第五章-平稳时间序列模型的建立

第五章平稳时间序列模型的建立第五章平稳时间序列模型的建立第一节平稳时间序列建模步骤第二节ARMA模型的识别第三节ARMA模型的参数估计第四节模型的诊断检验第五节模型的优化第一节平稳时间序列建模步骤假设某个观察值序列通过预处理，可以判定为平稳非白噪声序列，则可对该序列建模。对平稳时间序列建立模型一般要经过以下几步：1.计算序列的样本自相关系数(SACF)和样本偏自相关系数(SPACF)2.模型识别：根据SACF和SPACF的性质，提出一个适当类型的ARMA(p,q)模型进行拟合。3.模型参数估计4.模型的有效性检验5.模型的优选6.模型的应用：如预测。具体如下：平稳时间序列建模步骤平稳非白噪声序列计算样本自（偏）相关系数模型识别参数估计模型检验模型优化序列预测YN第二节平稳时间序列模型的识别一、模型识别前的说明二、模型识别方法一、模型识别前的说明（一）关于非平稳序列模型识别主要依赖于对样本自相关图（SACF）和样本偏自相关图（SPACF）的分析。本章所介绍的是对零均值平稳序列建立ARMA模型，因此，在对实际的序列进行模型识别之前，应首先检验序列是否平稳。若序列非平稳，应先通过适当变换将其化为平稳序列，然后再进行模型识别。序列的非平稳包括均值非平稳和方差非平稳。方差非平稳序列平稳化的方法：对数变换、平方根变换等。在对经济时间序列分析之前往往要先对数据取对数，目的是消除数据中可能存在的异方差。然后再分析其相关图。均值非平稳序列平稳化的方法：差分变换。均值非平稳的序列，可以通过相关图粗略的判断。相关图粗略的判断序列是否平稳。如果一个随机过程是平稳的，其特征方程φ(B)=0的根都应在单位圆外。如果φ(B)=0的根接近单位圆，自相关函数将衰减的很慢。所以在分析相关图时，如果发现其衰减很慢，近似呈线性衰减，即可以认为该序列是非平稳的。差分运算如果时间序列是非平稳的，这时应该对其进行差分运算，同时分析差分序列的相关图，以判断差分序列的平稳性，直至得到一个平稳序列。对于经济时间序列，差分次数通常只取0、1或2。（二）关于非零均值的平稳序列非零均值的平稳序列有两种处理方法：设xt为一非零均值的平稳序列，且有E(xt)=μ方法一:用样本均值作为序列均值μ的估计，建模前先对序列作如下处理：令然后对零均值平稳序列wt建模。xxxwtt方法二：在模型识别阶段对序列均值是否为零不予考虑，而在参数估计阶段，将序列均值作为一个参数加以估计。以一般的ARMA(p,q)为例说明如下：111122,(,),:()()()tttptptttqtqxARMApqxxx设平稳序列的均值为其适应性模型为即将上式展开得：1101122ttptptttqtqxxx此时，所要估计的未知参数有p+q+1个。式中：pp2102101:)1(即有在实际估计模型时，可将θ0看作一个常数估计，若θ0显著不为0，则μ≠0，此时θ0、μ有如上关系。若θ0显著为0，则可认为μ=0，在最终模型中将此常数项去掉即可。一般而言，后一种方法拟合的效果较好。二、模型识别的方法模型识别又称模型定阶，也就是要根据SACF和SPACF表现出来的性质，选择适当的ARMA模型拟合观察值序列。模型识别基本原则选择模型拖尾P阶截尾AR(P)q阶截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)kkˆkˆ模型定阶的困难因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾的或仍会呈现出小值振荡的情况由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随着延迟阶数，与都会衰减至零值附近作小值波动？当或在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，什么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作为相关系数在延迟若干阶之后正常衰减到零值附近作拖尾波动呢？kkˆkkˆkˆkkˆkˆkkˆ样本相关系数的近似分布BarlettQuenouillennNk,)1,0(~ˆnnNkk,)1,0(~ˆ模型定阶经验方法95％的置信区间模型定阶的经验方法如果样本(偏)自相关系数在最初的d阶明显大于两倍标准差范围，而后几乎95％的自相关系数都落在2倍标准差的范围以内，而且通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常突然。这时，通常视为(偏)自相关系数截尾。截尾阶数为d。22ˆPr0.9522ˆPr0.95kkknnnn1.样本自相关函数截尾性的判断方法理论上证明：若序列xt为MA(q)序列，则kq后，序列的样本自相关函数渐近服从正态分布，即：kˆ))ˆ21(1,0(~ˆ12qllknN或近似的有：)1,0(~ˆnNk故由正态分布理论可知：此处n是样本容量。%45.95)2ˆ(%3.68)1ˆ(nPnPkk对于kq，若的个数不超过总个数的31.7%，或的个数不超过总个数的4.5%，就可认为在kq时是截尾的。nk1ˆnk2ˆkˆ在实际进行检验时，可对每个k0，分别检验（通常取）中满足的个数所占的百分比是否超过31.7%，或满足的个数是否超过4.5%。若k=1,2,…q-1都超过了，而k=q时未超过，就可认为在kq时是截尾的。mkkkˆ,,ˆ,ˆ2110nmnm或nk1ˆnk2ˆkˆ2.