确定函数表达式y=Asin(ωx+φ)中的参数A和ω,再选取“第一零点”的数据代入“ωx+φ=0”求得φ.(2)五点法:通过若干特殊点代入函数式求解,依据是五点法.(3)逆向思维法:运用逆向思维的方法,根据图象变换可以确定相关的参数.【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)将函数y=3sin2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y=3sin.()4(2x)4(2)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.()(3)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()T2提示:根据y=Asin(ωx+φ)的图象与性质知(1)(2)是错误的,(3)是正确的.答案:(1)×(2)×(3)√2.函数g(x)的图象是由f(x)=sin的图象向左平移个单位得到,则g(x)的一条对称轴方程是()A.x=-B.x=C.x=-D.x=(2x)26661212【解析】选A.将图象向左平移个单位后解析式为y=sin,令2x+=+kπ(k∈Z),解得:x=-π(k∈Z),对k赋值,当k=0时,x=-,即为一条对称轴方程.65(2x)6562k6263.将函数f(x)=sinx图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变),再向右平移个单位长度得到y=g(x)的图象,则函数y=g(x)的单调递增区间为()65A.[2k,2k]kZ12125B.[2k,2k]kZ665C.[k,k]kZ12125D.[k,k]kZ66【解析】选C.将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),可得y=sin2x的图象,再将所得图象向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)=的图象,令2kπ-≤2x-≤2kπ+,求得kπ-≤x≤kπ+,可得函数的递增区间为,k∈Z.126sin2(x)sin(2x)63232125125[k,k]1212题组二:走进教材1.(必修4P57习题1.5T1(2)改编)为了得到y=3cos的图象,只需把y=3cos图象上的所有点的()A.纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变B.横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变(3x)8(x)8C.纵坐标缩短到原来的,横坐标不变D.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变1313【解析】选D.因为变换前后,两个函数的初相相同,所以只需把y=3cos图象上的所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,即可得到函数y=3cos的图象.(x)813(3x)82.(必修4P56练习T3改编)已知函数f(x)=2sin的图象经过点(0,1),则该函数的振幅为____________,周期T为____________,频率为________________,初相φ为______________.(x)3(||)2【解析】振幅A=2,T==6,f=,因为图象过点(0,1),所以1=2sinφ,所以sinφ=,又|φ|,所以φ=.答案:26231612261663.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况:月份x1234收购价格y/(元/斤)6765选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为____________.【解析】设y=Asin(ωx+φ)+B(A0,ω0),由题意得A=1,B=6,T=4,因为T=,所以ω=,所以y=因为当x=1时,y=6,所以6=结合表中数据得+φ=2kπ,k∈Z,可取φ=-,所以y=答案:y=22sin(x)6.2sin()6,222sin(x)6.22sin(x)622考点一函数y=Asin(ωx+φ)的图象及图象变换【题组练透】1.(2017·全国卷Ⅱ)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin则下面结论正确的是()2(2x)3，A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2612C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C21261212【解析】选D.C1:y=cosx,C2:y=首先把曲线C1,C2统一为同一三角函数名,可将C1:y=cosx用诱导公式处理.y=cosx=cos=sin.横坐标变换需将ω=1变成ω=2,即y=sin2sin(2x)3，(x)22(x)2(x)2注意ω的系数,在左右平移时需将ω=2提到括号外面,这时x+平移至x+,根据“左加右减”原则,“x+”到“x+”需加上,即再向左平移.2ysin(2x)sin2(x)ysin(2x)sin2(x)2433．43431212【误区警示】平移变换和伸缩变换都是针对x而言只要平移|φ|个单位都是相应的解析式中的x变为x±|φ|,而不是ωx变为ωx±|φ|.2.若将函数y=2cosx(sinx+cosx)-1的图象向左平移φ个单位,得到的函数是偶函数,则φ的最小正值是()33A.B.C.D.8824【解析】选A.化简函数:y=2cosx(sinx+cosx)-1=2sinxcosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x=向左平移φ个单位可得y=因为y=是偶函数,2sin(2x)4，2sin(2x2)4，2sin(2x2)4所以2φ++kπ,k∈Z,φ=由k=0可得φ的最小正值是.42k28，83.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω0),若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合,则ω的最小值为________.36【解析】函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω0),把f(x)的图象向左平移个单位所得的图象为y=把f(x)的图象向右平移个单位所得的图象为y=3sin[(x)]3sin(x)3，sin[(x)]sin(x)66，6根据题意可得y=和y=的图象重合,故求得ω=4k,故ω的最小值为4.答案:4sin(x)3sin(x)62k36，4.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:(0,||)2(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为求θ的最小值.5(,0)12，【解析】(1)根据表中已知数据,得A=5,ω=2,φ=-.数据补全如表:6且函数解析式为f(x)=5sin(2x).6(2)由(1)知f(x)=得g(x)=因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+2θ-=kπ,k∈Z,解得x=-θ,k∈Z.5sin(2x)6，5sin(2x2).66k212由于函数y=g(x)的图象关于点成中心对称,令解得θ=,k∈Z.由θ0可知,当k=1时,θ取得最小值5(,0)12k5kZ,21212，k23.6【互动探究】若题4中的表改为(1)求x1,x2,x3的值及函数f(x)的表达式.(2)将函数f(x)的图象向右平移θ(θ0)个单位长度,可得到函数g(x)的图象.若y=g(x)的图象的一条对称轴方程为x=,求θ的最小值.512【解析】(1)由ω+φ=0,ω+φ=π可得ω=,φ=-.由x1-=,x2-=,x3-=2π,可得由Asin=2,得A=2,所以f(x)=123238312321233212312351114xxx.333，，2x2sin().23(2)由f(x)=2sin的图象向右平移θ个单位长度,得g(x)=2sin的图象,因为y=g(x)的图象的一条对称轴方程为x=所以解得θ=-2kπ-,k∈Z,又θ0,所以当k=-1时,θ取得最小值1(x)23x()223512，15k,kZ212232，543.4【规律方法】作函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图象常用的两种方法(1)五点法作图:用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,π,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.232(2)图象的变换作图:由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.考点二由图象求解析式【典例】(1)函数y=f(x)=Acos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则A,ω,φ的值为()A.1,π,B.-1,π,C.1,2,D.1,π,-4444(2)(2018·银川模拟)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω0,x∈R)的部分图象如图所示,则该函数图象的一个对称中心是()2A.(,0)B.(,0)3344 C.(,0)D.(,0)33【解析】(1)选A.由题图知,周期T==2,A=1,所以=2,所以ω=π.由π×+φ=+2kπ,k∈Z,得φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=.512()44214244(2)选C.由题得T=所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ).由于曲线经过点,所以2=2sin,所以1=sin,所以可令φ=-.所以f(x)=2sin,令2x-=kπ,1152()2,12125(,2)125(2)125()63(2x)33所以x=,k∈Z,当k=-3时,x=-.所以函数图象的一个对称中心是k26434(,0).3【答题模板微课】本例(1)的求解过程可模板化为:建模板:“由图象知T==2,A=1”,…………………由图象求T与A“所以=2,即ω=π”,…………………求ω“由π×+φ=+2kπ(k∈Z)得φ=+2kπ(k∈Z),不妨取φ=”.…………………求φ512()44214244套模板:已知函数y=f(x)=2sin(ωx+φ)(ω