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解析几何新题型与解题技巧1A:解析几何题型考点1.求参数的值:求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.例1、若抛物线22ypx的焦点与椭圆22162xy的右焦点重合,则p的值为()A.2B.2C.4D.4考点2.求线段的长,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.例2.已知△ABC的顶点B、C在椭圆x23+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是()A.23B.6C.43D.12例3.如图,把椭圆2212516xy的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,PPPPPPP七个点,F是椭圆的一个焦点,则1234567PFPFPFPFPFPFPF____________.考点3.曲线的离心率:其解法为充分利用:(1)椭圆的离心率e=ac∈(0,1)(e越大则椭圆越扁);(2)双曲线的离心率e=ac∈(1,+∞)(e越大则双曲线开口越大).例4、已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是()A.(1,2]B.(1,2)C.[2,)D.(2,)例5.已知双曲线9322yx,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于()A.2B.332C.2D.4考点4.求最大(小)值:其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例6.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y12+y22的最小值是.考点5圆锥曲线的基本概念和性质要能够熟练运用;常用的解题技巧要熟记于心.例7.P是椭圆22xy14上的点,12F,F是椭圆的两个焦点,且12FPF60,求12FPF的面积.例8.已知动点P到两个定点A(5,0)、B(5,0)的距离之差为|PA||PB|8,(1)求点P的轨迹方程;(2)对于x轴上的点M,若满足2|PA||PB||PM|,则称点M为点P对应的“比例点”,求证:对任意一个确定的点P,它总有两个比例点.例9.已知椭圆2222xyE:1(ab0)ab,AB是它的一条弦,M(2,1)是弦AB的中点,若以点M(2,1)为焦点,椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N(4,1),若椭圆离心率e和双曲线离心率1e之间满足1ee1,求:(1)椭圆E的离心率;(2)双曲线C的方程.当c3时,双曲线方程为:22(x10)(y1)32,即为所求.考点6中点弦问题:具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(,)xy11,(,)xy22,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。例题6给定双曲线xy2221。过A(2,1)的直线与双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程。考点7焦点三角形问题:椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F1、F2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。例7设P(x,y)为椭圆xayb22221上任一点,Fc10(,),Fc20(,)为焦点,PFF12,PFF21。(1)求证离心率sinsin)sin(e;(2)求|||PFPF1323的最值。解析几何新题型与解题技巧2考点8直线与圆锥曲线位置关系问题:方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法例8抛物线方程,直线与轴的交点在抛物线准线的右边。ypxpxytx210()()1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OA⊥OB,求p关于t的函数f(t)的表达式。考点9圆锥曲线的有关最值(范围)问题:常用代数法和几何法解决。1若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。2若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数求最值。例9、已知抛物线y2=2px(p0),过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,|AB|≤2p(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值。考点10、求曲线的方程问题:1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。例题已知直线L过原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。若点A(-1,0)和点B(0,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。2.曲线的形状未知-----求轨迹方程例题已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(0),求动点M的轨迹方程,并说明它是什么曲线。考点11、存在两点关于直线对称问题:在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)例11已知椭圆C的方程xy22431,试确定m的取值范围,使得对于直线yxm4,椭圆C上有不同两点关于直线对称。考点12、两线段垂直问题:圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用kkyyxx1212121···来处理或用向量的坐标运算来处理。例12已知直线l的斜率为k,且过点P(,)20,抛物线Cyx:()241,直线l与抛物线C有两个不同的交点。(1)求k的取值范围;(2)直线l的倾斜角为何值时,A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。