千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第1炼-命题形式变化及真假判定-Word版含解析

-1-第1炼命题形式变化及真假判定一、基础知识：（一）命题结构变换1、四类命题间的互化：设原命题为“若p，则q”的形式，则（1）否命题：“若p，则q”（2）逆命题：“若q，则p”（3）逆否命题：“若q，则p”2、pq，pq（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为pq（2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为pq3、命题的否定p：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法（1）一些常用词的“否定”：是→不是全是→不全是至少一个→都没有至多n个→至少1n个小于→大于等于（2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时,pq均变为,pq：p或q→p且qp且q→p或q（3）全称命题与存在性命题的否定全称命题：:,:,()pxMpxpxMpx存在性命题：:,:,()pxMpxpxMpx规律为：两变一不变①两变：量词对应发生变化（），条件px要进行否定px②一不变：x所属的原集合M的不变化（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联。1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同。而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联-2-2、pq，pq，如下列真值表所示：pqp或q真真真真假真假真真假假假简而言之“一真则真”简而言之“一假则假”3、p：与命题p真假相反。4、全称命题：真：要证明每一个M中的元素均可使命题成立假：只需举出一个反例即可5、存在性命题：真：只需在M举出一个使命题成立的元素即可假：要证明M中所有的元素均不能使命题成立二、典型例题例1：命题“若方程20axbxc的两根均大于0，则0ac”的逆否命题是（）A.“若0ac，则方程20axbxc的两根均大于0”B.“若方程20axbxc的两根均不大于0，则0ac”C.“若0ac，则方程20axbxc的两根均不大于0”D.“若0ac，则方程20axbxc的两根不全大于0”思路：所谓逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换，“0ac”的对立面是“0ac”，“均大于0”的对立面是“不全大于0”（注意不是：都不大于0），再调换顺序即可，D选项正确答案：D例2：命题“存在2,20xZxxm”的否定是（）A．存在2,20xZxxmB．不存在2,20xZxxmpqp且q真真真真假假假真假假假假-3-C．对任意2,20xZxxmD．对任意2,20xZxxm思路：存在性命题的否定：要将量词变为“任意”，语句对应变化222020xxmxxm，但x所在集合不变。所以变化后的命题为：“对任意2,20xZxxm”答案：D例3：给出下列三个结论（1）若命题p为假命题，命题q为假命题，则命题“pq”为假命题（2）命题“若0xy，则0x或0y”的否命题为“若0xy，则0x或0y”（3）命题“,20xxR”的否定是“,20xxR”，则以上结论正确的个数为（）A.3B.2C.1D.0思路：（1）中要判断pq的真假，则需要判断,pq各自的真值情况，q为假命题，则q为真命题，所以,pq一假一真，pq为真命题，（1）错误（2）“若……，则……”命题的否命题要将条件和结论均要否定，而（2）中对“0x或0y”的否定应该为“0x且0y”，所以（2）错误（3）全称命题的否定，要改变量词和语句，且x的范围不变。而（3）的改写符合要求，所以（3）正确综上只有（3）是正确的答案：C例4：有下列四个命题①“若0xy，则,xy互为相反数”的逆命题②“全等三角形的面积相等”的否命题③“若1q，则220xxq有实根”的逆否命题④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题其中真命题为（）A.①②B.②③C.①③D.③④思路：①中的逆命题为“若,xy互为相反数，则0xy”，为真命题。②中的否命题为“如-4-果两个三角形不是全等三角形，则它们的面积不相等”，为假命题（同底等高即可）。③中若要判断逆否命题的真假，则只需判断原命题即可。1q时，判别式440q，故方程有实根。所以原命题为真命题，进而其逆否命题也为真命题。④中的逆命题为“如果一个三角形三个内角相等，则它为不等边三角形”显然是假命题。综上，①③正确答案：C小炼有话说：在判断四类命题的真假时，如果在写命题或判断真假上不好处理，则可以考虑其对应的逆否命题，然后利用原命题与逆否命题同真同假的特点进行求解例5：下列命题中正确的是（）A.命题“xR，使得210x”的否定是“xR，均有210x”B.命题“若3x，则2230xx”的否命题是“若3x，则2230xx”C.命题“存在四边相等的四边形不是正方形”，该命题是假命题D.命题“若coscosxy，则xy”的逆否命题是真命题思路：分别判断4个选项的情况，A选项命题的否定应为“xR，均有210x”，B选型否命题的形式是正确的，即条件结论均否定。