三角形内角和定理设计

三角形的内角知识回顾想一想三角形的三个内角和是多少?把三个角拼在一起试试看有什么办法可以验证呢?知识回顾三角形的三个内角和等于180°结论对任意三角形都成立吗？验证：三角形的三个内角和是180°图1图2图3ABCCBAABBCCBAB结论：三角形的内角和等于1800.证明：过点A作EF∥BC则∠B=∠2（两直线平行,内错角相等）同理∠C=∠1因为∠2+∠1+∠BAC=1800（平角定义）所以∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）已知：△ABC.ABCEF求证：∠A+∠B+∠C=180°结论：三角形的内角和等于1800.所以∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）已知：△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°ABCL证明：过A作AE∥BC，则∠B=∠1(两直线平行,内错角相等)因为∠1+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)定理：三角形的三个内角和是180°一个三角形中能有两个直角吗？一个三角形中能有两个钝角吗？三个内角都能小于600吗？讨论结论：三角形的内角和等于1800.ABCL想一想问题：有什么方法可以得到１８０°１．平角的度数是１８０°２．两直线平行，同旁内角的和是１８０°从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?问题1已知：如图，△ABC．证明三角形三个内角的和等于180°.CBA求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明思路：利用化归思想构造180°．证明步骤：1、画图、写出已知、求证；2、题设（已知）→结论（求证）．推出解题经验：平行线具有等角转换功能．21EDCBA三角形的内角和等于1800.已知：△ABC求证：∠B+∠A+∠BCA=180°证法1证明：延长BC到D，过C作CE∥BA，∴∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°21EDCBA三角形的内角和等于1800.已知：△ABC求证：∠B+∠A+∠BCA=180°证法2证明：过A作EF∥BC，∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等)∠C=∠1(两直线平行,内错角相等)又∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°F21ECBA三角形的内角和等于1800.已知：△ABC求证：∠B+∠A+∠BCA=180°证法3证明：过A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE(两直线平行,内错角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°CBEA三角形的内角和等于1800.已知：△ABC求证：∠B+∠A+∠BCA=180°证法4三角形内角和定理:三角形内角和等于180°.证明:过⊿ABC的两个锐角作BC的垂线BD和CE,过点A作BD的平行线AF.由图可知BD∥AF∥CE.∴∠BAF=∠ABD∠ECA=∠FAC(两条直线平行,内错角相等.)∴⊿ABC的三个内角∠A+∠B+∠C=∠ABC+∠ACB+∠BAF+∠FAC==∠DBA+∠ABC+∠ACB+∠ACE=90°+90°=180°ABCEFD方法四“行家”看“门道”根据下面的图形,写出相应的证明.试一试☞你还能想出其它证法吗?(1)ABCPQRTSN(3)ABCPQRMTSN(2)ABCPQRM思路总结为了证明三个角的和为180°,利用逆向思考的方法,把问题转化为一个平角,同旁内角互补,或者两个直角之和,或者其它方法.这种转化思想是数学中的常用方法.在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。思路总结为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.三角形内角和定理:三角形的内角和等于1800.1、填空(1)在△ABC中，∠A=30°∠B=500，则∠C＝＿＿＿＿。(2)在△ABC中，∠C=90°∠B=500，则∠A＝＿＿＿＿。(3)在△ABC中,∠A=400，∠A=2∠B，则∠C＝＿＿＿＿。(4)在△ABC中,∠A等于直角的一半，∠B等于直角的，则∠C＝＿＿。32活动1：比一比，赛一赛你真行！看哪一组做得又对又快！2、如图，在△ABC中,∠ABC=70°,∠C=65°,BD⊥AC于D，求∠ABD,∠CBD的度数。BCAD活动2：学会应用例1：在△ABC中，∠A:∠B:∠C＝1:2:3，求∠ABC的度数。解：∵∠A:∠B:∠C＝1:2:3，∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A又∠A+∠B+∠C＝1800∴∠A+2∠A+3∠A＝1800∴∠A＝300，∠B＝600，∠C＝900。求出下列图中x的值:x°x°x°x=60比比谁最快x°x°x=452x°x°┐x°150°x=30x=60•1、一个三角形最多有个直角，最多有个钝角。•2、在△ABC中，若∠A+∠B=2∠C，则∠C=。•3、若一个三角形的三个内角之比为2：3：4，则•这三个内角的度数为。•4、如图：∠α=。11600400，600，800280480320α440我是最棒的例2：如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？北ABC北5040DE解：∠CAB=∠DAB－∠DAC=800－500=300∵AD∥BE∴∠DAB+∠ABE=180°(两直线平行，同旁内角互补）∴∠ABE=1800－∠BAD=1800－800=1000，∴∠ABC=∠ABE－∠EBC=1000－400=600。在△ABC中,∠ACB=1800－∠ABC－∠CAB=1800－600－300=900答：从C岛看A.B两岛的俯角∠ACB是90°。动动脑：还有其他的解法吗？400500F400500活动3：指导实践1、一块模板如图所示，按规定AF、DE的延长线相交成850角，因交点不在板上，不便测量，工人师傅连结AD，测得∠FAD=340，ADE=630，这时就知道AF、DE的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？ABCDEF(1)三角形内角和定理实践探究及其运用。回顾与小结本节课里你学到了什么？？？