B:解题的技巧方面一、充分利用几何图形:解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。例1设直线340xym与圆xyxy2220相交于P、Q两点,O为坐标原点,若OPOQ,求m的值。二.充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。例2已知中心在原点O,焦点在y轴上的椭圆与直线yx1相交于P、Q两点,且OPOQ,||PQ102,求此椭圆方程。三.充分利用曲线系方程:利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。例3求经过两已知圆Cxyxy122420:和Cxyy22224:0的交点,且圆心在直线l:2410xy上的圆的方程。四、充分利用椭圆的参数方程:椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角代换法。例4P为椭圆22221xyab上一动点,A为长轴的右端点,B为短轴的上端点,求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。五、线段长的几种简便计算方法:①充分利用现成结果,减少运算过程:一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是:把直线方程ykxb代入圆锥曲线方程中,得到型如axbxc20的方程,方程的两根设为xA,xB,判别式为△,则解析几何新题型与解题技巧3||||ABkxxAB12·||12ak△·,若直接用结论,能减少配方、开方等运算过程。例求直线xy10被椭圆xy22416所截得的线段AB的长。②结合图形的特殊位置关系,减少运算:在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。例5F1、F2是xy222591的两个焦点,AB是经过F1的弦,若||AB8,求值||||22BFAF③利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离例6点A(3,2)为定点,点F是抛物线yx24的焦点,点P在抛物线y24x上移动,若||||PAPF取得最小值,求点P的坐标。练习题:1.已知直线)0)(2(kxky与抛物线C:xy82相交A、B两点,F为C的焦点。若FBFA2,则k=()A.31B32C32D3222.中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2),则它的离心率为3.若点O和点F分别为椭圆3422yx的中心和左焦点,点P为椭圆上点的任意一点,则FPOP的最大值为()A.2B.3C.6D.84.已知抛物线22(0)ypxp,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A1xB1xC2xD2x5.已知椭圆22122:1xyCab(a>b>0)与双曲线222:14yCx有公共的焦点C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于,AB两点.若C1恰好将线段AB三等分,则()A2a=132B2a=13C2b=12D2b=26.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-3,那么PF=()A43B8C83D167.设),(00yxMyxC8:2上一点,F为C的焦点,以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交,则0y的取值范围是()A.)2,0(B.]2,0[C.),2(D.),2[8.已知ΔABC顶点A(-4,0),C(4,0)顶点B在椭圆92522yx=1上,则BCAsinsinsin=;9、32),1,0(的面积为OFPj,且,OFFPt33OMOPj.(1)4t34求向量OP→与Ep的夹角θ的取值范围;2)设以原点O为中心,对称轴在坐标轴上,以F为右焦点的椭圆经过点M,且||,)13(,||2OPctcOF当取最小值时,求椭圆的方程.10、椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,离心率e=22,椭圆上的点到焦点的最短距离为1-22,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且AP=PB.(1)求椭圆方程;(2)若OA+OB=4OP,求m的取值范围.11、椭圆C的中心原点O,焦点在y轴上,离心率e=22,椭圆上的点到焦点的最短距离为1-22,直线l与y轴解析几何新题型与解题技巧4交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且AP=PB.(1)求椭圆方程;(2)若OA+OB=4OP,求m的取值范围.12、已知一动圆M,恒过点F(1,0),且总与直线:1lx相切,(Ⅰ)求动圆圆心M的轨迹C的方程;(Ⅱ)探究在曲线C上,是否存在异于原点的1122(,),(,)AxyBxy两点,当1216yy时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.13、已知椭圆C:2222byax=1(0ab)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为23,求△AOB面积的最大值.14、已知向量)1,0(,)0,(21eae,经过定点)0,(aA且方向向量为21ee的直线与经过定点)0,(aB且方向向量为212ee的直线交于点M,其中R,常数a>0.15、设椭圆:C)0(12222babyax的离心率为e=22,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程;(2)椭圆C上一动点P00,yx关于直线xy2的对称点为111,yxP,求1143yx的取值范围.16、已知A.B是椭圆2822yx上两点,O是坐标原点,定点)0,1(E,向量OA.OB在向量OE方向上的投影分别是m.n,且OBOA7mn,动点P满足OBOAOP(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)设过点E的直线l与C交于两个不同的点M.N,求ENEM的取值范围。17、如图所示,已知圆MAyxC),0,1(,8)1(:22定点为圆上一
本文标题:2014解析几何新题型的解题技巧
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