专题：平面向量常见题型与解题指导

1平面向量常见题型与解题指导一、考点回顾1、本章框图2、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。3、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。4、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。2在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。二、常见题型分类题型一：向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b=(－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是.思路分析：与a平行的单位向量e=±||aa方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a=(x-3,y+1)，则题意可知55185512101334229yx1yx13)()(或　解得）＋（）－（yxyx，故填(512,-51)或(518,-59)方法二与向量b=(-3,4)平行的单位向量是±51(-3,4)，故可得a＝±(-53,54)，从而向量a的终点坐标是(x,y)=a－(3,－1),便可得结果.点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.例2：已知|a|=1,|b|=1，a与b的夹角为60°,x=2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角的余弦是多少？思路分析：要计算x与y的夹角θ，需求出|x|,|y|,x·y的值.计算时要注意计算的准确性.解：由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60°,得a·b=|a||b|cosα=21.要计算x与y的夹角θ，需求出|x|，|y|，x·y的值.∵|x|2=x2=(2a－b)2=4a2－4a·b+b2=4－4×21+1=3，|y|2=y2=(3b－a)2=9b2－6b·a+a2=9－6×21+1=7.x·y=(2a－b)·(3b－a)=6a·b－2a2－3b2+a·b=7a·b－2a2－3b2=7×21－2－3=－23，又∵x·y=|x||y|cosθ，即－23=3×7cosθ，∴cosθ=－1421点评：①本题利用模的性质|a|2=a2，②在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设AB=b,AC=a,AD=2a,∠BAC=60°.由向量减法的几何意义，得BD=AD－AB=2a－b.由余弦3定理易得|BD|=3，即|x|=3，同理可得|y|=7.题型二：向量共线与垂直条件的考查例1．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OCOAOB，其中，∈R且+=1，求点C的轨迹方程。.解：（法一）设C(x,y)，则OC=(x,y)，由OC=(x,y)=α(3,1)+β(-1,3)=(3α-β,α+3β)∴33yx,（可从中解出α、β）又∵α+β＝1消去α、β得x+2y-5=0（法二）利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A，B，C三点共线，故点C的轨迹方程即为直线AB的方程x＋2y－5=0，例2．已知平面向量a＝(3，－1)，b＝(21,23).(1)若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b,y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)；(2)根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间.思路分析：①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？②求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？解：（1）法一：由题意知x＝(23322t,223232t),y＝(21t－3k，23t＋k)，又x⊥y故x·y＝23322t×（21t－3k）＋223232t×(23t＋k)＝0.整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝41t3－43t.法二：∵a＝(3，－1)，b＝(21,23),∴.a＝2，b＝1且a⊥b∵x⊥y，∴x·y＝0，即－ka2＋t(t2－3)b2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝41t3－43t(2)由(1)知：k＝f(t)＝41t3－43t∴kˊ＝fˊ(t)＝43t3－43,令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.故k＝f(t)的单调递减区间是(－1,1)，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.点评：第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第（2）问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.4例3：已知平面向量a＝(3，－1)，b＝(21，23)，若存在不为零的实数k和角α，使向量c＝a＋(sinα－3)b,d＝－ka＋(sinα)b,且c⊥d，试求实数k的取值范围.解：由条件可得：k＝41(sinα－23)2－169,而－1≤sinα≤1,∴当sinα＝－1时，k取最大值1；sinα＝1时，k取最小值－21.又∵k≠0∴k的取值范围为1[,0)(0,1]2.点拨与提示：将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.例4：已知向量)1,2(),2,1(ba，若正数k和t使得向量btakybtax1)1(2与垂直，求k的最小值.解：0)1(])1([02btakbtayxyx即0)1(112222batkbatbttak∵)1,2(),2,1(ba，∴|a|=3，|b|=3ba＝－2＋2，代入上式－3k＋32112tttt当且仅当t=t1，即t=1时，取“＝”号，即k的最小值是2.题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.例7．设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1),b＝(cosx,3sin2x),x∈R.（1）若f(x)＝1－3且x∈[－3，3]，求x；（2）若函数y＝2sin2x的图象按向量c＝(m,n)(m﹤2)平移后得到函数y＝f(x)的图象，求实数m、n的值.思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，解：(1)依题设，f(x)＝（2cosx，1）·(cosx,3sin2x)＝2cos2x＋3sin2x＝1＋2sin(2x＋6)由1＋2sin(2x＋6)=1－3，得sin(2x＋6)＝－23.5∵－3≤x≤3,∴－2≤2x＋6≤65,∴2x＋6=－3,即x＝－4.（2）函数y＝2sin2x的图象按向量c＝（m,n）平移后得到函数y＝2sin2(x－m)+n的图象，即函数y＝f(x)的图象.由(1)得f(x)＝1)12(2sin2x∵m＜2，∴m＝－12，n＝1.点评：①把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是Cˊ，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.②一般地，函数y＝f(x)的图象按向量a＝(h,k)平移后的函数解析式为y－k＝f（x－h）、例8：已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）(0αβπ)，（1）求证：a+b与a-b互相垂直；（2）若ka+b与a-kb的模大小相等(k∈R且k≠0)，求β－α解：（1）证法一：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）∴a+b＝（cosα+cosβ，sinα+sinβ）,a-b＝（cosα-cosβ，sinα-sinβ）∴(a+b)·(a-b)=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）·（cosα-cosβ，sinα-sinβ）=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0∴(a+b)⊥(a-b)证法二：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）∴|a|＝1，|b|＝1∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0∴(a+b)⊥(a-b)证法三：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）∴|a|＝1，|b|＝1,记OA＝a，OB＝b，则|OA|＝|OB|=1,又α≠β，∴O、A、B三点不共线.由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中OC＝a+b，BA＝a-b，由菱形对角线互相垂直，知(a+b)⊥(a-b)（2）解：由已知得|ka+b|与|a-kb|,又∵|ka+b|2＝(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2=k2+1+2kcos(β－α),|ka+b|2＝(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2=k2+1-2kcos(β－α),∴2kcos(β－α)=-2kcos(β－α)又∵k≠0∴cos(β－α)＝0∵0αβπ∴0β－απ,∴β－α=2注：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明.6题型四：向量运算的几何意义与解析几何由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，文科应重视由向量运算的几