高中数学必修四全册专题复习

专题一：三角函数【知识脉络】：第一块：函数性质与图像教学目标：1、正弦、余弦、正切函数的性质，重点掌握[0,2]上的函数的性质；2、定义域、值域，重点能求正切函数的定义域；3、能从图象上认识函数的各类性质，能用自己的语言把函数性质描述清楚，能写出来。4、理解平移与伸缩第二块：同角基本关系和诱导公式同角基本关系就掌握好三个公式：2222sin1sincos1,tan,coscos1tan特别需要说明的是：平方关系中的开方运算，易错！诱导公式的记忆方法很简单，联系两角和与差来记就行！如：333cos()coscossinsinsin222诱导公式的理解上，需从两角终边的位置关系来认识，如：tan()tan中涉及两个角是和，它们的位置是关于原点对称，象限对应关系是一、三或二、四，所以正切符号相同，直接取等号。其它类似。第三块：三角变换和差公式：cos()coscossinsincos()coscossinsinsin()sincoscossinsin()sincoscossintantantan()1tantantantantan()1tantan2222sin22sincoscos2cossin2cos112sin定义函数性质图像定义域值域奇偶性单调性周期对称性形状平移伸缩22tantan21tan注意：（1）、倍半关系是相对的，如：sin2sincos22，sin42sin2cos2，2222cos2cos112sincossin2222等，根据题目的需要来确定倍角还是半角；（2）几个常用的变式：222sin22cos1,cos22cos1,)cos(sin2sin1sin1costan21cossin22cossinsin()axbxabx，其中tan,ab的范围根据需要来确定或22cossincos()axbxabx，其中tanba，的范围根据需要来确定)cos(sin22)4sin(),sin(cos22)4cos(xxxxxx【题型示例】：第一部份“三角函数的图象与性质”熟记定义、定义域、三角值的符号1、若角的终边过点(2,3)(0)Paaa，则下列不等式正确的是（）A、sintan0B、sincos0C、costan0D、sincos02、若角终边上有一点(sin30,cos30)P，则为（其中kZ）A、26kB、23kC、6kD、3k3、若sincos0,costan0，则2位于A、一、三象限B、二、四象限C、一、二象限D、三、四象限4、已知角终边上一点(,2)Px，且2cos4x，则x=5、函数tan(2)4yx的定义域为单调性：求单调区间是重点，三角的单调区间的求法是比较特殊的，掌握好例题所示的方法；另一类题型为比较大小，但都比较简单。【例题1】（1）求函数sin(2)6yx的单调增区间解：由222,262kxkkZ得，,36kxkkZ。所以，函数的单调增区间为：[,],36kkkZ（2）求函数1cos()24yx的单调减区间。（3）求函数tan(2)4yx的单调区间。7、函数sin()6yx的一个减区间是。A、[,0]2B、7[,]63C、3[,]44D、3[,]228、在[0,2)内，使函数2sin1yx有意义的范围是A、5[,]66B、5[0,][,]66C、711[,]66D、711[,][,2]669、172431cos,cos,cos555abc，则A、abcB、abcC、cabD、cba10、若直线的斜率满足：3k，则直线的倾斜角的范围为奇偶性：联系函数图像来理解奇偶性，即图像的对称性。奇函数：sin,tanyxyx，偶函数：cosyx注意变化：如，sin()6yx。图像平移，可能会改变函数的奇偶性，也有可能不发生改变，如函数sin()yx。观察图象，很容易得到正确的结论。11、若函数sin()yx为奇函数，则的值为（kZ）A、kB、2kC、6kD、3k12、若函数cos()yx为奇函数，则的值为（kZ）A、kB、2kC、6kD、3k图像的对称性：注意观察图象，从图象上找出对称轴和对称中心的位置。sinyxx6yo--12345-2-3-41对称轴方程：()2xkkZ对称中心：(,0),kkZcosyx对称轴方程：,xkkZ·对称中心：(,0),2kkZ理解：语义上，过顶点与X轴垂直的直线都是正、余弦函数的对称轴，而正、余弦曲线与X轴的每一个交点都是正、余弦函数的对称中心。函数性质上看，若对称轴为xx，则()fx必为函数的最大或最小值；若对称点为(,0)x，则()0fx。注意，平移产生的变化。13、函数sin(2)4yx的一条对称轴方程是A、8xB、8xC、4xD、4x14、函数cos()5yx的一个对称中心是A、3(,0)10B、3(,0)10C、4(,0)5D、(,0)515、函数12sin()123yx的对称轴方程为，对称中心为值域和最值：1、掌握好基本函数的值域和最值情况（1）sin()yxxR值域为[1,1]，当2()2xkkZ时，max(sin)1x；当2()2xkkZ时，min(sin)1x。