中学数学竞赛讲座及练习(第42讲)+函数

第四十二讲函数的最大值与最小值我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．1．一次函数的最大值与最小值一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．例1设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．大值a．例2已知x，y，z是非负实数，且满足条件x＋y＋z=30，3x+y-z=50．求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．分析题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．解从已知条件可解得y=40-2x，z=x-10．所以u=5x＋4y+2z＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10)=-x+140．又y，z均为非负实数，所以解得10≤x≤20．由于函数u=-x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．2．二次函数的最大值与最小值例3已知x1，x2是方程x2-(k-2)x＋(k2+3k+5)=0解由于二次方程有实根，所以△=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0，3k2＋16k＋16≤0，例4已知函数有最大值-3，求实数a的值．解因为的范围内分三种情况讨论．-a2＋4a-1＝-3例5已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．解设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积S=xy，2≤X≤4．易知CN=4-x，EM=4-y，且有二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值例6设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x2+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．解由题设知f(p)=5，g(p)=25，f(p)＋g(p)=p2＋16p＋13，所以p2＋16p+13=30，p=1(p=-17舍去)．由于f(x)在x=1时有最大值5，故设f(x)=a(x-1)2+5，a＜0，所以g(x)=x2+16x+13-f(x)=(1-a)x2+2(a＋8)x＋8-a．由于g(x)的最小值是-2，于是解得a=-2，从而g(x)=3x2＋12x＋10．3．分式函数的最大值与最小值法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．解去分母、整理得(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．△≥0，即△=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y＋3)≥0，解得-4≤y≤1．时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．说明本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．解将原函数去分母，并整理得yx2-ax＋(y-b)＝0．因x是实数，故△=(-a)2-4·y·(y-b)≥0，由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以(y+1)(y-4)≤0，即y2-3y-4≤0．②由①，②得所以a=±4，b=3．4．其他函数的最大值与最小值处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．解先估计y的下界．又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．说明在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．例10设x，y是实数，求u=x2＋xy+y2-x-2y的最小值．分析先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1．例11求函数的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．练习七1．填空：(1)函数y=x2＋2x-3(0≤x≤3)的最小值是_____，最大值是_______．(3)已知函数y=x2+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4，则a=_____．是_______．(5)设函数y=-x2-2kx-3k2-4k-5的最大值是M，为使M最大，k=_____．2．设f(x)=kx＋1是x的函数，以m(k)表示函数f(x)=kx＋1在-1≤x≤3条件下的最大值，求函数m(k)的解析式和其最小值．3．x，y，z是非负实数，且满足x＋3y＋2z=3，3x＋3y＋z=4．求u=3x-2y+4z的最大值与最小值．4．已知x2＋2y2=1，求2x＋5y2的最大值和最小值．交点间的距离的平方最小，求m的值．6．已知二次函数y=x2＋2(a＋3)x＋2a＋4的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为α，β，当实数a变动时，求(α-1)2＋(β-1)2的最小值．