电磁场与电磁波-第3章要点

电磁场与电磁波第三章静电场的边值问题第二章回顾真空和介质中静电场方程（微分、积分形式）；已知电荷分布求解电场强度（高斯定律、分布电荷叠加原理、电位负梯度）；电介质特性（均匀、线性、各向同性等）；边界条件（无条件与有条件）；静电场能量（孤立带电体、分布电荷、能量密度）；电场力（库仑定律、虚位移法——常电荷系统、常电位系统）。第三章静电场边值问题主要内容：电位微分方程镜像法分离变量法方法的一般性静电场问题的求解静电场问题的求解方法：已知电荷分布求电位、电场——高斯定律、叠加原理已知各导体电位分布或各导体表面的电荷面密度求电位、电场——电位微分方程电位微分方程电位微分方程：因两边取散度，得对于均匀线性各向同性介质，有故泊松对于局部无源区拉氏——将物理问题根据固有的规律数学化，即建立数学模型。E2EE202电位微分方程电位微分方程在自由空间的特解应用格林函数，即可求出泊松方程的通解为式中格林函数自由空间——S表面无限远，面积分为零。若V为无源区——体积分为零。推论：面积分可视为泊松方程在无源区中的解，或者拉普拉斯方程以格林函数表示的积分解。VVd||)(π41)(rrrrSrd)],()()(),([d)(),()(000rrrrrrrrrGGVGSV||π41),(0rrrrG),(0rrG电位微分方程解的惟一性存在——客观存在稳定——数学方法已证明惟一——反证法（惟一：只有一个，仅仅一个）静电场惟一性定理：对于导体边界（并不仅限于此）的静电场问题，当边界上的电位，或电位的法向导数，或导体表面电荷分布给定时，空间的静电场即被惟一地确定。电位的法向导数与导体表面电荷密度的关系Sn边值问题惟一性表明：若某一区域内带电体的几何形状、尺寸和位置都已固定，且所有边界给定场值不变，则该区域中的电位分布确定。——不问解是如何求得的，只要满足了给定边值，则泊松和拉氏方程的解就是独一无二的。（边值问题）边值问题的类型定解条件：初始条件和边值条件静电场无初始条件，只需根据给定的边值条件（边界上的场值），求解空间任一点的电位。边值条件有三种类型第一类给定边界上的物理量（狄利克雷问题）。第二类给定边界上物理量的法向导数值（诺依曼问题）。第三类给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值（混合边值条件）。镜像法实质：是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而简化电位分布的计算。依据：惟一性定理。等效电荷的引入必须维持原来的边值条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。镜像法关键：确定镜像电荷的大小及其位置。局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。使用范围：1、界面几何形状较规范；2、电荷个数有限，且离散分布于有限区域。镜像法典型模型：（1）点（线）电荷＋(半)无限大导体平面（2）点电荷＋导体球（接地与不接地）（3）线电荷＋无限长导体圆柱（4）点电荷＋无限大介质平面镜像法点电荷与无限大的导体平面以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为的空间，则空间任一点P的电位由q及q’共同产生，即rqrqπ4π4介质导体qrP介质qrPhhrq介质qq考虑到无限大导体平面的电位为零，求得镜像法当点电荷q位于无限大的导体平面附近时，导体表面将产生异性的感应电荷——上半空间的电场取决于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量。半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边值条件未变。镜像法点电荷与半无限大的导体平面仅当这种导体劈的夹角等于的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如，夹角为的导电劈需引入5个镜像电荷。/3q3πq/3若导体球接地，导体球的电位为零。为了等效导体球边界的影响，令镜像点电荷q’位于球心与点电荷q的连线上。则球面上任一点电位为镜像法点电荷与导体球rqrqπ4π4fqo为保证球面上任一点电位为零，必须有qrrqPadrqr为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值对于球面上任一点为常数。可见，若要求三角形△OPq与△OqP相似，则常数。由此获知镜像电荷应为镜像法rrfarrqfaq镜像电荷离球心的距离d应为fad2根据q及q’即可计算球外空间任一点的电场强度，镜像电荷q’可视为代替导体球面上负值感应电荷的作用。fqOPadrqPadrqr镜像法若导体球不接地，位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电荷为负值，而另一侧表面上的感应电荷为正值。导体球表面上总的感应电荷应为零值。必须再引入一个镜像电荷q“代替导体球面上正值感应电荷的作用，故有此时导体球具有电位，镜像电荷q“必须位于球心。qq镜像法线电荷与带电的导体圆柱在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d处，平行放置一根镜像电荷。已知无限长线电荷产生的电场强度为l2πlrerE因此，离线电荷r处，以为参考点的电位为0rrrrElrr0lnπ2d0lPafdr-lOr镜像法若令镜像线电荷产生的电位也取相同的作为参考点，则及在圆柱面上P点共同产生的电位为l0rllrrrrllP00lnπ2lnπ2已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了满足这个边界条件，必须要求比值为常数。