注解：联系图象或在象限内认识和记忆值域，效果会更好。（2）cos()yxxR的值域为[1,1]，当2()xkkZ时，max(cos)1x；当(21)()xkkZ时，min(cos)1x。注解：联系图象或在象限内认识和记忆值域，效果会更好。（3）tan()2yxxk的值域为R，不存在最大值和最小值。2、理解：函数值域会因定义域的改变而改变，掌握好下面例题所示的方法。【例题2】若44x，求下列函数的值域：（1）2sin1yx（2）12sinyx（3）2sin(2)6yxx6yo--12345-2-3-4116、若344x，求函数12sin(2)6yx的值域，并求出函数取最大值时的x的取值集合。【题型示例】第二部分“同角基本关系和诱导公式”诱导公式：主要功能是用于化“大角”（超出[0,2]）为“小角”公式：略3、掌握两类基本型：（1）关于sinx或cosx的二次函数型【例题3】（1）求函数2cossin()yxxxR的最大值和最小值，并求出对应的x的取值。解：22cossincoscos1yxxxx，若令costx，则22151()24yttt由cos[1,1]tx得：maxmin(1)1,cos1,2,151(),cos2,2423yytxxkkZyytxxkkZ即得即得17、求函数2sin2cos()yxxxR的最大值和最小值，并求出对应的x的取值。（2）可转化为sin()yAxB或cos()yAxB【例题4】、形如cossinaxbx的函数可转化为上面的型求下列函数的最值：（1）sincosyxx，xR（2）cossinyxx，xR（3）cos3sinyxx，xR（4）3cossinyxx，xR（5）3sin4cosyxx，xR（6）5cos15sinyxx，xR（7）sincosyxx，[0,]2x（8）3sincosyxx，[,]22x【例题5】借助三角变换转化成上面的型求下列函数的最值：（1）已知函数,2,cos26sin2)(xxxxf（2）已知)(,2sin3cos2)(2Raaxxxf（3）已知函数f(x)=sin2x+3sinxcosx+2cos2x,xR.（4）已知向量(sin,1)ax，1(cos,)2bx，()(fxaab)18、已知2()sin3sincos,()fxxxxaaR，（1）设]2,0[x，则a为何值时，f(x)的最大值为4？（2）若13()22fx，求a的取值范围。周期性：（1）周期的符号形式：()(),fxTfxT为非零常数。如，sin(2)sinxkx，所以2()kkZ为正弦函数的周期。其它一些函数也是有周期的：（2）最小正周期：若T为函数()fx的周期，则()nTnZ也必为函数()fx的周期，因此，函数的周期是有无数个的，其中正的最小的一个周期，称为函数的最小正周期，比如，正弦、余弦函数的最小正周期为2，正切函数的最小正周期为（3）最小正周期的计算公式：对于sin()yAxB或cos()yAxB，则2T；对于tan()yAxB，则T。特别注意：也只有上面三种形式下的三角函数才能使用最小正周期的计算公式！19、求下列函数的最小正周期：（1）sin(2)3yx（2）513cos()262y（3）12tan(3)3yx（4）22cossinyxx（5）cos3sinyxx（6）sincosyxx（7）（2007年广东高考）若函数，21()sin()2fxxxR，则()fx是（）A、最小正周期为的偶函数B、最小正周期为的奇函数C、最小正周期为2的偶函数D、最小正周期为2的奇函数（8）tancotyxx（9）1sinyx（10）sinyx图像：（1）关于“五点作图法”，以正弦函数为例进行说明。第一、sinyx，[0,2]x表一x02322sinyx01010此表是基础，请注意总结“五点”的规律或特征：第二、请画出函数sin(2)4yx在一个周期上的草图。处理思想，令24tx，则sinyt，类比表一即可。表二x83858789824tx02322sinsin(2)4ytx01010得到“五点”分别为：3579(,0),(,1),(,0),(,1),(,0)88888第三、画出函数112sin()26yx在区间210[,]33上的草图。注意：与“第二”的区别，“第二”没有限定x的取值范围，题中要求的“一个周期”可以自己设定，但“第三”中x的范围是固定的.注意到这个给定的范围也正好是函数的一个周期。问题：怎么求出“五点”呢？分析：首先注意到，210,2;,233xyxy，这是函数的起点和终点，联系正弦曲线的变化规律，第二个点应该回到“平衡点”（类比sinyx与X轴的交点），第三个点应该是最低点，第四个点应该是“平衡点”，第五个点应该是最高点，第六个点就是终点。于是得到下表：表三x233235373103126tx6023211612sin112sin()26ytx211123（2）三类图象变换第一、对称：知道几种常见的对称变换，不做深要求。①()yfx与()yfx关于y轴对称②()yfx与()yfx关于x轴对称③()yfx与()yfx关于原点对称④()yfx即为()yfx