吴赣昌编_概率论与数理统计_第2章

第二章随机变量及其分布随机变量离散型随机变量随机变量的分布函数连续型随机变量随机变量的函数的分布在第一章中，我们用样本空间的子集，即样本点的集合来表示随机试验的各种结果，这种表示方式对全面讨论随机试验的统计规律性及数学工具的运用都有较大的局限。在本章中，我们将用实数来表示随机试验的各种结果(数量化)，即引入随机变量的概念。这样，不仅可以更全面揭示随机试验的客观存在的统计规律性，而且可使我们用（数学分析）微积分的方法来讨论随机试验。在随机试验中，如果把试验中观察的对象与实数对应起来，即建立对应关系X，使其对试验的每个结果，都有一个实数X()与之对应，试验的结果实数X()对应关系X则X的取值随着试验的重复而不同，X是一个变量，且在每次试验中，究竟取什么值事先无法预知，也就是说X是一个随机取值的变量。由此，我们很自然地称X为随机变量。§2.1随机变量定义1设E是一个随机试验，S是试验E的样本空间，如果对于S中的每一个样本点，有一实数X()与之对应，这个定义在S上的实值函数X()就称为随机变量。由定义可知，随机变量X()是以样本空间S为定义域的一个单值实值函数。有关随机变量定义的几点说明：(1)随机变量X不是自变量的函数而是样本点的函数，常用大写字母X、Y、Z或小写希腊字母、、等表示。(2)随机变量X随着试验结果而取不同的值，因而在试验结束之前，只知道其可能的取值范围，而事先不能预知它取什么值，对任意实数区间(a,b)，“aXb”的概率是确定的；(3)随机变量X()的值域即为其一切可能取值的全体构成的集合；(4)引入随机变量后，就可以用随机变量描述事件，而且事件的讨论，可以纳入随机变量的讨论中。例2.1一批产品中任意抽取20件作质量检验，作为检验结果的合格品的件数用X表示，则X是随机变量。X的一切可能取值为0，1，2，…，20{X=0}表示事件“抽检的20件产品中没有合格品”；{X=1}表示事件“抽检的20件产品中恰有1件合格品”；……{X=k}表示事件“抽检的20件产品中恰有k件合格品”。例2.4一个地铁车站，每隔5分钟有一列地铁通过该站。一位乘客不知列车通过该站的时间，他在一个任意时刻到达该站，则他候车的时间X是一个随机变量，而且X的取值范围是[0，5]练习引入适当的随机变量描述下列事件：①将3个球随机地放入三个格子中，事件A={有1个空格}，事件B={有2个空格}，事件C={全有球}。②进行5次试验，事件D={试验成功一次}，事件F={试验至少成功一次}，事件G={至多成功3次}关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容．这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量．也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念．同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量奇异型（混合型）连续型非离散型离散型随机变量随机变量的分类：随机变量§2.2离散型随机变量及其概率分布一、离散型随机变量及其分布律1、离散型随机变量的概念若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可数无穷多个，则称这个随机变量为离散型随机变量。讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性，要知道离散型随机变量X的统计规律必须且只须知道X的所有可能取值以及X取每一个可能值的概率。2、分布律定义1设离散型随机变量X，其所有可能取值为x1,x2,…,xk,…,且取这些值的概率依次为p1,p2,…,pk,…,即则称P(X=xk)=pk(k=1,2,…)为随机变量X的概率分布律或称分布律，也称概率函数。分布律可用表格形式表示为：11)(kkkkpxXP1P(X=xk)=pk,(k=1,2,…)而且满足（1）P(X=xk)=pk≥0，(k=1,2,…)（2）Xx1x2x3…xk…Pp1p2p3…pk…#概率分布1、写出可能取值－－即写出了样本点2、写出相应的概率－－即写出了每一个样本点出现的概率32335{},0,1,2kkCCPXkkC＝＝例2.5设袋中有5只球，其中有2只白球，3只黑球。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。解X=k的所有可能取值为0，1，2X是一个随机变量5{0}(1)PXp{1}PX55{}(1)0,1,...,5kkkPXkCppk{2}PX3225)1(ppC解设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5则A1,A2，…，A5相互独立，且P(Ai)=p,i=1,2,…,5。SX={0,1,2,3,4,5},例2.6某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。4)1(5pp例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为p，0p1，以X表示首次停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。1(0)()PXPAp；12(1)()(1)PXPAApp；2123(2)()(1)PXPAAApp；3123(3)()(1)PXPAAAp；pX0123pp(1-p)(1-p)2p(1-p)3解：二、几个常用的离散型随机变量的概率分布律1、两点分布定义2若一个随机变量X只有两个可能取值，且其分布为：P{X=x1}=p,P{X=x2}=1-p，(0p1)则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布。特别地，若X服从x1=1,x2=0处参数为p的两点分布，即X10Pp1-p则称X服从参数为p的0-1分布,即随机变量只可能取0，1两个值，且P(X=1)=p，P(X=0)=1-p，(0p1)。