(2)学好数学方法及信心。必要：教材第3、4题。课后再探索1、一个三角形最多有几个直角？为什么？2、一个三角形最多有几个钝角？为什么？3、一个三角形最多有几个锐角？最少有几个锐角？4、你能否利用三角形的内角和，求出四边形、五边形的内角和？如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？北北DECAB解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°．50°80°40°？由AD∥BE，可得∠BAD＋∠ABE＝180°．所以∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°．在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°．答：从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.还有其他方法解决这个问题吗？考考自己?1:在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,求∠C的度数。解：在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°∴∠B+∠C=100°∵∠B=∠C∴∠B=∠C=50°ABC考考自己?2:已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x.列出方程x+3x+5x=180°x=20°答：三个内角度数分别为20°,60°,100°。说说你的收获1、三角形的内角和为18002、应用三角形内角和求角及检验合格性3、认识了辅助线及其作用4、数学中的转化思想20°130°45°练习1.如图所示，求1的度数？练习2.如图，求A1+A2+A3+A4+A5的度数。A2A1A5A3A421已知：三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x,x+3x+5x=180°解得x=20°所以三个内角度数分别为20°,60°,100°。由三角形内角和为180°得求出下列图中x的值:xxxx=600比比谁最快xxx=4502xx┐x=3003、如图，直线AB∥CD,在AB、CD外有一点P，连结PB、PD，交CD于E点。则∠B、∠D、∠P之间是否存在一定的大小关系？随堂练习☞ABCPDE他们是怎样的，并加以证明？证明：因为AB∥CD12所以∠1+∠B=1800(两直线平行，同旁内角互补）因为∠2+∠P+∠D=1800（三角形内角和定理）∠1=∠2（对顶角相等）所以∠B=∠P+∠D(等量代换）（1）在△ABC中,∠A=35°,∠B=43°，则∠C=.（2）在△ABC中,∠C=90°,∠B=50°,则∠A=＿＿＿＿。（3）在△ABC中,∠A=40°,∠A=2∠B，则∠C=＿＿＿＿。10204001200你真棒！练习2.如图，求A1+A2+A3+A4+A5的度数。A2A1A5A3A421拓广探究回顾与小结本节课里你学到了什么？？？1、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于180°2、通过思考、去探究、去总结三角形内角和的定理，并且发现要证明三角形三个内角的和等于180°需转化为：平角或两直线平行同旁内角和等于180°。3、三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角。在这里，为了证明的需要，在原来的图形上自己加上的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。注意要说明所加辅助线的位置、名称和性质。思路总结：为了证明三角形三个内角的和为180°,通常应用转化思想。转化为：平角或两直线平行，同旁内角互补三角形内角和定理三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1800.△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:∠A=1800–(∠B+∠C).∠B=1800–(∠A+∠C).∠C=1800–(∠A+∠B).∠A+∠B=1800-∠C.∠B+∠C=1800-∠A.∠A+∠C=1800-∠B.这里的结论,以后可以直接运用.三种语言☞ABC证明：在△ABC中∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形内角和定理）∠C=90゜（已知）∴∠A+∠B+90゜=180゜（等量代换）∴∠A+∠B=180゜－90゜=90゜（等式性质）即∠A+∠B=90゜ABC已知：在△ABC中，∠C＝90゜求证：∠A＋∠B＝90゜随堂练习☞想一想１．平角的度数是180°２．两直线平行，同旁内角的和是180°从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗?3.邻补角的和是180°问题：有什么方法可以得到180°CBA三角形的内角和等于1800.已知△ＡＢＣ，求证：∠A+∠B+∠C=180°证法１：过A作EF∥BA，∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等)∠C=∠1(两直线平行,内错角相等)又∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°F21ECBA三角形的内角和等于1800.证法２：延长BC到D，过C作CE∥BA，∴∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°21EDCBA三角形的内角和等于1800.证法3：过A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE(两直线平行,内错角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°CBEA三角形的内角和等于1800.在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。思路总结为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法。2、△ABC中，∠A=40°，∠B－∠C=30°，求∠A、∠B、∠C1、以下面的九个角的度数为三角形的内角，组三个三角形，看谁组合得快？120°40°90°55°70°60°35°20°50练习（1）回忆之前学过哪些与180°有关的结论？（2）平行线有什么性