中南大学概率论总复习-《历年期末考试试题》裘亚峥

12009考题级121064111120102(),,,,,(,),XYXYXYXY四、本题分袋中有个大小相同的小球，其中个红球，个白球。现随机地不放回地抽取两次，每次抽取个，定义两个随机变量如下：第次抽取红球第次抽取红球，第次抽取白球第次抽取白球求的联合分布律，边缘分布律，并判断是否独立？三、有关二维连续型随机变量及二维离散型随机变量计算方面的题型432000Y0010915{,}{}{|}PXYPXPX解：联合分布律为464010Y1010915{,}{}{|}PXYPXPX644101Y0110915{,}{}{|}PXYPXPX655111Y1110915{,}{}{|}PXYPXPX2320,1Y05553Y1Y5{}{}{}{},PXPXPPX边缘分布律为：，，，不独立。22010考题级214011211322(,),(,){,XYxyxXYXYXYPXY八、(本题分)设二维随机变量在区域内服从均匀分布，求：（）联合概率密度；（）与的边缘概率密度，并问与是否相互独立？（）}。120410123(),.xyxAxdx区域的面积解230140,,,(,),xyxfxy其他。33012420.,,()(,),xxXdyxxfxfxydy（）其他()()(,).XYfxfyfxyXYQ与不相互独立。2112212113523224328{,.yPXYdydx（）}=21233111440.(),,()(,),yYdxyyfyfxydx其他22009考题级2150102301122113422(,),,(,),{{{|XYxyxxyfxyPXPYXPYXXY五、(本题分)设随机变量的联合概率密度函数为其它（）计算};（）计算};（）计算};（）与是否相互独立？121221102211110222252336(){{,()()PXPXYxyxdydxxxdx解}=}=31123000723624(){()()xxyxPYXxdydxxdx}==11112231222{,(){|{PYXPYXPX}}}1122200531326()xyxdydx4()(,)()()XYfxyfxfyQ不是相互独立的，32010考题级111010000,,,()(),,,yXYXYxeyfxfyyZXY五、(本题分)设随机变量相互独立，其概率密度分别为，其他求随机变量的概率密度函数。10()()()()ZXYYfzfxfzxdxfzxdx解1()uzxzYzfudu0100011,(),,zuZzuzzfzeduzeduz1001011,(),,zZzzzfzezeez32009考题级150101012(,),,(,),max{,}min{,}XYxyxyfxyXYXY六、(本题分)设随机变量的联合概率密度函数为其它试求（）的分布函数与概率密度函数;（）的分布函数与概率密度函数.100max{,}(){}{max{,}}{,}ZZXYzFzPZzPXYzPXzYz解（）设当时，1111(){max{,}}{,}ZzFzPXYzPXY当时，30001(){}{max{,}}{,}()ZzzzFzPZzPXYzPXzYzxydxdyz当时，230030101011(),,(),,ZZzzzFzzzfzz因此，，其他20110min{,},(){}{min{,}}{min{,}}{,}ZZXYzFzPZzPXYzPXYzPXzYz（）设的分布函数与概率密度函数;当时，1111(){}{min{,}}{min{,}}{,}ZzFzPZzPXYzPXYzPXzYz当时，1123230111111(){}{min{,}}{min{,}}{,}()()ZzzzFzPZzPXYzPXYzPXzYzxydxdyzzzzzz当时，223001230101011(),,(),,ZZzzzzFzzzzzfzz因此，，其他42009考题级作业题10l七、(本题分)在长为的线段上任意选取两点，求两点间距离的数学期望及标准差。00[,][,].lXYXYlZZXY解把线段放在数轴上，使其与区间重合。设随机变量及分别表示在该线段上任意选取的两点的坐标，则与相互独立，并且在区间上服从均匀分布。设随机变量表示这两点间的距离，则有110000,,(),(),,XYxlylfxfyll其他其他21000,,(,),XYxlylfxyl因为与相互独立，所以其他(){}{},ZFzPZzPXYz001,(),();ZZzFzzlFz当时，当时2221102,()(),ZDzlFzdxdylzzll当时因此2220020120011(),()(),,(),,ZZzlzzlFzlzzzlfzllz，其他22222002236()(),()()llllEzzlzdzEzzlzdzll于是,22222263181832()()[()](),lllllDzEzEz标准差为52009考题级61,,(,).XYZBpXYZ八、(本题分)设随机变量相互独立且服从相同的二项分布试证明：随机变量和相互独立。