北京邮电大学-电磁场与电磁波-2009期末试题-试题A-2009答案

北京邮电大学2009——2010学年第1学期《电磁场理论与微波技术》期末考试试题（A卷）答案一、给出无源空间中麦克斯韦方程组的微分形式、表示物质的本构方程（辅助方程）及用复数表示的麦克斯韦方程组的微分形式（10分）微分形式：00DHtBEtHD―――――――---4分线性物质本构方程：DEBHJE---―――――3分复数表示微分形式：00HjEEjHHD-――――――3分二、两块很大的平行导体板，板间距离d，d比平行板的长和宽都小很多。两板接上直流电压为U的电源充电后又断开电源，然后在板间放入一块均匀介质板，它的相对介电常数r＝9。假定介质板的厚度比d略小一点，留下一小空气隙，试求（1）断电前两极板间的电位分布；（5分）（2）放入介质板前后，平行板间各处的电场强度；（5分）（3）放入介质板后，平行板间的电压。（5分）dεr=9-ρsfρsf++++++++++++++++++++++++----------------------------OxyΔsxdx0222|0,|1011,11xUCxCUCCUdUdxd11（1）电位只是的函数，设边界条件分由拉普拉斯方程:＝分得：＝分代入边界条件得：＝－分＝（）分:1xxUEeexd（2）放介质板前分001sfsfSSEdSES放介质板后，设为平行板自由电荷密度，由高斯定律分00012,sfsfnnUEDdDDD1分由介质面的性质01rDUEd空气隙中：分09drDDUEdx介质中：1分方向均为沿方向,drdUEdEdd（3）设介质板高为有＝3分29dddUUEd由于分三、在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部，半球的球心在导体平面上，若在半球对称轴上离球心h（ha）处放一点电荷q，（1）确定镜像电荷的个数、大小与位置；（10分）（2）求导体外任一点P处的电位。（5分）（1）如图所示，根据镜像法原理，可以得到三个镜像电荷211,aaqqhhh3分22,qqhh3分2313,aaqqqhhh4分q(,,)Prrhxa（3）导体外任一点P处的电位为：31201231()4qqqqRRRR3分22220222211[42cos()2cos11)2cos()2cosqhrhhrrahrahrhhrrahra2分四、已知两个相互平行、相隔距离为d，共轴的线圈，其中一个线圈的半径为a（ad），另一个线圈的半径为b，已知磁偶极子远点的矢量磁位为：02sin4mPAer,Pm为磁偶极矩的大小，试求两线圈之间的互感系数。（10分）方法一：设半径为b的线圈中的电流为I1,在中轴线上产生的磁场为：011223/22()IbBbd3分q(,,)PrrhxaZq1h1q2h2h3q3RR1R2R3因为da，可以认为B1在半径为a的线圈包围的面积上是均匀的，穿过线圈a的磁通为：2011212223/22()IbBSabd3分互感为：22012223/212()baMIbd4分方法二：设半径为a的线圈中的电流为I2，因为da，可以认为半径为a的线圈为一磁偶极子，磁偶极子远点的矢量磁位为：20022sinsin44mPaAeerr3分穿过线圈b的磁通为：222020221222202202223/2sinsin4()4()2()ssIaIabAdleedldbdbdIabbd3分互感为：22021223/222()baMIbd4分五、空气中的平面波沿z方向传播，已知其电场为()00()jtkzxyEjEeEee，试求：（1）电磁波的极化形式；（5分）左旋椭圆极化（2）磁场强度H的表示式；（5分）j001j120tkz'yxEEe－Hee（3）坡印廷矢量的平均值avS。（5分）2200012'avzEESe六、设垂直极化的平面波垂直入射到理想介质的表面上，入射波的电场表达式为：1()0jtkzxEeEe。已知两种介质的相移常数与波阻抗分别为101k，101/，202k，202/。（1）写出反射波电场与磁场的表达式；（3分）（2）写出折射波电场与磁场的表达式；（3分）（3）求电场的反射系数与传输系数。（4分）解：（1）110011jkzxjkzyEeEeHeEe3分（2）220021jkzTTxjkzTTyEeEeHeEe3分（3）z=0处分界面电场强度切向分量连续的边界条件E1t=E2t000TEEE1分z=0处分界面磁场强度切向分量连续的边界条件H1t=H2t0001211()TEEE1分反射系数：021021EE1分透射系数：020212TETE1分七、（1）证明任一线极化波总可以分解为两个振幅相等旋向相反的圆极化波的叠加。（7分）（2）证明矩形波导中只能传播TE波和TM波,不能传播TEM波。（8分）证明：（1）假设线极化波沿+z方向传播。不失一般性，取x轴平行于电场强度矢量E，则00000011()22()()22jkzjkzjkzjkzxxyyjkzjkzxyxyEzeEeeEejeEejeEeEEejeeejee上式右边第一项为一左旋圆极化波，第二项为一右旋圆极化波，而且两者振幅相等，均为E0/2。（2）利用反证法。假设在波导中可以传输TEM波，则存在横向磁场分量。0CdHl。但是，TEM波没有纵向电场Ez，由于是单导体波导也没有纵向电流，所以：0SdtDJS因此CSddtDHlJS与麦克斯韦方程矛盾。九、有一内充空气、截面尺寸为a×b（ba2b）的矩形波导，主模工作在3GHz，要求工作频率至少高于主模截止频率的20％，低于次高模截止频率的20％，(0913610F/m,70410H/m),（1）设计a、b尺寸；（10分）（2）根据设计尺寸，计算工作频率时的波导波长和波阻抗。（5分）（1）主模为TE10，截止波长为2a，截止频率为101()2cfa3分次高模为TE01，截止波长为2b，截止频率为101()2cfb3分根据题意9910011001310()()31020%,20%()()ccccffff3分代入数据得：0.06,0.04ambm，可以取：a=7cm,b=4cm1分（2）真空中TEM波得波长为8931010310vcmf1分214.31(/2)gcma2分100()2538.61(/2)WTEZa2分