因式分解拓展题及解答-必考题型-

因式分解拓展题解板块一：换元法例1分解因式：2222(48)3(48)2xxxxxx【解析】将248xxu看成一个字母，可利用十字相乘得原式2232()(2)uxuxuxux22(48)(482)xxxxxx例2分解因式：22(52)(53)12xxxx【解析】方法1：将25xx看作一个整体，设25xxt，则原式=22(2)(3)1256(1)(6)(2)(3)(51)ttttttxxxx方法2：将252xx看作一个整体，设252xxt，则原式=22(1)1212(3)(4)(2)(3)(51)ttttttxxxx方法3：将253xx看作一个整体，过程略.如果学生的能力到一定的程度，甚至连换元都不用，直接把25xx看作一个整体，将原式展开，分组分解即可，则原式22222(5)5(5)6(51)(56)(2)(3)xxxxxxxxxx2(51)xx.【巩固】分解因式：(1)(3)(5)(7)15xxxx【巩固】分解因式：22(1)(2)12xxxx例3证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．【解析】设这四个连续整数为：1x、2x、3x、4x原式22[(55)1][(55)1]1xxxx22(55)11xx22(55)xx【巩固】若x，y是整数，求证：4234xyxyxyxyy是一个完全平方数.令2254xxyyu∴上式2422222(2)()(55)uuyyuyxxyy即4222234(55)xyxyxyxyyxxyy例4分解因式2(25)(9)(27)91aaa【解析】原式22[(25)(3)][(3)(27)]91(215)(221)91aaaaaaaa设2215aax，原式2(6)91691(13)(7)xxxxxx22(228)(28)aaaa【巩固】分解因式22(32)(384)90xxxx【解析】原式22(1)(2)(21)(23)90(253)(252)90xxxxxxxx原式22(3)(2)90584(12)(7)(2512)(27)(1)yyyyyyxxxx例5分解因式：22224(31)(23)(44)xxxxxx【解析】咋一看，很不好下手，仔细观察发现：222(31)(23)44xxxxxx，故可设2231,23xxAxxB，则244xxAB.故原式=24()ABAB2A222()BABAB22222(31)(23)(232)xxxxxx.【巩固】分解因式：2(2)(2)(1)abababab【解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共4个地方，故采取换元法后会大大简化计算过程，不妨设,abxaby，【解析】则原式=222(2)(2)(1)222xyxyxxyyyx例6分解因式：272)3()1(44xx【解析】设1322xxyx，则原式=4442(1)(1)2722(61)272yyyy【巩固】分解因式：4444(4)aa【解析】为方便运算，更加对称起见，我们令2xa板块二：因式定理因式定理：如果xa时，多项式1110...nnnnaxaxaxa的值为0，那么xa是该多项式的一个因式.有理根：有理根pcq的分子p是常数项0a的因数，分母q是首项系数na的因数.例7分解因式：32252xxx【巩固】02a的因数是1，2，2na的因数是1，2．因此，原式的有理根只可能是1，2(分母为1)，12．因为(1)21526f，(1)21520f，于是1是()fx的一个根，从而1x是()fx的因式，这里我们可以利用竖式除法，此时一般将被除式按未知数的降幂排列，没有的补0：可得原式2(232)(1)xxx(2)(21)(1)xxx点评：观察，如果多项式()fx的奇数次项与偶数次项的系数和互为相反数，则说明(1)0f；如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和相等，则说明(1)0f.【巩固】分解因式：65432234321xxxxxx解析：本题有理根只可能为1.1当然不可能为根(因为多项式的系数全是正的)，经检验1是根，所以原式有因式1x，原式5432(1)(221)xxxxxx容易验证1也是5432221xxxxx的根，5432221xxxxx42(1)(21)xxx22(1)(1)xx，所以65432234321xxxxxx222(1)(1)xx【巩固】分解因式：322392624xxyxyy解析：322392624xxyxyy(2)(3)(4)xyxyxy例8分解因式：32()()xabcxabbccaxabc【解析】常数项abc的因数为a，b，c，ab，bc，ca，abc把xa代入原式，得所以a是原式的根，xa是原式的因式，并且2323222232125222353322220xxxxxxxxxxxxxx【巩固】分解因式：32()(32)(23)2()lmxlmnxlmnxmn【解析】如果多项式的系数的和等于0，那么1一定是它的根；如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0，那么1一定是它的根．