010111XYpppppp证22012011121()()TXYZpppppppp01201{,}{}{},,,,,,PXYiZjPXYiPZjijXYZ可证明，即随机变量和相互独立。620088142P1524P考题级作业七大学数学典型120110112121412140112(){}.()(,)()XYYXPPPXYXYXY四、本题分已知随机变量与的分布律为：且已知求的联合分布律：与是否相互独立？为什么？01111101101410112110141110010424{}.{,}{,}{,}{}{,}{}{,}{}{,}()PXYPXYPXYPXYPXPXYPYPXYPXPXY(1)由可见易[示]见提XY10101110441002XY于是得和的联合分布律：20001111002444(){,}{}{}PXYPXPYXYQ而（）与不相互独立72008B考题级概率论1501022123()(,){(,)|,}()(,)()(,)()()XYDxyxyxXYXYEXY五、本题分设随机变量在区域上服从均匀分布。试求的联合概率密度；边缘概率密度；01022{(,)|,}(,)DxyxyxXY（1）先由画图，[再根提示据均匀分布的定义求出的]联合概率密度；122001203,(,)()(,),(,)()()()()XYxDxyDfxyXYfxfxEXYxydxdyxdxydy由(1)得其他再由边缘概率密度的定义求出及由定义得82008B考题级概率论1234512155200225240240()(),,,,,(,),(,),kgXXXXXXNXN::七、本题分有家商店联营，设它们每两周售出的某产品的数量以计分别为已知34512345180225260265320270152099233099(,)(,),(,),,,,,()().,((.).)XNXNXNXXXXX:::且相互独立。求家商店两周的总销售量的期望与方差；商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于问商店的仓库应至少储存多少公斤该产品？已知515iiYX[提（1）为家商店两周的示]总销售量521120035(,)iiYXN:（2）由（1）知120009935120023335{}()..yyPYyy设表示仓库存储量，则依题意：92007考题级大学数学32学时12100201(2)Z=+()(,)(),,(,),xyXYxyexyfxyXYXY四、(本题分)设随机变量的概率密度为其他（）问与是否独立？求的概率密度。1210000()()(),(,)()()()()()(,)()XYXYZZfxfxfxyfxfxXYfzfxzxdxzzzfz利用定义求出和然后根据连续型随机变量相互独立的定义来判断与是否相等就可以了。由知与不相互独立，所以然后通过画图确定分和讨论当时。[提示]0012[()]()(,)[()]Zzxzxzfzfxzxdxxzxedx当102007考题级大学数学64学时1601021(2)34(,){(,)|,}min{,},)()()()()().ZXYDxyxyZXYXYXYfzEXYEZ四、(本题分)设随机变量在区域上服从均匀分布，（）求(的边缘概率密度；判断与是否独立？求；求与10102120,,()(,),xyfxy其他解110102200,,()(),,XYxyfxfy，其他其他00003010221112,,()(),,(),,,XYyxyFxxxFyyxy2()(,)()()XYfxyfxfyXYQ与相互独立。2111003012211min()[()][()],,,XYFzFzFzzzzzz120013422()()()()EXYEXEYxdxydy30120min,()(),ZzzfzFz其他1035212()()()ZEZzfzdzzzdz112006考题级大学数学32学时120201;(2)3(,),,(,),(),XYXYCxyxfxyCffXY四、(分)设随机变量的联合密度函数其他求（）常数边缘分布密度函数,；讨论的相关性。10211440,,()(,[]),xyxCfxy其他提示02220,()()(,)(,Xxxfxfxydy画积分区域）其他221220441202440,()(,),.yYyydxyyfyfxydxdxy其他2220020430234040(),(),().cov(,)()()(),xxxxxyEXdxEYdxdyyEXYxdxdyXYEXYEXEYXY（）所以与不相关。122010考题级1211112201112(1)12(2),(,),,,,,,(),,,cov(,)nniiiiiinnXXXnNXXYXXinnYDYinYYYYLLL七、(本题分)设,()为相互独立且同分布的随机变量，并且均服从。记求：的方差，；与的协方差。1111()()()[()]iiikkiDYDXXDXXnn解112,,,,.ninnL111(2)cov(,)[()][()]nnnYYEYEYYEY211121211111()()(