点集拓扑讲义教案

1点集拓扑学教案为聊城大学数学科学学院数学与应用数学专业三年级本科生开设《点集拓扑》课程。按熊金城《点集拓扑讲义》(第三版,北京:高等教育出版社,2003)第一至七章编写的教案。本科生授课64学时，教学内容与进度安排如下：章节本科生授课主要内容课时数备注拓扑学的起源1一朴素集合论21.1集合、映射与关系11.2无限集1二拓扑空间与连续映射21习题课时22.1度量空间与连续映射3不讲附录2.2拓扑空间与连续映射32.3邻域与邻域系2不讲定理2.3.32.4导集、闭集、闭包内部、边界3不讲例2.4.4,定理2.4.82.5内部、边界22.6基与子基2部分证明定理2.6.3，临域基及相关内容在5.1中介绍2.7拓扑空间中的序列2三子空间、有限积空间、商空间6习题课时13.1子空间23.2积空间223.3商空间1例3.3.3起不讲四连通性8习题课时14.1连通空间24.2连通性的某些简单应用14.3连通分支14.4局部连通空间24.5道路连通空间1道路连通分支不讲五有关可数性的公理6习题课时15.1第一与第二可数性公理25.2可分空间1.5定理5.2.1不讲5.3Lindeloff空间1.5六分离性公理8习题课时1.56.110,TT、Hausdorff空间26.2正则、正规、43,TT空间1.5例6.2.2讲部分6.3Urysohn引理和Tietze扩张定理1不讲定理6.3.1,6.3.4的证明6.4完全正则空间,Tychonoff空间16.5分离性公理与子空间、积空间和商空间16.6可度量化空间1定理6.6.1讲部分七紧致性10习题课时17.1紧致性3定理7.1.6讲部分37.2紧致性与分离性公理1引理7.3.2用分析中的结论7.3n维欧氏空间nR中的紧致子集0.57.4几种紧致性以及其间的关系1.57.5度量空间中的紧致性17.6局部紧致空间,仿紧致空间1定理7.6.8不讲4第一章朴素集合论点集拓扑学(Point-setTopology)现称一般拓扑学(GeneralTopology),它的起源与出发点都是集合论.作为基本的点集拓扑学知识,所需的只是一些朴素集合论的预备知识.本章介绍本书中要用到的一些集合论内容,主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选择公理等.作为一教材,讲义对各部分内容均有较系统的论述,作为授课,我们只强调一些基本内容,而对已有过了解的知识不提或少提.记号:Z,Z+,R,Q分别表示整数集,正整数集,实数集和有理数集.教学重点：集合的基本概念、运算，映射的概念；教学难点：选择公理一.集合的运算幂集P)(X,交∩、并∪、差－(补,余/,AAc).运算律:DeMorgan律:(1)C)-(AB)-(AC)(B-A.(2)C)-(AB)-(AC)(B-AA-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)利用集合的包含关系证明(1).类似可定义任意有限个集的交或并,如记niniiinnnAAAAAAAA11121)...(...Ai.规定0个集之并是,不用0个集之交.二.关系R是集合X的一个关系,即RyxXXR),(,记为xRy,称x与y是R相关的.R称为自反的,若Xx,xRx;R称为对称的,若xRy,则yRx;R称为传递的,若xRy,yRz,则xRz.等价关系:自反、对称、传递的关系.如,Δ(X)={(x,x)|xX},恒同关系,它是等价关系;y}xR,yx,|y){(x,，小于关系,它是传递的,但不是对称的、不是自反的.设R是X上等价关系,Xx,x的R等价类或等价类R[x]或[x]为xRy}|X{y,R[x]的元称为R[x]的代表元;商集X}x|{[x]RX/R.定理1.4.1设R是非空集合X的等价关系,则5R[x]xX,x;(2)Xyx,，或者[x]R=[y]R,或者RR[y][x]证(2).设RR[y][x]z,则zRyZRx,,于是RR[y][x]且RR[y][x],于是RR[y][x].三.映射函数：YXf:.像：}|)({)(,AxxfAfXA；原像：})(|{)(,1BxfXxBfYB满射、单射、一一映射(双射)、可逆映射、常值映射、恒同映射Xi、限制Af|、扩张、内射XAiAX:|集合niXi,,笛卡儿积niiininiinniXxxxxXXXXX121121},)...,{(...到第i个坐标集iX的投射iiXXp:定义为ixxp)(,其中),..,(1nxxx.对等价关系,R集合X到商集RX/的自然投射RXXp/:定义为Rxxp][)(.四.集族数列Znnn}{x}{x,有标集族}{A,指标集Γ,与}{A不同,可记有标集族AAA}{;类似地,定义其并A(或∪A)、交A(或∩A),不定义0个集的交.与有限集族有相同的运算律,如DeMorgan律AAAAAAA,)(,映射对应的集族性质:)()(),()(AfAfAfAf,)()(),()(1111BfBfBfBf五.无限集通过一一映射来确定两集合的个数的多少.有限集(或与某{1,2,…,n}有一一映射),无限集,可数集(或存在X到Z+的单射),不可数集.易验证:有限集是可数集,可数集的子集是可数集,可数集的映像是可数集.定理1.7.3X是可数集X是Z+的映像.由此,Q是可数集,两可数集的笛卡儿积集是可数集,可数个可数集之并集是可数集.6定理1.7.8R是不可数集.利用Cantor对角线法证明开区间(0,1)中的实数不可数.直观上,集合A中元素的个数称为该集合的基数,记为cardA,或|A|.