现在正是这样：所以1x是原式的因式，并且板块三：待定系数法如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即，如果12112112101210nnnnnnnnnnnnaxaxaxaxabxbxbxbxb那么nnab，11nnab，…，11ab，00ab.例9用待定系数法分解因式：51xx【解析】原式的有理根只可能为1，但是这2个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．故52321(1)(1)xxxaxxbxcx或52321(1)(1)xxxaxxbxcx故010101abcabacbac，解得110abc，所以52321(1)(1)xxxxxx事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况.【巩固】421xx是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积?解析：我们知道42221(1)(1)xxxxxx.421xx不能分解成两个整系数的二次因式的乘积．如果421xx能够分解，那么一定分解为22(1)(1)xaxxbx或22(1)(1)xaxxbx比较3x与2x的系数可得:021abab(1)(2)由(1)得ba，代入(2)得221a，即23a或21a，没有整数a能满足这两个方程．所以，421xx不能分解成两个整系数的二次因式的积(从而也不能分解成两个有理系数的二次因式的积)．【巩固】631xx能否分解为两个整系数的三次因式的积?解析：设6332321(1)(1)xxxaxbxxcxdx，比较5x，3x及x的系数，得010acadbcbd由第一个方程与第三个方程可得ca，db,再把它们代入第二个方程中，得1abab矛盾!所以，631xx不可能分解为两个整系数的三次因式的积．例10分解因式：43223xxxx【解析】原式的有理根只可能为1，3，但是这四个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．我们设想43223xxxx可以分为两个整系数的二次因式的乘积．由于原式是首1的(首项系数为1)，两个二次因式也应当是首1的．于是，设43223xxxx22()()xaxbxcxd⑴其中整系数abcd、、、有待我们去确定．比较⑴式两边3x，2x，x的系数及常数项，得1213acbdacbcadbd(2)(3)(4)(5)这样的方程组，一般说来是不容易解的．不过，别忘了bd、是整数!根据这一点，从(5)可以得出13bd或13bd，当然也可能是31bd或31bd在这个例子中由于因式的次序无关紧要，我们可以认为只有13bd或13bd这两种情况．将1b，3d，代入(4)，得31ca⑹将⑹与⑵相减得22a，于是1a，再由⑵得2c这一组数(1a，1b，2c，3d)不仅适合⑵、⑷、⑸，而且适合⑶．因此43223xxxx22(1)(23)xxxx⑺将1b，3d，代人⑷，得31ca⑻将⑻与⑵相加得20a.于是0a，再由⑵得1c.这一组数(0a，1b，1c，3d)，虽然适合⑵、⑷、⑸，却不适合⑶，因而4322223(1)(3)xxxxxxx.事实上，分解式是惟一的，找出一组满足方程组的数，就可以写出分解式⑺，考虑有没有其他的解纯属多余，毫无必要．板块四：轮换式与对称式对称式：xy、的多项式xy，xy，22xy，33xy，22xyxy，…在字母x与y互换时，保持不变．这样的多项式称为xy、的对称式．类似地，关于xyz、、的多项式xyz，222xyz，xyyzzx，333xyz，222222xyxzyzyxzxzy，xyz，…在字母xyz、、中任意两字互换时，保持不变．这样的多项式称为xyz、的对称式．轮换式：关于xyz、、的多项式xyz，222xyz，xyyzzx，333xyz，222xyyzzx，222xyyzzx，xyz…在将字母xyz、、轮换(即将x换成y，y换成z，z换成x)时，保持不变．这样的多项式称为xyz、、的轮换式．显然，关于xyz、、的对称式一定是xyz、、的轮换式．但是，关于xy、，z的轮换式不一定是对称式．例如，222xyyzzx就不是对称式．次数低于3的轮换式同时也是对称式．两个轮换式(对称式)的和、差、积、商(假定被除式能被除式整除)仍然是轮换式(对称式)．例11：分解因式：222()()()xyzyzxzxy解析：222()()()xyzyzxzxy是关于xyz、、的轮换式．如果把222()()()xyzyzxzxy看作关于x的多项式，那么在xy时，它的值为222()()()0yyzyzyzyy.因此，xy是222()()()xyzyzxzxy的因式．由于222()()()xyzyzxzxy是xyz、、的轮换式，可知yz与zx也是它的因式．从而它们的积()()()xyyzzx⑴是222()()()xyzyzxzxy⑵的因式．由于⑴、⑵都是xyz、、的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数k，即有222()(.)()()()()xyzyzxzxykxyyzzx⑶现在我们来确定常数k的值．为此，比较⑶的两边2xy的系数：左边系数为1，右边系数为k．因此，1k．于是222()()()xyzyzxzxy()()()xyyzzx