考研数学三真题(2000-2018年)

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(1)设生产函数为QALK,其中Q是产出量,L是劳动投入量,K是资本投入量,而A,α,β均为大于零的参数,则当Q=1时K关于L的弹性为(2)某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万.若以tW表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则tW满足的差分方程是___(3)设矩阵111111,111111kkAkk且秩(A)=3,则k=(4)设随机变量X,Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式-6PXY.(5)设总体X服从正态分布2(0,0.2),N而1215,,XXX是来自总体X的简单随机样本，则随机变量221102211152XXYXX服从___分布，参数为_______二、选择题(1)设函数f(x)的导数在x=a处连续,又'()lim1,xafxxa则()(A)x=a是f(x)的极小值点.(B)x=a是f(x)的极大值点.(C)(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点.(D)x=a不是f(x)的极值点,(a,f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点.(2)设函数0()(),xgxfudu其中21(1),012(),1(1),123xxfxxx则g(x)在区间(0,2)内()(A)无界(B)递减(C)不连续(D)连续(3)设1112131414131211212223242423222113132333434333231414243444443424100010100,,,00101000aaaaaaaaaaaaaaaaABPaaaaaaaaaaaaaaaa210000010,01000001P其中A可逆,则1B等于()(A)112APP(B)112PAP(C)112PPA(D)121PAP.(4)设A是n阶矩阵，α是n维列向量.若秩0TA秩(A)，则线性方程组()(A)AX=α必有无穷多解()BAX=α必有惟一解.()C00TAXy仅有零解()D00TAXy必有非零解.(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于()(A)-1(B)0(C)12(D)1三、(本题满分5分)设u=f(x,y,z)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定:2xyexy和0sin,xzxtedtt求dudx四、(本题满分6分)已知f(x)在(−∞,+∞)内可导,且lim'(),xfxelim()lim[()(1)],xxxxcfxfxxc求c的值.五、(本题满分6分)求二重积分221()2[1]xyDyxedxdy的值,其中D是由直线y=x,y=−1及x=1围成的平面区域六、(本题满分7分)已知抛物线2ypxqx(其中p0,q0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S.(1)问p和q为何值时，S达到最大?(2)求出此最大值.七、(本题满分6分)设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足1130(1)(),(1).xfkxefxdxk证明：存在ξ∈(0,1),使得1'()2(1)().ff八、(本题满分7分)已知()nfx满足'1()()nxnnfxfxxe(n为正整数)且(1),nefn求函数项级数1()nifx之和.九、(本题满分9分)设矩阵11111,1.112aAaa已知线性方程组AX=β有解但不唯一,试求:(1)a的值;(2)正交矩阵Q,使TQAQ为对角矩阵.十、(本题满分8分)设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，ijA是ijnnAa中元素ija的代数余子式(i,j=1,2,…,n)，二次型1211(,,).nnijnijijAfxxxxxA(1)记12(,,),nAxxx把1211(,,).nnijnijijAfxxxxxA写成矩阵形式，并证明二次型()fX的矩阵为1A;(2)二次型()TgXXAX与()fX的规范形是否相同？说明理由.十一、(本题满分8分)生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977.(Φ(2)=0.977,其中Φ(x)是标准正态分布函数).十二、(本题满分8分)设随机变量X和Y对联和分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布，试求随机变量U={X−Y}的概率密度().pu2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1)设常数12a，则21limln.(12)nnnnana(2)交换积分次序：111422104(,)(,)yyydyfxydxdyfxydx.(3)设三阶矩阵122212304A，三维列向量,1,1Ta.已知A与线性相关，则a.(4)设随机变量X和Y的联合概率分布为YX-10100.070.180.1510.080.320.20则2X和2Y的协方差22cov(,)XY.