与前同理，可令，由此得rradfarrfad2镜像法点电荷与无限大的介质平面E11qr0E'tEnEEtEn0rq'22q0rnEtEE12qeten为了求解上半空间的场可用镜像电荷q'等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为1的均匀空间。对于下半空间，可用位于原点电荷处的q等效原来的点电荷q与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为2的均匀空间。=+镜像法已知各个点电荷产生的电场强度分别为代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：rrqe211π4Errqe211)(π4Errqe222)(π4Eqq2121qq2122由边界条件，即电场切向分量保持连续，电位移的法向分量应该相等，即2t1t1tEEE1n1n2nDDD回顾静电场问题的求解方法：1、高斯定律、叠加原理（已知电荷分布求电位、电场）2、电位微分方程+边值条件（边值问题）电位微分方程：数学模型——泊松方程/拉氏方程是其在均匀线性各向同性介质中的特殊形式。方法基础：静电场惟一性定理边值问题的求解方法回顾边值问题求解方法之一——镜像法镜像法依据：惟一性定理镜像法：引入镜像电荷替代边界影响，将边值问题（非均匀空间）转化为已知分布电荷求解均匀空间的场。镜像法适用范围：规范边界和特殊分布电荷回顾镜像法典型模型：（1）点/线电荷＋(半)无限大导体平面（2）点电荷＋导体球（3）线电荷＋无限长导体圆柱（4）点电荷＋无限大介质平面本讲内容例题——进行镜像法典型问题分析分离变量法例题——直角坐标系下的分离变量求解过程qba例半径为a的不接地导体球中含有半径为b的球形空腔。导体外放置一电荷量为q的点电荷，空腔中距离腔心d1处放置一电荷量为q'的点电荷，q、q'与球心共线，如图所示。求腔中及导体球外任一点场强。qbaq’d1d2解1、腔中场强。先考虑无q'点电荷时的情形。镜像法导体球内部场强为零（静电屏蔽）——腔中场强为零腔外引入镜像电荷q代替边界的影响，为保证球面上任一点电位相等，必须有O'Od1d2有q'点电荷时，由导体内部场强为零可知，腔中电场由q'和内壁上与q'异号的感应电荷共同产生，与q'同号的感应电荷移至导体球外表面。镜像法Crqrqπ4π41dbbDrrDbq′qPrr'qdbq1腔内场强由两个电荷共同产生：qq、2、球外场强。qbaq'd1d2点电荷与导体球组成的边值问题。引入镜像电荷q'及使导体外表面任一点电位相等；q0为导体球提供一定的电位。adfarr3qfaqqqq0d3q0q'PfrOr'镜像法由电荷守恒：球外场强由三个电荷共同产生：qqq、、0镜像法小结依据：惟一性定理——不问解是如何求得的，只要满足了给定边值，则泊松和拉氏方程的解惟一的。步骤：1、分析边界情况；2、确定镜像电荷的大小和位置；3、去掉边界，按原电荷和镜像电荷求解原区域场。局限性：规范边界分离变量法直接求解：分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独立的常微分方程，从而使求解过程比较简便。根据给定的边界条件选择适当的坐标系非常重要。对于平面边界、圆柱边界及圆球边界分别选用直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系较为方便。直角坐标系中的分离变量法无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为令代入上式，两边再除以X(x)Y(y)Z(z)，得0222222zyx)()()(),,(zZyYxXzyx0111222222zdZdZydYdYxdXdX直角坐标系中的分离变量法令各项的分离常数分别为，分别求得222,,zyxkkk0222XkxdXdxYkydYdy02220222ZkzdZdz分离常数可以是实数或虚数。三个分离常数满足下列方程0222zyxkkkxkjxkjxxeBeAxX)(xkDxkCxXxxcossin)(或者式中A,B,C,D为待定常数。其通解形式直角坐标系中的分离变量法含变量x或y的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的线性组合仍然是方程的解，解中各待定常数取决于给定的边界条件。例两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为d，其有限端被电位为0的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面绝缘，试求三个导体平面形成的槽中电位分布。Odxy=0=0=0直角坐标系中的分离变量法解选取直角坐标系。由于导电平面沿z轴无限延伸，槽中电位分布函数一定与z无关，因此，这是一个二维场的问题。电位所满足的拉普拉斯方程变为Odxy=0=0=002222yx)()(),(yYxXyx令槽中电位满足的边值条件为0),0(y0),(y0)0,(x0),(dx直角坐标系中的分离变量法选取Y(y)的解为ykBykAyYyycossin)(当y=0时，电位=0，因此B=0。为满足边界条件，分离常数ky应为3,2,1,,πndnky0),(dxydnAyYπsin)(故已知，求得022yxkkdnkxπj可见，分离常数kx为虚数，故X(x)的解应为xdnxdnDCxXππee)(Odxy=0=00直角坐标系中的分离变量法ydnCyxxdnπsine),(π则式中C=AD。因x时，电位=0，故C=0，即xdnDxXπe)(Odxy=0=00由边值条件，当x=0时，电位=0，得ydnCπsin0此式不能满足给定的边界条件。因此，必须取其不同n值时的线性组合作为电位方程的解，即ydnCyxnxdnnπsine)