2013年中考数学复习课件：第二部分 第六章 第5讲 解直角三角形

第5讲解直角三角形1．知道30°、45°、60°角的三角函数值．2．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值．由已知三角函数值求它对应的锐角．3．运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题．三角函数角度正弦余弦正切30°45°60°1．特殊角的三角函数值12323322221321232.解直角三角形32a2＋b2＝c2(1)定义：一般地，在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即______条边和______个锐角．由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．∠C的对应边分别为a，b，c.∠A＋∠B＝90°①三边关系(勾股定理)：______________；②两锐角关系：______________；(2)边角关系：已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，③边角关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab.3．仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰角：视线在水平线__________的角叫仰角．俯角：视线在水平线__________的角叫俯角．(2)坡度：坡面的铅直高度和__________的比叫做坡度(或叫________)，用字母i表示．上方下方水平宽度坡角：坡面与________的夹角叫坡角．用α表示，则有i＝________.坡比水平面tanα水平线或铅垂线(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O点出发的视线与______________所夹的角，叫做观测的方向角．4．解直角三角形应用题的步骤(1)根据已知条件，画出平面几何图形，找出已知条件中各量之间的关系．(2)若是直角三角形，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加__________，构造直角三角形进行解决．辅助线CAA1．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则sinA的值为()A.45B.34C.35D.432．cos60°的值等于()A．1B.2C.3D．23．小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1000m，则他升高了()A．2005mB．500mC．5003mD.1000m5．在数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，如图6－5－1，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是________米．45°图6－5－14．在锐角△ABC中，∠A＝75°，sinC＝32，则∠B＝________.103考点1锐角三角函数的计算)下列各式成立的是(A．sinA＝cosAC．sinAtanA图6－5－2B．sinAcosAD．sinAcosA1．(2011年广东茂名)如图6－5－2，已知：45°A90°，则BA规律方法：理解和熟练掌握直角三角形中边角之间的函数关系，能熟练地转换是解直角三角形的关键．2．(2010年广东茂名)已知∠A是锐角，sinA＝35，则5cosA＝()A．4B．3C.154D．53．(2012年广东梅州)计算：－3－12＋2sin60°＋13－1.解：原式＝3－23＋2×32＋3＝3.考点2解直角三角形例1：(2012年广东珠海)如图6－5－3，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO(不计粗细)上有两个木瓜A，B(不计大小)，树干垂直于地面，量得AB＝2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°.求C处到树干DO的距离CO(结果精确到1米)．图6－5－3(参考数据：3≈1.73，2≈1.41)解：设OC＝x，在Rt△AOC中，∵∠ACO＝45°，∴OA＝OC＝x.在Rt△BOC中，∵∠BCO＝30°，∴OB＝OC·tan30°＝33x，AB＝OA－OB＝x－33x＝2.解得x＝3＋3≈3＋1.73＝4.73≈5(米)．∴OC＝5(米)．答：C处到树干DO的距离CO为5米．4．(2012年广东湛江)某兴趣小组用仪器测量湛江海湾大桥主塔的高度．如图6－5－4，在距主塔AE60米的D处．用仪器测得主塔顶部A的仰角为68°，已知测量仪器的高CD＝1.3米．求主塔AE的高度(结果精确到0.1米)．(参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48)图6－5－4AB＝BC•tan68°≈60×2.48＝148.8(米)，∵CD＝1.3米，∴BE＝1.3米．∴AE＝AB＋BE＝148.8＋1.3＝150.1(米)．∴主塔AE的高度为150.1米．解：根据题意，得在Rt△ABC中，5．(2011年广东湛江)如图6－5－5，五一期间，小红到美丽的世界地质公园光岩参加社会实践活动，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向，然后沿北偏东60°方向走100米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与景点B之间的距离(结果精确到0.1米)．图6－5－5解：过点P作PD⊥AB，垂足为点D，则AB＝AD＋BD.因为∠A＝60°，∠APD＝30°，且PA＝100米，所以AD＝50米．又∠B＝∠DPB＝45°，所以DB＝DP.而DP＝1002－502＝503，所以AB＝50＋503≈136.6(米)．图6－5－66．(2011年广东东莞)如图6－5－6，在直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝30°.折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF＝CF＝8.(1)求∠BDF的度数；(2)求AB的长．解：(1)∵BF＝CF，∠C＝30°.∴∠FBC＝30°，∠BFC＝120°.又由折叠可知∠DBF＝30°，∴∠BDF＝90°.(2)在Rt△BDF中，∵∠DBF＝30°，BF＝8，∴BD＝43.∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ABC＝90°.又∵∠FBC＝∠DBF＝30°，∴∠ABD＝30°.规律方法：解决此类问题的关键在于掌握各函数间的边角关系，能够选择恰当的知识解决具体问题，灵活运用勾股定理和三角函数以及解直角三角形知识．在Rt△BDA中，∵∠ABD＝30°，BD＝43，∴AB＝6.考点3解直角三角形的实际运用图6－5－7例2：(2012年广东)如图6－5－7，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝34，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB(结果取整数)．(参考数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.50)解：∵在直角三角形ABC中，ABBC＝tanα＝34，∴BC＝4AB3.∵在直角三角形ADB中，∴ABBD＝tan26.6°＝0.50，即BD＝2AB.∵BD－BC＝CD＝200，解得：AB＝300米．答：小山岗的高度为300米．图6－5－87．(2012年广东深圳)小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图6－5－8，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为()A．(6＋3)米B．12米C．(4－23)米D.10米解析：如图D47，延长AC交BF延长线于点E，则∠CFE＝30°，作CE⊥BD于点E.在Rt△CFE中，∠CFE＝30°，CF＝4米，∴CE＝2，EF＝4cos30°＝23(米)．在Rt△CED中，CE＝2(米)，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE＝4米．∴BD＝BF＋EF＋ED＝12＋23(米)．图D47答案：A在Rt△ABD中，AB＝12BD＝12(12＋23)＝(3＋6)(米)．8．(2011年广东河源)某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量东江宽度的活动．如图6－5－9，他们在河东岸边的A点测得河西岸边的标志物B在它的正西方向，然后从A点出发沿河岸向正北方向行进200米到点C处，测得B在点C的南偏西60°的方向上，他们测得东江的宽度是多少米(结果保留整数)?图6－5－9(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝200，∠BCA＝60°.∵tan60°＝ABAC，∴AB＝200×3≈200×1.732≈346(米)．图6－5－109．(2011年广东珠海)如图6－5－10，在鱼塘两侧有两棵树A，B，小华要测量此两树之间的距离，他在距A树30m的C处测得∠ACB＝30°，又在B处测得∠ABC＝120°.求A，B两树之间的距离(结果精确到0.1m)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：如图D48，作BD⊥AC，垂足为点D，∵∠C＝30°，∠ABC＝120°，∴∠A＝30°.∴∠A＝∠C.∴AB＝BC.∴AD＝CD＝15.图D48答：A，B两树之间的距离为17.3m.在Rt△ABD中，AB＝ADcos30°≈17.3.规律方法：解直角三角形时，若所求元素不在直角三角形中，则应将它转化到直角三角形中去．转化的途径有：作辅助线构造直角三角形，或找已知直角三角形中的边或角替代所要求的元素等．