(5)设总体X的概率密度为(),,(;)0,xexfxx若若而12,,,nXXX是来自总体X的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数()fx在闭区间[,]ab上有定义，在开区间(,)ab内可导，则()(A)当()()0fafb时，存在(,)ab，使()0f.(B)对任何(,)ab，有lim[()()]0xfxf.(C)当()()fafb时，存在(,)ab，使()0f.(D)存在(,)ab，使()()()()fbfafba.(2)设幂级数1nnnax与1nnnbx的收敛半径分别为53与13，则幂级数221nninaxb的收敛半径为()(A)5(B)53(C)13(D)15(3)设A是mn矩阵，B是nm矩阵，则线性方程组0ABx()(A)当nm时仅有零解(B)当nm时必有非零解(C)当mn时仅有零解(D)当mn时必有非零解(4)设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量是A的属于特征值的特征向量，则矩阵1TPAP属于特征值的特征向量是()(A)1P(B)TP(C)P(D)1TP(5)设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则()(A)XY服从正态分布(B)22XY服从2分布(C)2X和2Y都服从2分布(D)22/XY服从F分布三、(本题满分5分)求极限2000arctan(1)lim(1cos)xuxtdtduxx四、(本题满分7分)设函数(,,)ufxyz有连续偏导数，且(,)zzxy由方程xyzxeyeze所确定，求du.五、(本题满分6分)设2(sin),sinxfxx求()1xfxdxx.六、(本题满分7分)设1D是由抛物线22yx和直线,2xax及0y所围成的平面区域；2D是由抛物线22yx和直线0y,xa所围成的平面区域，其中02a.(1)试求1D绕x轴旋转而成的旋转体体积1V；2D绕y轴旋转而成的旋转体体积2V；(2)问当a为何值时，12VV取得最大值？试求此最大值.七、(本题满分7分)(1)验证函数3693()13!6!9!3!nxxxxyxxn满足微分方程xyyye(2)利用(1)的结果求幂级数303!nnxn的和函数.八、(本题满分6分)设函数(),()fxgx在[,]ab上连续，且()0gx.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点[,]ab，使()()()()bbaafxgxdxfgxdx.九、(本题满分8分)设齐次线性方程组1231231230,0,0,nnnaxbxbxbxbxaxbxbxbxbxbxax其中0,0,2abn，试讨论,ab为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.十、(本题满分8分)设A为三阶实对称矩阵，且满足条件220AA，已知A的秩()2rA(1)求A的全部特征值(2)当k为何值时，矩阵AkE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵.十一、(本题满分8分)假设随机变量U在区间2,2上服从均匀分布，随机变量1,1-1,11,1;1,1;UUXYUU若若若若试求：(1)X和Y的联合概率分布；(2)()DXY.十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间()EX为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数()Fy.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos)(xxxxxf若若其导函数在x=0处连续，则的取值范围是_____.（2）已知曲线与x轴相切，则可以通过a表示为________.（3）设a0，而D表示全平面，则=_______.（4）设n维向量；E为n阶单位矩阵，矩阵，，其中A的逆矩阵为B，则a=______.bxaxy2332b2b，xaxgxf其他若,10,0,)()(DdxdyxygxfI)()(0,),0,,0,(aaaTTEATaEB1（5）设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若，则Y与Z的相关系数为________.（6）设总体X服从参数为2的指数分布，为来自总体X的简单随机样本，则当时，依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数(A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0.(C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0.[]（2）设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是(A)在处的导数等于零.（B）在处的导数大于零.(C)在处的导数小于零.(D)在处的导数不存在.[]（3）设，，，则下列命题正确的是(A)若条件收敛，则与都收敛.(B)若绝对收敛，则与都收敛.(C)若条件收敛，则与敛散性都不定.(D)若绝对收敛，则与敛散性都不定.[]（4）设三阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b0.(C)ab且a+2b=0.(D)ab且a+2b0.[]（5）设均为n维向量，下列结论不正确的是4.0XZnXXX,,,21nniinXnY121)0(fxxfxg)()(),(00yx),(0yxf0yy),(0yxf0yy),(0yxf0yy),(0yxf0yy2nnnaap2nnnaaq