等差数列前n项和性质及应用

等差数列的前n项和公式:2)1nnaanS（dnnnaSn2)11（形式1:形式2:复习回顾1nnn(aa)2s1n(n1)nad21anan1an1an1)d（①前100个自然数的和：1+2+3+…+100=；②前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)=；③前n个偶数的和：2+4+6+…+2n=.思考题：如何求下列和？5050n2n(n+1)1.将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？2)1(1dnnnaSn当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数21()22nddSnan则Sn=An2+Bn令1,22ddABa㈡【说明】①推导等差数列的前n项和公式的方法叫；②等差数列的前n项和公式类同于；③{an}为等差数列，这是一个关于的没有的“”倒序相加法梯形的面积公式Sn=an2+bnn常数项二次函数（注意a还可以是0）例1已知数列{an}中Sn=2n2+3n，求证：{an}是等差数列.例1、若等差数列{an}前4项和是2，前9项和是－6，求其前n项和的公式。，dada89219634214211解之得：15715181da解：设首项为a1，公差为d，则有：∴。n3043n307)157(1)n(n21n1518S2n设Sn=an2+bn，依题意得：S4=2,S9=－6,,99644222baba即解之得：,3043307ban。nSn30433072另解：等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得11313321113111022dd∴d=－2113(1)(2)2nSnnn214nn2(7)49n∴当n=7时,Sn取最大值49.等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－20∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为31172n7n113Sn等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由100nnaa得152132nn∴a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－20,a1=130∴a70,a80例1的变式题二：等差数列{an}的首项a10,前n项和为Sn，Sm=Sl,问:n为何值时，Sn最大？例1的变式题一：等差数列{an}中，首项a1０，S3=S11，问：这个数列的前几项的和最大？例2：已知数列{an}是等差数列，且a1=21，公差d=－2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。的前n项和为,②当n为何值时，最大，①数列的通项公式nsnansna已知求：例3设等差数列0,24113sa求等差数列前n项的最大(小)的方法方法1:由利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.21()22nddSnan方法2:利用an的符号①当a10,d0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a10,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥0求得.练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为()A.12B.13C.12或13D.14C2.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也成等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=n2d0-(m+p)性质4:为等差数列.{}nSn两等差数列前n项和与通项的关系性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则nnab2121nnST例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90BA3.等差数列{an}前n项和的性质的应用例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为.－110例4.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且71427nnSnTn求和.55abnnab556463ab146823nnanbn等差数列{an}前n项和的性质的应用例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为.例6.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.例7.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=.510153等差数列{an}前n项和的性质的应用例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130.(1)求公差d的取值范围;(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d013a1+13×6d02437d等差数列{an}前n项和的性质(2)∵11(1)2nSnannd1(122)(1)2ndnnd25(12)22ddnn∴Sn图象的对称轴为5122nd由(1)知2437d由上得51213622d1362n即由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.∴Sn有最大值.练习1已知等差数列25,21,19,…的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.练习2:求集合的元素个数，并求这些元素的和.}60,,12{mNnnmmM练习3：已知在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使Sn0的最小的正整数n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值1.根据等差数列前n项和，求通项公式.1112nnnanaSSn2、结合二次函数图象和性质求的最值.ndandSn)2(2123、设等差数列{an}的前ｎ项和为Sn，已知a3=12,S120,S130。(1)求公差d的取值范围;(2)指出S1,S2,…,S12中哪个值最大，作业：1:等差数列{an}的前ｎ项和Sn满足S5=95,S8=200,求Sn。2:若数列{an}的前ｎ项和Sn满足Sn=an2+bn,试判断{an}是否是等差数列。baba86420052595设Sn=an2+bn,则有：。解之得：，92ba∴Sn=3n2+n。1、2、是。简单提示：利用公式：)2()1(111nSSanSannn3、（1），（2）S6最大。3724d