河北大学信号与线性系统分析第四章(二)

4.5傅立叶变换的性质对任意信号都可以在时域和频域中进行描述，联系这两种描述方法的纽带就是傅立叶变换。傅立叶变换的性质揭示了信号的特性、运算在时域和频域中的对应关系，当在某一个域中对信号进行分析和计算感到困难时，可以利用傅立叶变换的性质转换到另一个域中进行。另外，根据定义求取傅立叶正、反变换时，不可避免地会遇到麻烦的积分或信号不满足绝对可积的条件等问题，而利用傅立叶变换的性质则可以简捷地求得信号的傅立叶正、反变换。一、线性若f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)那么证明:F[af1(t)+bf2(t)]ttbftaftjde)]()([21ttfttftjtjde)(bde)(a11=[aF1(jω)+bF2(jω)][af1(t)+bf2(t)]←→[aF1(jω)+bF2(jω)]例1.F(jω)=?0f(t)t1-11解:f(t)=f1(t)–g2(t)f1(t)=1←→2πδ(ω)g2(t)←→2Sa(ω)∴F(jω)=2πδ(ω)-2Sa(ω)‖0f1(t)t10g2(t)t1-11-例22021)()(42tttgtf2)(21SaF)(2tft2102)(tft20221)(1tf1011t1011)()(21tttttf)()()(21tftftf24)(2SaF)2(42)()()()()()(22121SaSaFFFtftftf=+二、时移性质若f(t)←→F(jω)那么其中t0为实数)(e)(00jFttftj证明:F[f(t–t0)]tttftjde)(000ede)(tjjttf)(e0jFtj域中产生附加相移。移，对应于其频谱在频表明函数在时域中的时例1F(jω)=?解:f1(t)=g6(t-5),f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)←→g2(t-5)←→∴F(jω)=5e)3Sa(6j5e)Sa(2j5e)]Sa(2)3Sa(6[j0f(t)t2-121468‖0f1(t)t221468+0f2(t)t221468。的频谱求图示三矩形脉冲信号)()(Ftf则冲信号，表示中间的单个矩形脉设)(tf0)()()()(000TtftfTtftf)2()()(00SaAFtf22)(tftATT))(()()()(TjTjeeFFFtf10为的频谱可得时移性根据，)cos21)(2(TSaA返回例2解：三、对称性质若f(t)←→F(jω)那么证明:de)(21)(tjjFtf（1）(1)中t→ω，ω→t那么tjtFftjde)(21)(（2）(2)中ω→-ω那么tjtFftjde)(21)(∴F(jt)←→2πf(–ω)F(jt)←→2πf(–ω)利用对称性质可以方便地求得某些信号的傅立叶变换或傅立叶反变换。)()()()()()()(22211fFFttf立叶变换。例如，求直流信号的傅傅立叶变换的对称性质可以帮助我们理解工程实际中的重要概念：例如，时域中连续的周期信号的频谱是离散的、非周期的，根据对称性可知：时域中离散的、非周期信号的频谱必定是连续的、周期的。例1←→F(jω)=?211)(ttf解:22||2et若α=1,2||12et∴||2e212t||2e11t*若2232)(22tttttfF(jω)=?例2试求取样函数的频谱函数。解：tttSasin)()()()()()()()()()()()(222221ggftSatFtftgSaFtSatF则设)(212tgt02111)(tSat10)(Sa10)(2g011四、频移性质若f(t)←→F(jω)那么证明:其中ω0为实常数.F[ejω0tf(t)]ttftjtjde)(e0ttftjde)()(0=F[j(ω-ω0)])(e)]([00tfjFtj。在频域中移动，对应于在时域中乘以表明00)()(Fetftj)]()([cos)(00021FFttf)]()([sin)(0002FFjttf调制定理称为已调制信号—称为载波信号—正弦或余弦信号称为调制信号—信号：幅度调制（振幅调制）ttftytf0cos)()()(ft()t0cosyt()乘法器)(tftttf0cos)(t)(F0WA]cos)([0ttfF0W22A0W20例f(t)=ej3t←→F(jω)=?解:1←→2πδ(ω)ej3t×1←→2πδ(ω-3)五、尺度变换性质若f(t)←→F(jω)那么其中a为非0实常数。ajFaatf||1)(证明:F[f(at)]=teatftjd)(对于a0,F[f(at)]d1e)(afajatajFa1对于a0,F[f(at)]de)(1d1e)(ajajatfaafajFa1即f(at)←→ajFa||1令a=-1,可得f(-t)←→F(-jω)倍。）