必修四平面向量知识点整理+例题+练习+答案解析

...参考学习平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．相反向量：0abbaab向量表示：几何表示法AB；字母a表示；坐标表示：a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：||a.（222222||,||axyaaxy。）零向量：长度为0的向量。a＝O｜a｜＝O.【例题】1.下列命题：（1）若ab，则ab。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5）若,abbc，则ac。（6）若//,//abbc，则//ac。其中正确的是_______2.已知,ab均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|ab＝_____2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接连端点．⑵平行四边形法则的特点：起点相同连对角．...参考学习⑶三角形不等式：ababab．⑷运算性质：①交换律：abba；②结合律：abcabc；③00aaa．⑸坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．设、两点的坐标分别为11,xy，22,xy，则1212,xxyy．【例题】（1）①ABBCCD___；②ABADDC____；③()()ABCDACBD_____（2）若正方形ABCD的边长为1，,,ABaBCbACc，则||abc＝_____4、向量数乘运算：⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．①aa；②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a．⑵运算律：①aa；②aaa；③abab．⑶坐标运算：设,axy，则,,axyxy．【例题】（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且1MPMN3，则点P的坐标为_______baCabCC...参考学习5、向量共线定理：向量0aa与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．设11,axy，22,bxy，（0b）22()(||||)abab。【例题】(1)若向量(,1),(4,)axbx，当x＝_____时a与b共线且方向相同（2）已知(1,1),(4,)abx，2uab，2vab，且//uv，则x＝______6、向量垂直：0||||abababab12120xxyy.【例题】(1)已知(1,2),(3,)OAOBm，若OAOB，则m（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，90B，则点B的坐标是______（3）已知(,),nab向量nm，且nm，则m的坐标是________7、平面向量的数量积：⑴cos0,0,0180ababab．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a和b都是非零向量，则①0abab．②当a与b同向时，abab；当a与b反向时，abab；22aaaa或aaa．③abab．⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc．⑷坐标运算：设两个非零向量11,axy，22,bxy，则1212abxxyy．若,axy，则222axy，或22axy．设11,axy，22,bxy，则a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0.则a∥ba＝λb(b≠0)x1y2＝x2y1.设a、b都是非零向量，11,axy，22,bxy，是a与b的夹角，则121222221122cosxxyyababxyxy；（注||||||abab）【例题】（1）△ABC中，3||AB，4||AC，5||BC，则BCAB_________（2）已知11(1,),(0,),,22abcakbdab，c与d的夹角为4，则k等于____...参考学习（3）已知2,5,3abab，则ab等于____（4）已知,ab是两个非零向量，且abab，则与aab的夹角为____（5）已知)2,(a，)2,3(b，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______（6）已知向量a＝（sinx，cosx）,b＝（sinx，sinx）,c＝（－1，0）。（1）若x＝3，求向量a、c的夹角；8、b在a上的投影：即||cosb，它是一个实数，但不一定大于0。【例题】已知3||a，5||b，且12ba，则向量a在向量b上的投影为_____9、（必修五的内容）正弦定理（其中R表示三角形的外接圆半径）：（1）2sinsinsinabcRABC（2）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（3）sin,sin,sin,222abcAABCRRR余弦定理（1）2b=222cosacacB（2）bcacbA2cos222（3）12aSah；②1sin2SbcABacCabsin21sin21；附：△ABC的判定：222bac△ABC为直角△∠A+∠B=22c＜22ba△ABC为钝角△∠A+∠B＜22c＞22ba△ABC为锐角△∠A+∠B＞2附：证明：abcbaC2cos222，在钝角△ABC中，22222200coscbacbaC在△ABC中，有下列等式成立CBACBAtantantantantantan....