C选项的命题是正确的，菱形即满足条件，D选项由原命题与逆否命题真假相同，从而可判断原命题的真假，原命题是假的，例如终边相同的角余弦值相同，所以逆否命题也为假命题。D错误答案：B例6：如果命题“p且q”是假命题，“q”也是假命题，则（）A.命题“p或q”是假命题B.命题“p或q”是假命题C.命题“p且q”是真命题D.命题“p且q”是真命题思路：涉及到“或”命题与“且”命题的真假，在判断或利用条件时通常先判断每个命题的真假，再根据真值表进行判断。题目中以q为入手点，可得q是真命题，而因为p且q是假命题，所以p只能是假命题。进而p是真命题。由此可判断出各个选项的真假：只有C的判断是正确的答案：C例7：已知命题p：若xy，则xy；命题q：若xy，则22xy，在命题①pq；②pq；③pq；④pq中，真命题是（）A.①③B.①④C.②③D.②④-5-思路：可先判断出,pq的真假，从而确定出复合命题的情况。命题p符合不等式性质，正确，而q命题是错的。所以①是假的，②是真的，③④中，因为p为假，q为真，所以③正确，④不正确。综上可确定选项D正确答案：D例8：下列4个命题中，其中的真命题是（）111:0,,23xxpx21123:0,1,loglogpxxx3121:0,,log2xpxx41311:0,,log32xpxxA.13,ppB.14,ppC.23,ppD.24,pp思路：12,pp为存在性命题，所以只要找到符合条件的x即可。1p可作出11,23xxyy的图像，通过观察发现找不到符合条件的x；2p同样作图可得11230,1,loglogxxx，所以2p正确；3p通过作图可发现图像中有一部分121log2xx，所以3p错误；在4p中，可得当10,3x时，011331111,loglog1223xx，所以1311log2xx，4p正确。综上可得：24,pp正确答案：D小炼有话说：（1）在判断存在性命题与全称命题的真假，可通过找例子（正例或反例）来进行简单的判断，如果找不到合适的例子，则要尝试利用常规方法证明或判定（2）本题考察了指对数比较大小，要选择正确的方法（中间桥梁，函数性质，数形结合）进行处理，例如本题中123,,ppp运用的数形结合，而4p通过选择中间量判断。例9：已知命题200:,10pxRmx，命题2:,10qxRxmx，若pq为假命题，则实数m的取值范围是（）A.22mB.2m或2mC.2mD.2m思路：因为pq为假命题，所以可得,pq均为假命题。则,pq为真命题。22:,10;:,10pxRmxqxRxmx。解决这两个不等式能成立与恒成立问-6-题即可。解：pq为假命题,pq均为假命题22:,10;:,10pxRmxqxRxmx,pq为真命题对于2:,10pxRmx22110mxmx当xR时，210x0m对于2:,10qxRxmx，设21fxxmx，由图像可知：若q成立，则240m，解得：2m或2m所以综上所述：2m小炼有话说：因为我们平日做题都是以真命题为前提处理，所以在逻辑中遇到已知条件是假命题时，可以考虑先写出命题的否定，根据真值表得到命题的否定为真，从而就转化为熟悉的形式以便于求解例10：设命题:p函数22lg4fxxxa的定义域为R；命题:1,1qm，不等式22538aam恒成立，如果命题“pq”为真命题，且“pq”为假命题，求实数a的取值范围思路：由“pq”为真命题可得,pq至少有一个为真，由“pq”为假命题可得,pq至少有一个为假。两种情况同时存在时，只能说明,pq是一真一假。所以分为p假q真与p真q假进行讨论即可解：命题“pq”为真命题，且“pq”为假命题,pq一真一假若p假q真，则:p函数22lg4fxxxa的定义域不为R2164022aa22:538qaam恒成立22max5383aam-7-25601aaa或6a21a若p真q假，则:p函数22lg4fxxxa的定义域为R216402aa或2a:1,1qm，不等式22538aam22max5383aam解得16a26a综上所述：2,12,6a三、近年模拟题题目精选：1、（2014河南高三模拟，9）已知命题:,ln20pxRxx，命题2:,2xqxRx，则下列命题中为真命题的是（）A.pqB.pqC.pqD.pq2、（2014，岳阳一中，3）下列有关命题的叙述:①若pq为真命题，则pq为真命题②“5x”是“2450xx”的充分不必要条件③命题:pxR，使得210xx，则:pxR，使得210xx④命题：“若2320xx，则1x或2x”的逆否命题为：“若1x或2x，则2320xx”其中错误命题的个数为（）A．1B．2C．3D．43、（2014成都七中三月模拟，4）已知命题:,2xpxRxe，命题2:,log(1)0aqaRa，则（）A.命题pq是假命题B.命题pq是真命题C.命题pq是假命题D.命题pq是真命题4、（2014新津中学三月月考，6）已知命题“xR，使得212102xax”是假命-8-题，则实数a的取值范围是（）A.,1B.3,C.1,3D.3,15、（2014新课标全国卷I）不等式组：124xyxy的解集记为D，有下面四个命题：1:,,22pxyDxy2:,,22pxyDxy3:,,23pxyDxy4:,,21pxyDxy其中真命题是（）A.23,ppB.12,ppC.14,ppD.13,pp习题答案：1、答案：C-9-解析：分别判断,pq真假，令ln2fxxx，可得120ff由零点存在性定理可知1,2x，使得ln20fxxx，p为真；通过作图可判断出