2014年4月高一《 含参数的简单线性规划问题》

含参数的简单的线性规划问题二元一次不等式(组)表示的平面区域例1、(2012·福建高考)若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为（）A．－1B．1C.32D．2解:如图所示：约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，表示的可行域如阴影部分所示．当直线x＝m从如图所示的实线位置运动到过A点的位置时，m取最大值．解方程组x＋y－3＝0，y＝2x，得A点坐标为(1,2)，故m的最大值是1.答案:B2、已知关于x，y的不等式组0≤x≤2，x＋y－2≥0，kx－y＋2≥0，所表示的平面区域的面积为4，则k的值为()A．1B．－3C．1或－3D．0解：其中平面区域kx－y＋2≥0是含有坐标原点的半平面．直线kx－y＋2＝0又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解．平面区域如图所示，根据区域面积为4，得A(2,4)，代入直线方程，得k＝1.答案：A目标函数最值问题分析(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．(2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数．(3)对目标函数不是一次函数的问题，常考虑目标函数的几何意义，如①x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)之间的距离；x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离．②yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求代数问题转化为几何问题．已知目标函数的最值求待定系数例3、已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2,若目标函数z=ax+y(其中a0)仅在点(3,1)处取得最大值,求a的取值范围.分析:先画出可行域,利用数形结合求解.解:由约束条件画出可行域,如图所示.点C的坐标为(3,1),z最大时,即平移y=-ax时使直线在y轴上的截距最大,∴y=-ax的斜率要小于直线CD:x+y-4=0的斜率.即-akCD,即-a-1,∴a1.规律技巧这是一道线性规划的逆向思维问题,解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得,运用数形结合的思想方法求解.同时,要注意边界直线斜率与目标函数斜率关系.4、已知实数x，y满足x－y＋6≥0，x＋y≥0，x≤3，若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围为________．解：作出x，y满足的可行域，如图中阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值，又kBC＝－1，kAB＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.答案：[－1,1]5、给出平面可行域(如下图),若使目标函数z=ax+y取最大值的最优解有无穷多个,则a=()135...4.453ABCD答案:B5233:,ya,.xz165AC,5.aa解析由题意知当直线与直线重合时最优解有无穷多个3:x,yz2,2,03,yax5,3,a.xyxyy≥变式训练已知变量满足约束条件≤≤≤若目标函数仅在点处取得最小值求实数的取值范围解:画出可行域,如图所示.由z=y-ax得y=ax+z,则z为直线y=ax+z在y轴上的截距,由于函数z=y-ax仅在点(5,3)处取得最小值,如图所示,直线y=ax+z过点P(5,3),且直线y=ax+z的斜率a大于直线x-y=2的斜率,所以a1.x09.(2009)x3437343....3734y43xy4ykx,kABCD≥安徽若不等式组≥所表示的平面区域被直线≤分为面积相等的两部分则的值是答案:A44,)33:,,ykxC(0,ABD,D(,k157,).223解析由题目所给的不等式组可知其表示的平面区域如右图所示这里直线过定点因此只需要经过线段的中点即可此时点的坐标为代入即可解得的值为1．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2，y≤2，x≤2y给定，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM·OA的最大值为()A．3B．4C．32D．42解：区域D如图所示：设M(x，y)，则z＝OM·OA＝(x，y)·(2，1)＝2x＋y.要求目标函数z＝2x＋y的最大值即求直线y＝－2x＋z在y轴上截距的最大值，画l0：y＝－2x，由图知过直线y＝2与直线x＝2的交点M(2，2)时，z取得最大值为zmax＝2×2＋2＝4.答案：B2．设不等式组x＋y－11≥0，3x－y＋3≥0，5x－3y＋9≤0表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是()A．(1,3]B．[2,3]C．(1,2]D．[3，＋∞)解：平面区域D如图所示．要使指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，所以1＜a≤3.答案：A3、设m1，在约束条件y≥x，y≤mx，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围是()．A．(1,1＋2)B．(1＋2，＋∞)C．(1,3)D．(3，＋∞)错解:变形目标函数为y＝－1mx＋zm.作不等式组y≥x，y≤mxm1，x＋y≤1表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)．当直线l：y＝－1mx＋zm过点B时，在y轴上的截距最大，目标函数取最大值．由y＝x，x＋y＝1.得交点B12，12.因此z＝x＋my的最大值zmax＝12＋m2.依题意，12＋m22(m1)，得1m3.故实数m的取值范围是(1,3)．错解答案:C错因分析：(1)忽视条件m1，没能准确判定直线l的斜率范围，导致错求最优解，从而错得实数m的取值范围．(2)本题易出现不能正确画出可行域或错认为直线l过原点时，z取得最大值的错误．正解:变形目标函数为y＝－1mx＋zm.作不等式组y≥x，y≤mxm1，x＋y≤1表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)．∵m1，∴－1－1m0.因此当直线l：y＝－1mx＋zm在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A处，直线l的截距最大．由y＝mx，x＋y＝1，得交点A11＋m，m1＋m.因此z＝x＋my的最大值zmax＝11＋m＋m21＋m.依题意11＋m＋m21＋m2，即m2－2m－10，解得1－2m1＋2，故实数m的取值范围是(1,1＋2)．答案：A品味高考1．(2012·福建卷)若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为()A.B．1C.D．2x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，1232解：x＋y－3＝0与y＝2x的交点为(1,2)，结合图形观察可知，只有m≤1才能符合条件．故选B.答案：B思路点拨:找目标函数取得最小值的条件，代入直线y＝a(x－3)可求出a值．(2013·课标全国Ⅱ)已知a0，x，y满足约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥ax－3，若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于()．A.14B.12C．1D．2解:作出约束条件表示的可行域如图所示，是△ABC的内部及边界．由目标函数，得y＝－2x＋z，当直线l：y＝－2x＋z过点B(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1.∴2－2a＝1，则a＝12.答案:B【变式训练2】(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x－y－2≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()．A．2B．1C．－13D．－12解:已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值为－13.答案:C(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知a0，x，y满足约束条件x≥1x＋y≤3y≥ax－3，若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()A.14B.12C．1D．2B解：由a0，y＝a(x－3)恒过点(3,0)，画出约束条件所表示的可行域，如图阴影部分所示，由图可知当直线z＝2x＋y过点A时取得最小值．由x＝1y＝ax－3，得A点的坐标为(1，－2a)，所以2×1＋(－2a)＝1，解得a＝12.