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1、复变函数与积分变换自测题1:第一章至第三章1、已知函数f(z)在z0处连续,且f(z0)≠0.求证:存在z0的某个邻域,f(z)在其中处处不为0.2、试将1-cosθ+isinθ化为指数形式。3、计算(3+4i)1+i。4、计算tan(3-i)。(注意:指最后结果需将实部、虚部分离)5、求解方程sinz+icosz=4i。6、已知v(x,y)=epxsiny是调和函数,求实常数p的值,并求对应的复变解析函数f(z)=u+iv。7、已知f(z)=ex[xcosy-ysiny+i(ycosy+xsiny)],求f′(z)。8、已知解析函数f(z)满足,当z≠0时,f′(z)=22xiyxy,求f(z)。9、计算Im()Czdz,其中C:由0到2+i的有向线段。10、计算1Czdz,其中C:1z正向。11、计算cosCzdzz,其中C:1z顺时针方向。12、计算(2Re)Czzdz,其中C:(1,0)沿单位圆的上半周至(-1,0).13、计算22()(1)Cfzzdzz,其中C:1z。已知条件:f(z)在(1)zRR内解析,且f(0)=1,f′(0)=2.由。
2、此再计算220cos()2ifed的值。自测题1答案1、证明:反设题设结论不成立。用数学语言表示:00,(,),..()0zUzstfz。于是由于f(z)在z0处连续(连续必极限存在),及复变函数极限的定义,知f(z0)=0,与题目已知条件矛盾。∴题设结论获证。2、化为指数形式意味着必须标准化,成为ire形式。我们首先计算复数的模。22(1cos)sin22cos(逆用二倍角公式,这一点大家一定要掌握)2sin2(绝对值符号千万表丢了)下面考虑复数的辐角。sincot1cos2(逆用二倍角公式,注意cot0无意义,事实上2k时,原复数为0,辐角不存在,也不需要表示为指数式了)tan()2。因此,只要2k时,原复数就可以表示为下面的指数式:2sin2()2ie。3、遇到这样的问题一定要用最原始的方法进行计算,首先计算4(34)ln5(arctan2)3Lniik,则原式=444(1)ln5(arctan2)ln5arctan2(ln5arctan)333iikkiee。
3、(为什么可以这样?因为21kie)由此可见,我们绝对不能忽略Lnz的多值性,2kπi很重要!4、tan(3-i)=sin(3)sin3coscos3sincos(3)cos3cossin3siniiiiii(和差角公式)2222sin31cos31(sin31cos31)(cos31sin31)cos31sin31cos31sin31chishchishchishchishchsh222222222222sin3cos3(11)11(sin3cos3)cos31sin31sin622(cos31sin31)chshishchchshishchsh(注意恒等式与二倍角公式的巧妙运用)5、这个问题显然不经处理是无法轻易解决的。考虑原方程可化为4iziei,则我们可知-iz=Ln4.从而z=iLn4=iln4-2kπ。6、1,();,1,()zzpfzeorpfze。(想想为什么可以这样快地得到结果?知道前者就可以对偶地将后者设出来啦~)7、解这样的问题,以首先化简f(z)为宜,因为复变函数的求导法则与实函数相同。(),()。
4、(1)zzfzzefzze。(将复变初等函数展开为u、v的形式,要烂熟于心,“挫骨扬灰”都能认出来!)8、方法一(强烈推荐!解析函数法)11(),()fzfzLnzCxiyz,其中z≠0,C为任意复常数。方法二:首先利用已知条件求得,uvxx,再利用Cauchy-Riemann条件,通过“偏积分”的方法将u、v求出。(很罗嗦,这里不作演示了)9、利用参数法,本题答案为12i。10、大家可以发现本题的解决依赖于第2题的结论!令ize,则原式=202sin(cossin)2iid(注意:积分上下限的变化、积分变量的变化、被积函数的变化)=83i。11、考虑复变函数的积分是线积分,可以将积分曲线的方程代入表达式,则显然分母被消去,原式=0.12、易见222(1)10Czdz(用原函数法),而ReCzdz(令ize)=0cos(cossin)2iiid,∴原式=2i。13、本题大家要勇于对22()(1)Cfzzdzz拆项计算,利用Cauchy积分公式与一阶导数公式,它等于8πi;因此,运用参数化方法。