样本偏自相关函数截尾性的判断方法可以证明：若序列xt为AR(p)序列，则kp后，序列的样本偏自相关函数服从渐近正态分布，即近似的有：此处n表示样本容量。于是可得：kkˆ)1,0(~ˆnNkk%5.4)2ˆ(%7.31)1ˆ(nPnPkkkk在实际进行检验时，可对每个k0，分别检验（通常取）中满足的个数所占的百分比是否超过31.7%，或满足的个数是否超过4.5%。若k=1,2,…p-1都超过了，而k=p时未超过，就可认为在kp时是截尾的。10nmnm或mkmkkkkk,2,21,1ˆ,,ˆ,ˆnkk1ˆnkk2ˆkkˆ3.关于ARMA序列阶数的确定ARMA序列的阶数，直接通过自相关图较难确定，较常用的方法有Pandit-Wu方法(后将介绍)或延伸自相关函数(EACF)法。建立ARMA模型，时间序列的自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）可为识别模型参数p、q提供信息。但用样本得到的只是估计的自相关图（SACF）和偏自相关图（SPACF），通常比真实的ACF和PACF的方差要大，并表现为更高的自相关。在实际中，相关图、偏相关图的特征不会像理论上ACF、PACF那样“规范”，所以应该善于从SACF、SPACF中识别出模型的真实参数p,q。注意：另外，估计的模型形式不是唯一的，所以在模型识别阶段应多选择几种模型形式，以供进一步选择。练习：通过一些相关图和偏相关图来识别模型结构。案例1：1950年——1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列（案例文件prop.wf1），试对该序列进行识别。606570758085909550556065707580859095PROP问题：1.是平稳序列吗？2.是白噪声序列（纯随机序列吗）2.如果平稳，进行模型识别，拟合什么模型合适呢？案例2.1978-2008中国GDP指数序列（1978=100）（案例文件gdpindex.wf1），试对该序列进行识别。04008001,2001,6002,000198019851990199520002005GDP.02.04.06.08.10.12.14.16198019851990199520002005DLNGDPGDP指数的对数差分序列。问题：1.是平稳序列吗？2.是白噪声序列（纯随机序列吗）2.如果平稳，进行模型识别，拟合什么模型合适呢？案例3.美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORTS序列（overshorts.wf1）,试对该序列进行识别。-150-100-50050100150510152025303540455055OVERSHORTS问题：1.是平稳序列吗？2.是白噪声序列（纯随机序列）吗2.进行模型识别，拟合什么模型合适呢？案例4.等时间间隔，连续读取70个某次化学反应的过程数据，构成一时间序列（yield.wf1），试对该序列进行识别。2030405060708010203040506070YIELD问题：1.是平稳序列吗？2.是白噪声序列（纯随机序列吗）2.进行模型识别，拟合什么模型合适呢？第二节ARMA模型参数估计一、引言二、矩估计三、极大似然估计四、最小二乘估计当识别出试探性模型以后，下一步就是估计模型中的参数。我们讨论一般ARMA(p,q)模型的参数估计，qtqttptptttxxxx112211式中：xt是零均值平稳序列；at为白噪声序列。待估计参数p+q+1个，分别是：)()()(222121taqpE一、引言如果xt是非零均值平稳序列，则估计模型为：tpqtBBx)()(则：待估计参数p+q+2个，我们将讨论几种常用的参数估计方法。一、模型参数的矩方法估计tx0ˆkˆ该方法是把样本矩（如样本均值，样本方差，样本ACF）代替相应的理论值，并求解最后的模型参数。（二）AR(p)模型参数的矩估计设序列xt经过模型识别，确定为AR(p)模型。由第五章有如下结论：tptptttxxxx2211pkpkkk2211于是可得如下的Yule-Walk方程：02211202112112011pppppppp用代替，并解上述方程组，就可得：kˆkpppppppppˆˆˆ1ˆˆˆˆˆˆˆ1ˆˆˆˆˆ1ˆˆˆ21113212311122121根据自协方差公式有：22211221120))(()(apptptpttttxxxxExE于是可得到的矩估计：2a)ˆˆˆˆˆˆ1(ˆˆ221102ppa例1，AR(1)模型的矩估计)ˆˆ1(ˆˆˆˆˆ1102011111atttxx则设例2，AR(2)模型参数的矩估计)ˆˆˆˆ1(ˆˆˆ1ˆˆˆˆ1)ˆ1(ˆˆ:ˆˆˆˆˆˆˆˆ,,2211022121222121211221112212211aattttxxx求解得由前推导的一般公式得待估计参数设（三）MA(q)模型参数的矩估计第四章已经推导出MA(q)的自协方差结果，将代替，代替(i=1,2…q),得如下方程组：2,ak2ˆ,ˆakqkkqkqkkaaqk,2,1)ˆˆˆˆˆ(ˆ0ˆ)ˆˆˆ1(ˆ112222221iˆi上式是含有q+1个参数的非线性方程组，解此方程组，即可以求出各参数：方程组可以直接求解，也可以用迭代法求解。qaˆ,ˆ,ˆ,ˆ212例，MA(1)模型参数的矩估计0ˆˆˆˆ:ˆˆ1ˆ:)1()2()2(ˆˆˆ)1()ˆ1(ˆˆ:112111211121212011即得由则由前结论可知设aatttx2ˆ4