了沿频率轴扩展（或压缩则表示而倍，）了沿时间轴压缩（或扩展表示函数函数aFaFatfatf)()()(一对矛盾。小所占用的频带宽度是减小脉冲宽度和希望减冲数），度（每秒内所传送的脉术中，为了提高通信速是一个常数。在通信技，即脉宽与带宽的乘积宽为，其频谱的有效带冲宽度为以矩形脉冲为例，设脉2例1设f(t)←→F(jω),则f(at–b)←→?解:f(t–b)←→e-jωbF(jω)f(at–b)←→ajFabaje||1或f(at)←→ajFa||1f(at–b)=)(abtafajFeabaj||1例2f(t)=←→F(jω)=?11jt解：11)(ejtt)(e211jt)(e211jt使用对称性质,使用尺度变换性质，令a=-1,可得六、卷积性质时域卷积定理：若f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)则f1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)频域卷积定理：若f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)则f1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)21证明时域卷积定理:d)()()(*)(2121tfftftfF[f1(t)*f2(t)]=d]de)()[(ded)()(2121ttffttfftjtj使用时移特性jtjjFttfe)(de)(22因此,F[f1(t)*f2(t)]=de)()(de)()(1221jjfjFjFf=F1(jω)F2(jω)tftfeFtftfeFFeFFeFFFFFFjtjtjtjtjtjttj2112212121221211d)(21d)(21dde21)(21dde)(21ded)()(212121傅立叶逆变换证明频域卷积定理:例1?)(sin2jFtt解：)Sa(2)(2tg使用对称性质,)(2)Sa(22gt)()Sa(2gt)(*)(2)]([*)]([21sin22222ggggttg2(ω)*g2(ω)22-20ωF(jω)π2-20ω等。，分方便的，如卷积定理求取频谱是十函数时，利用频域一个信号的频谱为冲激两个信号相乘，当其中ttfetftj00cos)()(例2)(1tgt212110)(2tt1101)(1tgt2121102)]([1SatgF222)]([)]([)]()([)]([211112SaSaSatgtgtgtgtFFFF)()()()()()(HXYthtxtyzszs方便：响应将很域卷积定理求解零状态在系统分析中，利用时七、时域微分和积分若f(t)←→F(jω)那么)()()()(jFjtfnnjjFFxxft)()()0(d)(ttfjFFd)()()0(0证明:f(n)(t)=(n)(t)*f(t)←→(jω)nF(jω)f(-1)(t)=(t)*f(t)←→jjFFjFj)()()0()(]1)([f(t)=1/t2←→?解：jt2)sgn()sgn(22jt)sgn(1jt)sgn()sgn()(1ddjjtt||)sgn(12t例1:例2若f(t)←→F1(jω)证明f(t)←→F1(jω)+[f(-∞)+f(∞)]()j1)()]()([)(1)(dd)(d)(1dd)(d)()(11ffjFjtttfjFjtttfftft)()]()([)(1)()(2)(1ffjFjfjF因此)()]()([)(1)(1ffjFjjF总结如下：若f(n)(t)←→Fn(jω)，且f(-∞)+f(∞)=0则f(t)←→F(jω)=Fn(jω)/(jω)n解：微分冲激法例3f(t)2-20t2令f(t)←→F(jω)f'(t)t2-20-11t2-2(1)(1)(-2)f(t)解：f”(t)=(t+2)–2(t)+(t–2)F2(jω)=F[f”(t)]=ej2ω–2+e–j2ω=2cos(2ω)–2F(jω)=222)2cos(22)()(jjF注意到：dε(t)/dt=(t)←→1ε(t)←×→1/(jω)，代入公式，又则如图求导，得对012)()()()()(')(')(ffSaGtgtftftf)()(jSaF2得)()('tgtft2210)(tft2210)()()()()(ffjGF例4，代入公式又则如图，求导，得对解：12263321313222)()(sinsin)()()()()()()(')(')(ffjjeeeeGtttttgtftftfjjjj)()()()(sinsin)()(224622262SaSajGF得)(tft30121112)()('tgtft012）（112）（1）（3）（3例5八、频域微分和积分若f(t)←→F(jω)那么(–jt)nf(t)←→F(n)(jω)xjxFtfjttfd)()(1)()0