5、,220cos()2ifed=2π.复变函数与积分变换自测题2:第四章14、幂级数21(!)nnnnzn的收敛半径是多少?15、在z=0的邻域内将()1zefzz展开成泰勒级数,它的收敛半径是多少?16、判别1nnin的敛散性。17、证明{cos(in)}是无界数列,并判别21cos()ninn的敛散性。18、求22sin()()Cfzdz在z=0处的泰勒展开式,其中C:1正向。19、求2225()(2)(1)zzfzzz在圆环域12z和025z内的洛朗展式。自测题2答案20、本题计算的要点在于极限式的变换,因为复变幂级数与实函数的幂级数,求收敛半径的方法是相同的。答案是0,因为极限式化简至最后形如limnen。21、考虑f(z)的第一个不解析点(指离复平面原点最近的一个)为z=1,则收敛半径就是1.这是课本上一个很重要的结论,因为洛朗级数展开时分圆环域讨论的思想,即由此而来。22、这级数是收敛的。遇到这类问题,第一步一定是将实部虚部剥离,分别判定敛散性。大家可以先写出前几项,继而得出结论:原级数=i0(1)2。
6、1nnn+11(1)2nnn,实部、虚部均收敛。因为它们满足Leibniz准则:通项取绝对值后单调递减且趋于0.这是验证常数项交错级数敛散性,最重要的方法。1(1)ln2nnn,大家还记得吗??23、证明{cos(in)}是无界数列,并判别21cos()ninn的敛散性。普里瓦洛夫(前苏联复变函数论泰斗)是莫斯科大学的教授,一次期末口试(要知道,口试可比笔试难多了,无论是从教师还是从学生的角度来说),有一个学生刚走进屋子,就被当头棒喝般地问了一句“sinz有界无界?”此人稀里糊涂地回答了一句“有界”,就马上被判不及格,实在是不幸之至。本题实际考查的核心即是sinz、cosz无界,因为当y为实数时,cos(iy)=chy=2yyee。因此,本题不证自明,级数发散。24、解本题的核心是视2()sing,对给定的z用一阶导数公式,则可得f(z)=2πisin2z。这一函数的泰勒展式是十分简单的。25、考虑2225()(2)(1)zzfzzz十分复杂,对于这样的分式多项式函数求洛朗展式,多采用分部分式法。212111()()212fziz。
7、zzzizi,这样一来展式也就十分简单了。复变函数与积分变换自测题3:第五章26、z=1是函数1()cos1fzz的什么奇点?27、求211lim(1)sin(1)zzz。28、设z=a为解析函数f(z)的m级零点,求()Re[,]()fzsafz。29、求1Re[,]sinszz以及1cosRe[,0]sinzszz。30、设(C):22149xy,求11(1)zCzedz。31、求121zCedzz,其中(C):(0,1)zrrr。补充列出第四、五章作业题中很重要的一些题:第四章:3、4、9、10、16.第五章:2、5、12、20、50、51、55、(实积分部分)22、24.这些题目不是常规方法能够很好解决的。希望大家复习时加以重视~其中第五章第5题正确答案为A,第51题正确答案为C,校内流传的“参考答案”是错的。第5题考虑z0是f(z)的本性奇点,则0lim()zzfz不存在;从而0lim()zzz也不存在,z0是φ(z)的本性奇点。自测题3答案32、易见将f(z)展开成(z-1)的洛朗级数,有无穷多个负幂项,因。
8、此z=1为f(z)的本性奇点。33、极限不存在,因为z=1为函数的本性奇点(道理同上)。34、令()()()mfzzagz,其中g(a)≠0.那么,1()()()()()Re[,]Re[,]()()()()1Re[,]Re[,]()0mmmfzzagzmzagzsasafzzagzgzsamsagzzamm【注意()()gzgz在z=a点是解析的】35、1Re[,]sinszz(注意z=π是一级极点,用规则1)zz11=limlimsincossinzzzzzz1cosRe[,0]sinzszz(注意z=0是一级极点,用规则1)000cossinlim1limsin1coscos11lim3sinzzzzzzzzzzzzzz这两题考查的都是一级极点用规则1后,连续使用洛必达法则进行变换。但请大家务必注意:洛必达法则在复变函数中,一般都只适用于0/0型的极限!36、考虑积分曲线是一个椭圆,我们令t=z-1,则11(1)zCzedz=1tCtedt,其中C’是C向下做了1个单位的平移变换。
9、。显然,C’仍然只包含被积函数的1个奇点——唯一的奇点——本性奇点0.因此本题结果显然为πi。37、当0r1时,C仅包含被积函数的本性奇点0;r1时,C还包含被积函数的两个一级极点i,-i,即包含了被积函数的一切奇点。因此,我们考虑一种另辟蹊径的方法。r1时,我们转而考虑被积函数在无穷远点的留数,按照公式易求得留数为0;又可按照一级极点的规则1求得,函数在i,-i两点留数之和为-sin1。因此,函数在0点的留数为sin1.∴121zCedzz=2πisin1(当0r1时)或0(当r1时)。当然,被积函数在0点处的留数也一定是可以用常数项级数的“柯西乘法”(实质上是卷积的一种,大家到11月就弄明白啦~)求得的。但是需要花费一些时间。所以考场上大家最好采用转化计算复杂度的方法~。
本文标题:复变函数与积分变换自测题
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