若某个随机试验的结果只有两个，如产品是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现正面等等，它们的样本空间为S={e1,e2},我们总能定义一个服从0-1分布的随机变量发生时当发生时当2101eeX即它们都可用0-1分布来描述，只不过对不同的问题参数p的值不同而已。2、二项分布(1)伯努利(Bernoulli)试验模型（P27）设随机试验满足：1°在相同条件下进行n次重复试验；2°每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；3°在每次试验中，A发生的概率均一样，即P(A)=p；4°各次试验是相互独立的，则称这种试验为伯努利概型或n重伯努利试验。在n重伯努利试验中，人们感兴趣的是事件A发生的次数。以随机变量X表示n次试验中A发生的次数，X可能取值为0,1,2,3,…,n。设每次试验中A发生的概率为p，发生的概率为1-p=q。A{X=k}表示事件“n重贝努里试验中A出现k次”，即,0,1,2,,kknknP{Xk}Cpqkn此为n重贝努里试验中A出现k次的概率计算公式，记为)-1(;,;pqnkqpCpnkBknkkn,,2,1,0,)(（2）二项分布定义若随机变量X具有概率分布律{},0,1,2,,kknknPXkCp(1-p)kn则称X服从参数为n，p的二项分布，记为X~B(n,p)。可以证明：{}0,1,2,,0,kknknPXkCp(1-p)kn{}((1)1p00nnkknknnkkPXkCp(1-p)p)kknknCp(1-p)正好是二项式(p+(1-p))n展开式的一般项，故称二项分布。特别地，当n=1时P{X=k}=pk(1-p)1-k(k=0,1)即为0-1分布。二项分布的图形特点(P38)：对于固定的n及p，当k增大时，概率P{X=k}先随之增大直至达到最大值，随后单调减少，且(1)当(n+1)p不为整数时，二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值；(2)当(n+1)p为整数时，二项概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值；ppp例2.7设有一大批产品，其次品率为0.002。今从这批产品中随机地抽查100件，试求所得次品件数的概率分布律。解设{X=k}表示事件“100件产品中有k件次品”，则X可能取值为0，1，2，…，100。本题可视作100重贝努里试验中恰有k次发生(k件次品)，X~B(100,0.002)。因此，所求分布律为100100{}0.0020.998,0,1,2,,100kkkPXkCk例2.9从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3。(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律；(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率。解(1)由题意，X~B(6,1/3)，故X的分布律为：6612{}0,1,...,633kkkPXkCk(2){5}{5}{6}PXPXPX729133132316556C例2.10某人独立地射击，设每次射击的命中率为0.02，射击400次，求至少击中目标两次的概率。解每次射击看成一次试验，设击中次数为X，则X~B(400,0.02)，X的分布律为400400{}0.020.98,0,1,2,,400kkkPXkCk所求概率为{2}{2}{3}{400}PXPXPXPX1{0}{1}PXPX997.098.002.040098.01399400例2.10告诉我们两个事实：1°虽然每次射击的命中率很小(0.02)，但射击次数足够大(为400次)，则击中目标至少两次是几乎可以肯定的(概率为0.997)。一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小，但在大量的独立重复试验中，这事件的发生几乎是必然的，也就是说小概率事件在大量独立重复试验中是不可忽视的。2°若射手在400次独立射击中，击中目标的次数不到2次，则P(X2)=1-P(X≥2)≈0.003，即命中目标次数不到两次是一件概率很小的事件，而这事件竟然在一次试验中发生了。则根据实际推断，我们有理由怀疑“每次射击命中率为0.02”是否正确，即可以认为命中率达不到0.02。3、泊松(Poisson)分布若随机变量X所有可能取值为0,1,2,…，且其中0是常数，则称X服从参数为的泊松分布，记为X~P()。{},0,1,2,!kPXkekk泊松分布产生的条件：随机事件流：在随机时刻相继出现的事件所形成的序列。若随机事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件流为泊松流。例如：某网站在一定时间内收到的点击次数；某超市收银台接待的顾客数；某机场降落的飞机数。泊松(Poisson)定理设0，n是正整数，若npn=，则对任一固定的非负整数k，有{}(1),0,1,2,...!kkknknPXkCppekk即当随机变量X~B(n,p)，(n＝0,1,2,…)，且n很大，p很小时，记=np，则ekppCkknnknknn!)1(lim泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布。例2.11某商店出售某种商品，具历史记录分析，每月销售量服从参数=5的泊松分布。问在月初进货时，要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率充分满足顾客的需要？解用X表示每月销量，则X~P()=P(5)。由题意，要求k，使得P{X≤k}≥0.999，即5005{}0.999!ikkiiPXiei这里的计算通过查Poisson分布表(p.292-294)得到，=5125050.09979810.999!iiei135050.9993020.999!iieik=12时,k=13时,k=13即月初进货库存要13件。例2.12设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子