第十章-质点动力学基础

第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础动力学动力学西北工业大学西北工业大学支希哲支希哲朱西平朱西平侯美丽侯美丽质点动力学基础质点动力学基础第一章第一章第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础质点动力学基础质点动力学基础质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系统的基础。质点动力学基本方程给出了质点受力与其运动变化之间的联系。本章根据动力学基本定律得出质点动力学的基本方程，运用微积分方法，求解一个质点的动力学问题。第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础动力学一、动力学的任务是研究物体的机械运动与作用力之间关系的科学。二、动力学的应用动力学的形成与发展是和生产的发展密切联系的，特别是在现代工业与科学技术迅猛发展的今天，对动力学提出了更加复杂的课题。例如：高速转动机械的动力计算、航空航天高技术、动强度分析、机械手、机器人、系统的动力稳定性等都需要动力学理论。绪论第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础动力学质点动力学质点系动力学动力学质点系——一群具有某种联系的质点，刚体可以看成不变形的质点系。质点——是指具有一定质量但可以忽略其尺寸大小的物体。三、动力学的分类绪论第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础§1-1动力学的基本定律§1-2质点运动微分方程§1-3质点动力学基本问题§1-4质点动力学问题的例子第一章质点动力学基础§1-5质点的相对运动动力学动力学目录第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础第一定律惯性定律第二定律力与加速度关系定律第三定律作用与反作用定律§1-1动力学的基本定律第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础质点因受力作用而产生的加速度,其方向与力相同，其大小与力成正比而与质量成反比。§1-1动力学的基本定律第一定律惯性定律质点如不受力作用,则保持其运动状态不变，即作直线匀速运动或者静止。第二定律力与加速度关系定律第一定律说明了任何物体都具有惯性。F=ma第二定律说明了物体机械运动状态的改变，不仅决定于作用于物体的力，而且与物体的惯性有关。(1–1)第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础§1-1动力学的基本定律第三定律作用与反作用定律任何两个物体间相互作用的力,总是大小相等，方向相反,沿同一直线，同时分别作用在这两个物体上。第三定律说明了二物体间相互作用力的关系。第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础§1-1动力学的基本定律2.牛顿第一定律和第二定律不是在任何参考系中皆成立的。1.F=ma该式称为质点动力学基本方程。说说明：明：3.牛顿定律适用的参考系称为基础坐标系。4.惯性参考系——相对于基础参考系作惯性运动的坐标系。5.在惯性参考系中牛顿定律也同样适用。第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础§1-1动力学的基本定律加速度可分为aa，ae，ar，ac，公式F=ma中的a指的是什么加速度。$$思考题第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础矢量形式直角坐标形式自然形式§1-2质点运动微分方程第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础§1-2质点运动微分方程设有可以自由运动的质点M，质量是m，作用力的合力是F，加速度是a。这就是质点运动微分方程的矢量形式。质点运动微分方程的矢量形式。)21(dd22−=FrtmxyzrrMFFaaOO一、矢量形式第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础§1-2质点运动微分方程把上式沿固定直角坐标系Oxyz的各轴投影,得Fx,Fy,Fz是作用力F的合力在各轴上的投影。式(1-3)是直角坐标形式的质点运动微分方程直角坐标形式的质点运动微分方程..)31(dd,dd,dd222222−===zyxFtzmFtymFtxm二、直角坐标形式)21(dd22−=Frtm这就是质点运动微分方程的矢量形式质点运动微分方程的矢量形式xyzrrMFFaaOO第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础如采用自然轴系Mtnb,并把式(1-2)向各轴投影,可得式中式中是加速度a在切线、主法线和副法线正向的投影;Ft,Fn和Fb是合力F在相应轴上的投影。式(1-4)就是自然形式的质点运自然形式的质点运动微分方程动微分方程..)41(0,,ddbn2t22−===FFvmFtsmρ0,ddb2n22t===avatsa和ρ§1-2质点运动微分方程xyzrrMFFaaOOnnttbb三、自然形式)21(dd22−=Frtm这就是质点运动微分方程的矢量形式。质点运动微分方程的矢量形式。第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础质点动力学的第一类问题质点动力学的第二类问题§1-3质点动力学基本问题第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础§1-3质点动力学基本问题质点动力学的两类问题:质点动力学的第二类问题：已知力，求运动。质点动力学的第一类问题：已知运动，求力。●●解决第一类问题，只需根据质点的已知运动规律r=r(t)，通过导数运算，求出加速度，代入(1-1)——(1-4)，即得作用力F。)21(dd22−=Frtmma=F(1-1))41(0,　,ddbn2t22−===FFmFtsmρ)41(0,　,ddbn2t22−===FFmFtsmρzyxFtzmFtymFtxm=−==222222dd)31(dddd第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础§1-3质点动力学基本问题质点动力学的两类问题:质点动力学的第二类问题：已知力，求运动。质点动力学的第一类问题：已知运动，求力。)21(dd22−=Frtmma=F(1-1))41(0,　,ddbn2t22−===FFmFtsmρ)41(0,　,ddbn2t22−===FFmFtsmρzyxFtzmFtymFtxm=−==222222dd)31(dddd●●求解第二类问题，是个积分过程。必须注意：在求解第二类问题时，方程的积分中要出现积分常数，为了完全确定质点的运动,必须根据运动的初始条件定出这些积分常数。第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础§1-3质点动力学基本问题例题1-1设电梯以不变的加速度a上升,求放在电梯地板上重W的物块M对地板的压力。分析物体M，它受重力W和地板反力FN的作用。