|Z+|=a,|R|=c.若存在从集合A到集合B的单射,则定义|A|≤|B|.连续统假设:不存在基数,使得ca选择公理:若A是由非空集构成的集族,则AA,可取定.)(AA.由选择公理可证明,若,是基数,则下述三式中有且仅有一成立:,,7第二章拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础,从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念:拓扑空间、连续映射,分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.教学重点：拓扑空间与连续映射,邻域与邻域系；教学难点：基与子基；可度量化空间2.1度量空间与连续映射在R上,|x-y|表示点x与y之间的距离.绝对值是一非负函数,具有三条重要性质.定义2.1.1设X是一集合RXX:.如果满足正定性、对称性和三角不等式,则称是X的一个度量.),(X称为度量空间,y)(x,表示两点x,y之间的距离.例2.1.1实数空间R.-y|,R的通常度量.例2.1.2n维欧氏空间RRRRn....对于nRx,记niixx1)(定义niiiyxyx12)(),(为Rn的通常度量,n维欧氏空间.R2称为欧氏平面或平面.例2.1.3Hilbert空间H.},...),..,({1221iinxxxxxH12)(),(),(:iiiyxyxyxRHH定义,易证为度量则度量空间),(H称为Hilbert空间.例2.1.4离散度量空间.度量空间),(X称为离散的,若0,xXx,使得不存在X中的点xy,满足xyx),(如对集合X,按如下方式定义RXX:是X上的离散度量:yxyxyx,1,0),(定义2.1.2设),(X是度量空间}),({),(yxXyxB称为以x为心,为半径的球形邻域或邻域,或球形邻域.对(R,|.|),)+x,-(x=)B(x,.8定理2.1.1度量空间),(X的球形邻域具有性质:(1)).(,0,xBxXx(2))2,.(),.(),.(,0,0,,313321xBxBxBxXx满足则；(3)若0),,(xBy使),(),(xByB；证(2)},min{0213；(3)),(),(),,(xByByx则定义2.1.3X的子集A称为),(X的开集,若AxBAa),(,0,使.每一球形邻域是开集.例2.1.5R中的开区间是开集.),(bax让},min{xbax则),(),(baxB同样可证,无限开区也是开集.闭区间[a,b]不是开集.定理2.1.2度量空间的开集具有以下性质:(1),X是开集;(2)两开集的交是开集;(3)任意开集族之并是开集.证(1)由定理2.1.1(1);(2),(3)由定理2.1.1(2).定义2.1.4设X是度量空间,UXUXx,,称为x的邻域,若有开集V,使UVx.定理2.1.3U是X中点x的邻域存在ε0,使B(x,ε)U.定义2.1.5设YX,是两度量空间.YXf:,Xx0称f在0x连续,若)(0xf的球形邻域)0(),),((0xfB存在0x的球形邻域B(x0,δ),使).),(()),((00xfBxBf称f在X连续,若f在X的每一点连续.定理2.1.4设YX,是两度量空间.YXf:,Xx0,那么(1)f在0x连续若U是)(0xf的邻域,则)(1Uf是0x的邻域;(2)f在X连续若U是Y的开集,则)(1Uf是X的开集.证(1)利用定义2.1.5,2.1.4.9-1(U)是每一点的邻域证每一点连续,利用(1).由此可见,度量空间的连续只与邻域或开集有关.它导入建立比度量空间更一般的拓扑空间的概念及其连续性.102.2拓扑空间与连续映射定义2.2.1设是集合X的子集族,若满足:11,)3(;,)2(;,)1(BABAX称是X的一个拓扑),(X是拓扑空间,的元称为X的开集.空间X的拓扑是X的全体开集的族.定义2.2.2),(X度量空间.由X的所有开集构成的族.(X,)称为由度量诱导出的拓扑空间.简称为度量拓扑.度量空间一定是拓扑空间.例2.2.1平庸拓扑},{X平庸空间.例2.2.2离散拓扑)(XP.离散空间.X的每一子集是开集.由离散度量空间导出的拓扑是离散拓扑.例2.2.4有限补拓扑}{}{/的有限子集是XUXU.验证是X上的拓扑.(1)显然XBA,，讨论A∩B时分两种情形,一是A,B中有一是,二是A,B都不是；（3）1,不妨设10A利用DeMorgan律.有限补空间.例2.2.5可数补拓扑}{}{/的可数子集是XUXU定义2.2.3可度量化空间.离散空间是可度量化空间.多于一点的平庸空间不是可度量化空间.度量化问题是点集拓扑学研究的中心问题之一.本书将在6.6中给出该问题的一个经典的解.定义2.2.4YX,是两拓扑空间.YXf:称f连续,若Y中每一开集U的原象f-1(U)是X中的开集.定理2.2.1恒同映射连续.连续函数的复合是连续的.定义2.2.5YXf:称为同胚或同胚映射,若ff是一一映射且ff及1f均连续.定义2.2.6称两空间X与Y同胚,或X同胚于Y,若存在从X到Y的同胚.定理2.2.2(2.2.3)恒同映射同胚(X与X同胚);f同胚1f同胚(若X与Y同胚,则Y与X同胚);同胚的复合是同胚(若X与Y同胚,且Y与Z同胚,则X与Z同胚).空间的同胚关系是等价关系.11拓扑学的中心任务:研究拓扑不变性质.抽象化过程:欧氏空间→度量空间→拓扑空间;点距离→度量→开集.122.3邻域定义2.3.1设),(X是拓扑空间.XUXx,称为x的邻域,如果存在V使UVx;若U是开的,U称为x的开邻域.定理2