向量运算法则

1/7（1）实数与向量的运算法则：设、为实数，则有：1）结合律：aa)()(。2）分配律：aa)(，baba)(。（2）向量的数量积运算法则：1）abba。2）)()()(babababa。3）cbcacba)(。（3）平面向量的基本定理。21,ee是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a，有且仅有一对实数21,，满足2211eea。（4）a与b的数量积的计算公式及几何意义：cos||||baba，数量积ba等于a的长度||a与b在a的方向上的投影cos||b的乘积。（5）平面向量的运算法则。1）设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，则a+b＝1212(,)xxyy。2）设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，则a-b＝1212(,)xxyy。3）设点A11(,)xy，B22(,)xy，则2121(,)ABOBOAxxyy。4）设a＝(,),xyR，则a＝(,)xy。5）设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，则ab＝1212()xxyy。（6）两向量的夹角公式：121222221122cosxxyyxyxy（a＝11(,)xy，b＝22(,)xy）。（7）平面两点间的距离公式：,ABd＝||ABABAB222121()()xxyy（A11(,)xy，B22(,)xy）。（8）向量的平行与垂直：设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，且b0，则有：1）a||bb＝a12210xyxy。2）ab（a0）a·b＝012120xxyy。（9）线段的定比分公式：设111(,)Pxy，222(,)Pxy，(,)Pxy是线段12PP的分点，是实数，且12PPPP，则2/7121211xxxyyy121OPOPOP12(1)OPtOPtOP（11t）。（10）三角形的重心公式：△ABC三个顶点的坐标分别为11(,)Axy、22(,)Bxy、33(,)Cxy，则△ABC的重心的坐标为123123(,)33xxxyyyG。（11）平移公式：''''xxhxxhyykyyk''OPOPPP。（12）关于向量平移的结论。1）点(,)Pxy按向量a＝(,)hk平移后得到点'(,)Pxhyk。2）函数()yfx的图像C按向量a＝(,)hk平移后得到图像'C:()yfxhk。3）图像'C按向量a＝(,)hk平移后得到图像C:()yfx，则'C为()yfxhk。4）曲线C:(,)0fxy按向量a＝(,)hk平移后得到图像'C:(,)0fxhyk。3/7设a=（x，y），b=(x'，y')。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。向量的加法OB+OA=OC。a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。[1]2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被向量的减法减”a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').如图：c=a-b以b的结束为起点，a的结束为终点。4/73、向量的数乘实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。当λ0时，λa与a同方向当λ0时，λa与a反方向；向量的数乘当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当λ1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ0）或反方向（λ0）上伸长为原来的∣λ∣倍当λ1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ0）或××反方向（λ0）上缩短为原来的∣λ∣倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。[2]4、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π5/7定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉（依定义有：cos〈a，b〉=a·b/|a|·|b|）；若a、b共线，则a·b=±∣a∣∣b∣。向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。a⊥b〈=〉a·b=0。|a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα|因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）向量的数量积与实数运算的主要不同点1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。2．向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。3．|a·b|与|a|·|b|不等价4．由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。5、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积向量的几何表示（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则a×b=0。6/7向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。a×a=0。a垂直b〈=〉a×b=0向量的向量积运算律a×b=-b×a（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）a×（b+c）=a×b+a×c.注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。6、三向量的混合积定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，向量的混合积所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c混合积具有下列性质：1．三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）2．上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=03．(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)4．(a×b)·c=a·(b×c)7/77.例题正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连，L是EH中点，求证LB⊥GK？设AE=a﹙向量﹚,AG=a',AD=c,AB=c',CH=b,CK=b'有aa'=bb'=cc'=0,a2=a'2,b2=b'2,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac',bc=b'c'.b'c=-bc'﹙*﹚FH=-a+c+c'+bLB=FH/2-b-c=﹙-a-c+c'-b﹚/2,GK=-a'+c'+c+b'从﹙*﹚：﹙-a-c+c'-b﹚·﹙-a'+c'+c+b'﹚=……=0.∴LB⊥GK8、三向量二重向量积由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程：二重向量叉乘化简公式及证明