参考学习证明：因为,CBA所以CBAtantan，所以CBABAtantantan1tantan，结论！三角形的四个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.非零向量a与aa有关系是：aa是a方向上的单位向量练习题：一、平面向量的概念及其运算1、若向量a、b满足baba，则a与b必须满足的条件为2、若cACbAB,，则BC等于（）A．cbB．bcC．cbD．cb3、正六边形ABCDEF中，EFCDBA（）A．0B．BEC．CDD．CF4、在边长为1的正方形ABCD中，设cACbADaAB,,，则cba=5、在ABC中，已知BDBC3，则AD等于（）A．)2(31ABACB．)2(31ACABC．)3(41ABACD．)2(41ABAC6、在ABC中，E、F分别是AB和AC的中点，若bACaAB,，则EF等于（）A．)(21baB．)(21baC．)(21abD．)(21ba...参考学习7、已知：向量ba,同向，且7,3ba，则ba2二、平面向量的基本定理及坐标表示8、若115,3eCDeAB，且BCAD，则四边形ABCD是（）A．是平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．不等腰梯形9、已知)4,3(),1,3(),4,2(CBA且CBCNCACM2,3，试求点、NM和MN的坐标10、已知向量)4,3(a，则与a同向的单位向量是（）A．)54,53(B．)54,53(C．)4,3(D．)4,3(11、已知)0,8(),2,3(ABA，则线段AB中点的坐标是12、若三点)9,(),4,2(),1,1(xBAP共线，求x13、若向量)43,3(2xxxa与AB相等地，已知)2,1(),2,1(BA，则x的值为（）A．-1B．-1或-4C．4D．1或4三、平面向量的数量积14、已知，33,3,2baba，则a与b的夹角等于15、已知ABCD为菱形，则)()(ADABBCAB的值为16、已知5b，且12ba，则向量a在b方向上的投影为17、已知向量a与b的夹角为o120，且2,4ba，（1）求a在b方向上的投影（2）求ba43（3）若向量kba与ba5垂直，求实数k的值...参考学习18、已知a、b满足1,1ba且3)(2ba，则ba19、若baba，且a与b不共线，则a与b的夹角为20、已知)1,(),1,2(ba，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是（）A．),2()2,21(B．),2(C．),21(D．)21,(21、已知)5,5(),0,6(ba，则a与b的夹角为22、已知)1,1(),2,3(BA，若点)21,(xP在线段AB的中垂线上，则x=平面向量高考经典试题一、选择题1、已知向量(5,6)a，(6,5)b，则a与bA．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向2、已知向量(1)(1)nn，，，ab，若2ab与b垂直，则a（）A．1B．2C．2D．43、若向量,ab满足||||1ab，,ab的夹角为60°，则aaab=______；4、在ABC△中，已知D是AB边上一点，若123ADDBCDCACB，，则（）A．23B．13C．13D．235、若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）A．EFOFOEB.EFOFOEC.EFOFOED.EFOFOE...参考学习6、已知平面向量(11)(11)，，，ab，则向量1322ab（）Ａ．(21)，Ｂ．(21)，Ｃ．(10)，Ｄ．(12)，二、填空题1、已知向量2411，，，a=b=．若向量()ba+b，则实数的值是．2、若向量ab，的夹角为60，1ab，则aab．3、在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为(00)O，，(11)B，，则ABAC．三、解答题：1、已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．(1)若0ABAC，求c的值；(2)若5c，求sin∠A的值2.已知(1,2)a,)2,3(b,当k为何值时，（1）kab与3ab垂直？（2）kab与3ab平行？3．已知(cos,sin)a，(cos,sin)b，（0）．求证：ab与ab互相垂直；...参考学习4．已知)1,2(a与)2,1(b，问当实数t的值为多少时bta最小。5．已知向量(cos,sin)a，向量(3,1)b，则2ab的最大值是．平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．单位向量：长度等于1个单位的向量．...参考学习平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．相反向量：0abbaab向量表示：几何表示法AB；字母a表示；坐标表示：a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：||a.（222222||,||axyaaxy。