ma=FN−W注意到m=W/g，则由上式解得地板反力)1(NgaWagWWF+=+=例题例题11--11MMFNaWx根据F=ma可得解:例题1-1第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础§1-3质点动力学基本问题例题例题11--11)1(NgaWagWWF+=+=′上式第一部分称为静压力静压力，第二部分称为附加动压力动压力，FN'称为动压力动压力。令令gan+=1nWF=′则则11..nn＞＞1,1,动压力大于静压力，这种现象称为超重超重。。2.2.nn＜＜11,,动压力小于静压力，这种现象称为失重失重。。所以地板所受的压力为MMFNaWx 讨论第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础磅秤指针如何变化磅秤指针如何变化？？§1-3质点动力学基本问题第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础磅秤指针如何变化磅秤指针如何变化？？§1-3质点动力学基本问题第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础§1-3质点动力学基本问题1.明确研究对象；质点动力学解题步骤：2.进行受力分析，并画出受力图；3.进行运动分析，并画出相应的运动学量，如速度、加速度、角速度、角加速度等；4.选择动力学定理进行分析求解。第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础例题1-2单摆M的摆锤重W,绳长l,悬于固定点O,绳的质量不计。设开始时绳与铅垂线成偏角ϕ0≤π/2,并被无初速释放，求绳中拉力的最大值。§1-3质点动力学基本问题例题1-2第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础摆锤M在绳的约束下只能沿已知圆弧运动，用自然形式的质点用自然形式的运动微分方程求解较方便。任意瞬时，质点的加速度在切向和法向的投影为写出质点的自然形式的运动微分方程22n22t)dd(,ddϕϕϕϕ&&<laltla====)2(cos)1(sinN2ntϕϕϕϕWFlgWmaWlgWma−==−==&&&§1-3质点动力学基本问题OMM0φφ0解:nntt以摆锤M为研究对象。选择如图自然轴系。OMM0φφ0FFNNWWaannaattφφ例题例题11--22第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础考虑到则式(1)化成对上式采用定积分,把初条件作为积分下限，有从而得把式(4)代入式(2)，得绳拉力FN=W(3cosϕ−2cosϕ0)显然，当摆球显然，当摆球MM到达最低位置到达最低位置ϕϕ==00时，有最大值。故时，有最大值。故FNmax=W(3−2cosϕ0)ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕdd21dddddddd2&&&&&&&====ttϕϕϕsindd212lg−=&ϕϕϕϕϕϕd)sin2()(d002∫∫−=lg&&)4()cos(cos202ϕϕϕ−=lg&)2(cos)1(sinN2ϕϕϕϕWFlgWWlgW−=−=&&&§1-3质点动力学基本问题例题例题11--22OMM0φφ0FFNNWWaannaattφφ第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础例题1-3小车载着质量为m物体以加速度a沿着斜坡上行，如果物体不捆扎，也不致于掉下，物体与小车接触面的摩擦系数至少应为多少？aaφ解：取物体为研究对象。mgmgFFNNFFφφaayyxxϕsinmgFma−=ϕcos0NmgF−=ϕcosNmgF=)sin(ϕ+=gamgF解得§1-3质点动力学基本问题例题例题11--33例题1-3第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础ϕcosNmgF=)sin(ϕ+=gamgF要保证物体不下滑，应有NmaxfFFF=≤即即ϕϕcos)sin(fmggamg≤+ϕϕcos)sin(min+=gaf§1-3质点动力学基本问题aaφmgmgFFNNFFφφaayyxx例题例题11--33第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础例题1-4粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在θ=θ0时（如图）才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。θθ00nn§1-3质点动力学基本问题n例题1-4第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础列出质点的运动微分方程在主法线上的投影式θθ视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带着沿圆弧向上运动，当铁球到达某一高度时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。铁球在上升过程中，受到重力mg、筒壁的法向反力FN和切向反力F的作用。θcosN2mgFRvm+=mmggFFNNFF解：铁球在未离开筒壁前的速度，等于筒壁上与其重合点的速度。即RnRv30π==ωn§1-3质点动力学基本问题根据F=ma例题例题11--44第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础解得21N)cos(π30⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=θmgFmRRn当θ=θ0时，铁球将落下，这时FN=0，于是得滚筒转速0cos549.9θRgn=2.当时，，铁球就会紧贴筒壁转过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉碎矿石的作用。Rgn549.9=00=θθθmmggFFNNFF§1-3质点动力学基本问题,cosN2θmgFRvm+=RnRv30π==ω0θ0θ1.显然，越小，要求n越大。 讨论例题例题11--44第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础例题1-5弹簧－质量系统，物块的质量为m，弹簧的刚度系数为k，物块自平衡位置的初始速度为v0。求物块的运动方程。ll00mmkkvv00§1-4质点直线运动微分方程积分的典型例子例题1-5第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础解：这是已知力(弹簧力)求运动规律，故为第二类动力学问题。∑=iixFxm&&kxxm−=&&以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立Ox坐标系，将物块置于任意位置x0处。物块在x方向只受有弹簧力F＝－kxi。根据直角坐标系中的质点运动微分方程xxOmkFFl0m§1-4质点直线运动微分方程积分的典型例子例题例题11--55第一章第一章质点动力学基础质点动力学基础0=kxxm＋&&mkxx==20200ωω,＋&&000,;00,)